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第 3 届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
(1969 年于捷克斯洛伐克的布尔诺) 【题 1】右图的力学系统由三辆车组成,质量分别为 mA=0.3kg,mB=0.2kg,mC=1.5kg。 (a)沿水平方向作用于 C 车的力 F 很大。使 A、B 两车相对 B C 车保持静止。求力 F 及绳子的张力。 F C A (b)C 车静止,求 A、B 两车的加速度及绳子的张力。

(忽略阻力和摩擦力,忽略滑轮和车轮的转动惯量) 1 解: a)A、B 两车相对 C 车保持静止,A 车在竖直方向没有加速度,因此它对绳的拉力 ( , mA 3 g 。又三车系统以相同的加速度运动,则: 为 mAg。这个力使 B 车得到加速度 a B ? mB , 5
F ? (m A ? m B ? m C ) mA mB
2

g

由给定的数值得:aB=aC=aA=1.5g=14.7m/s 绳中的张力为:T=mAg=2.94N 水平推力为:F=29.4N (b)如果 C 车静止,则力 mAg 使质量 mA+mB 加速,加速度为:
a AB ? mAg mA ? mB

=0.6g=5.88N
/

绳中的张力为:T =mAg-mA×0.6g=1.176N 【题 2】在质量为 m1 的铜量热器中装有质量为 m2 的水,共同的温度为 t12;一块质量为 m3、温度为 t3 的冰投入量热器中(如右图所示) 。试求出在各种可 m 3 c 3 t3 能 情 形 下 的 最 终 温 度 。 计 算 中 t3 取 负 值 。 铜 的 比 热 c1 = 0 0 0.1kcal/kg· C,水的比热 c2 =1kcal/kg· C,冰的比热 c3 = 0 0.5kcal/kg· C,冰的熔解热 L=80kcal/kg。 m 2 c 2 t2 解:可能存在三种不同的终态: a)只有冰; b)冰水共存; ( ( m 1 c 1 t1 (c)只有水。 (a)冰温度升高,但没有熔化,达到某一(负)温度 ta; 放出的热量和吸收的热量相等: c3 m3(ta-t3)=(c1 m1+c2 m2) t12-ta)+m2L ( 得出最终的温度为 t a ?
( m 1 c 1 ? m 2 c 2 ) t 12 ? m 3 c 3 t 3 ? m 2 L m 1 c1 ? m 2 c 3 ? m 3 c 3
0

(1)

情况(a)的条件是 ta<0(注:指 0 C) ,如果上式的分子为负值,我们得到下列条件: (c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3―m2L (2) (c)现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为 tc,冰块吸收的热量 等于量热器和水放出的热量:c3 m3(0-t3)+m3 L+c2 m3tc=(c1 m1+c2 m2) t12-tc) ( 得出最终的温度为 t c ?
( m 1 c 1 ? m 2 c 2 ) t 12 ? m 3 c 3 t 3 ? m 3 L m 1 c1 ? m 2 c 2 ? m 3 c 2

(3)

这种情况只有在 tc>0时才能发生。取上式的分子为正值,得到下列条件:

1

(c1 m1+c2 m2)t12>―c3 m3t3+m3L (4) 0 (b)冰水共存这种情况是冰和水混合后都以 0 C 共存于量热器中。根据(2)式和(4) 式,条件为:―c3 m3t3―m2L<(c1 m1+c2 m2)t12<―c3 m3t3+m3L 如果混合后有 x 克冰熔化了,则―c3 m3t3+x L=(c1 m1+c2 m2)t12 故冰熔化了的质量为 x ?
( m 1 c 1 ? m 2 c 2 ) t 12 ? m 3 c 3 t 3 L

于是混合后,在量热器中有质量为(m3―x)的冰和质量为(m2+x)的水。x 为负值意 味着有水结为冰,冰的质量增加。对于给定的数值,我们可以从公式容易得到最终的结果。 【题 3】在竖直平面内有半径 R=5cm 的线圈(如图) 。质量 m=1g 的小球系在长度为 l 的绝缘轻绳上,从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球 l -8 两者都带有 Q=9×10 C 的相同电量时,发现小球在垂 R Fn ? 直线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。 ? 解:如果线圈上的全部电荷集中与一点,则库仑力
mg
F

为F ? k

Q l

2 2

线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为?, 它们在轴上的投影为 Fn=Fcos?。 小球的 重量为 mg。由上图可得: sin ?
? mg F ? R l ? k mg Q l
2 2

所以: l ?

RkQ
3

2

=7.2cm(k=9×10 N m /C )
l R

9

2

2

mg

(注:以上解答为原解,可能有错) 另解: 如解答图 3.3.1, 在线圈上取一电荷微元, 长为 d ,电荷量为?d ,?为线电荷密度,2π R ? =Q。则微元电荷对小球的作用力为: ? dQ
Fi ? k l
2

?

F ni

?
F ti Fi

把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解:Fni=Fi cos? 解答图?? ?? ? Fti=Fi sin? 在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元,如 解答图 3.3.2。对称的电荷微元,长也为 d ,电荷 ? dQ / 量为?d ,它对小球的作用力为: F i ? k 2
l

?

F ti

Fi

? ?
R l

F ni

把 Fi 沿平行轴和垂直轴分解: Fn/i=Fi /cos? 解答图 3.3.2 Ft/i=Fi /sin? Fni 与 Fn/i 方向相同,合力为大小相加,Fti 与 Ft/i 方向相反,合力为大小相减,等于零。 所以线圈对小球作用的库仑力为:
T R l

?

Fn

?

mg

F

2

Fn=∑Fni= k

2 ?? Q l
2

cos ? ? k

Q l

2 2

cos ?

对小球受力分析,小球受三力作用:重力 mg、 库仑力 Fn、拉力 T,如解答图 3.3.3。则:
l cos ? R ? Fn mg

解答图 3.3.3

把 Fn= k

Q l

2 2

cos ? 代入上式解得: l ?

RkQ
3

2

=7.2cm

(k=9×10 N m /C )

9

2

2

mg

【题 4】一块平板玻璃放置在边长为 2cm 的玻璃立方体上,两者之间有一层平行的薄空 气隙。波长在 0.4μ m 到 1.15μ m 之间的电磁波垂直入射到平板上,经空气 隙的两边表面反射而发生干涉。在此波段中只有两种波长获得极大的增强, d 其一是?1=0.4μ m。求空气隙的厚度。 解:光在厚度为 d 的空气隙中往返,经过的距离为 2d。光被玻璃反射 0 时,还经受 180 的相位改变。于是对波长为?1 的光,增强的条件为: 2d= k 1 ? 1 ?
?1
2

(k1=0,1,2,3,……)

类似地,对其它波长的光,产生极大增强的条件是: 2d= k 2 ? 2 ?
?2
2

(k2=0,1,2,3,……)
2k1 ? 1 2k 2 ? 1

比较这两个条件,得到:

?

?2 ?1
1 . 15 0 .4 ? 2 . 875

根据波长给定的范围,得到:

?2 ?1



这个比值的最小可能值为 1,最大可能值为 2.875。因此我们得到关于 k1 和 k2 的下列条 件:1<
2k1 ? 1 2k 2 ? 1

<2.875

(1)

对不同的 k1 和 k2,我们算出上述分数值,得到下表:

k1 k2
0 1 2 3 4 5

0 1 0.33 0.2 0.14 0.11 0.09

1 3 1 0.6 0.43 0.33 0.27

2 5 1.67 1 0.71 0.56 0.45

3 7 2.33 1.4 1 0.78 0.64

4 9 3 1.8 1.29 1 0.81

5 11 3.67 2.2 1.57 1.22 1

只有分数值满足条件(1)式的各个 k1 和 k2 对才是合格的,我们已在表格中算出。但

3

其中只有一对是允许的。这就是说,我们应当找出这样的一列,其中只能有一对是允许的 k1 和 k2。从表中看出,仅有的是 k1=2,k2=1 这一对,其分数值是 1.67,这就是解答。 对于 k1=0.4μ m 的光,根据 2d=2×0.4+0.2=1μ m,得到空气隙的厚度为 d=0.5μ m 由 2×0.5= ? 2 ?
?2
2

得到第二个波长为 k2=0.667μ m 【实验题】给定一闭合电路,它是由已知电阻 R、未知电阻 X 以及内阻可以忽略的电源 组成的。电阻 X 是可调电阻器,由引线、毫米标尺、滑动接触块组成。另一电路由干电池和 零点在中心的电流计组成,它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计。试测定电阻 X 及端电压之比。

R U X x E

R E U y X

解答图 3.5.1 解答图 3.5.2 解答:联接两种补偿电路,如解答图 3.5.1 和解答图 3.5.2。第一次测量不包括 R。滑 动接触块的位置在第一次测量中由比率 x 给出, 在第二次测量中由 y 给出, 在此两中测量下, 电阻值之比等于电势差之比,所以有
E U ? xX R ? X
1 x? y )



E U

?

R ? yX R ? X

解得: X ? R (

把 X ? R(

1 x? y

) 代入

E U

?

xX R ? X

得:

E U

?

x 1? x ? y

1 , 3 , 5

4


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