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武汉第二中学高二年级上学期期中考试理科数学试题附答案


武汉二中上学期高二年级期中考试 数学试卷(理)
命题人:范向阳 考试时间: 11 月 5 日 上午 10:00---12:00 本试卷满分 150 分,考试时长 120 分钟。

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1. 光线沿直线 y=2x+1 的方向射到直线 y=x 上被反射后光线所在的直线方程是 (
x 1 A. y ? ? 2 2

)

B. y ? 2 x ?

1 2

x 1 C. y ? ? 2 2

D. y ?

x ?1 2

2. 设函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 图象的一条对称轴方程为 x ? 角为( A. )

?
4

, 则直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜

? 4

B.

3? 4

C.

? 3

D.

2? 3

3. 若圆 C: x2 ? y 2 ? ax ? 2 y ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? x ?1 对称, 动圆 P 与圆 C 相外 切且直线 x ? ?1 相切, 则动圆圆心 P 的轨迹方程是( A. y 2 ? 6 x ? 2 y ? 2 ? 0 C. y 2 ? 6 x ? 2 y ? 2 ? 0 4. 椭圆 A. )

B. y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 D. y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 )
30 6

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和双曲线 2 ? 2 ? 1 有公共焦点,则椭圆的离心率是( 2m 2 n m 2n

3 2

B.

15 3

C. )

6 4

D.

5. 抛物线 y=4x2 的准线方程是( A. y+1=0 B. x+1=0
2

C. 16y+1=0

D. 16x+1=0
??? ??? ? ?

6. 设 O 为坐标原点,抛物线 y =4x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则 OA? =( OB 3 3 A. ? B. C. -3 D. 3 4 4 7. 椭圆 于

)

x2 y 2 ? ? 1 上有 n 个不同的点: P , P2 ,?, Pn , 椭圆的右焦点为 F, 数列 | Pn F | 是公差不小 1 4 3

1 的等差数列, 则 n 的最大值是( 100

) C. 200 D. 201

A. 198 8. 设 F1, F2 是双曲线

B. 199
2 2

x y ? ? 1(a ? 0) 的两焦点,点 P 在双曲线上,∠F1PF2=90°,若 Rt 4a a

△F1PF2 的面积为 1,那么 a 的值是 ( A.1 B.
5 2

) C.2 D. 5 )

9. 抛物线 x2 ? 2 y 上离点 A(0, a)最近的点恰好是顶点,这个结论成立的充要条件是(
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A. a≤0

B. a ?

1 2

C. a≤1

D. a≤2 )

10. 已知 x, y ? R , 且 (log 2 3) x ? (log3 5) y ? (log3 2) y ? (log5 3) x , 则 x 与 y 应满足( A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0

D. x ? y ? 0
1 1 ? 的最小值 a b

二、填空题(每小 5 分,共 25 分)
11. 若 直 线 a x? b y?1 ?0 ( a ? 0 , b? 0过 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 的 圆 心 , 则 ) 为 . 条.

12. 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相切, 且在两坐标轴上截距相等的直线共有

13. 过直线 l : y ? x ? 9 上一点 P 作一长轴最短的椭圆, 使其焦点为 F1 (?3,0) , F2 (3,0) , 则椭圆 的方程为
2 2

.
x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) , 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别 a 2 b2

14. 设双曲线

为 x1 和 x2 , 则点 P( x1, x2 ) 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系为

.

15. 设直线系 M : x cos? ? ( y ? 2)sin? ? 1(0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命题: A. M 中所有直线均经过一个定点

B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C.对于任意整数 n (n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
16. (本题 12 分)已知△ABC 中,A 点坐标(1,3) ,AB、AC 边上的中线所在直线方程 分别为 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 y-1=0,求△ABC 各边所在直线的方程。

17. ( 本 题 12 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 和 圆
C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 。

(1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点 P 的坐标。

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? 3 x ? y ? 0, ? ? 18. (本题 12 分)已知 A(3, 3) ,O 是原点,点 P(x, y)的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0, ? y ? 0. ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA? OP OA? OP ? ? (1)求 ??? 的最大值.;(2)求 z ? ??? 的取值范围. | OA | | OP |

19. (本题 12 分)设 F1, F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4 ???? ???? ? (1)若 P 是该椭圆上的一个动点, 求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值;

(2)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B, 且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐 标原点), 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

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x x 20. (本题 13 分) 已知双曲线的两条渐近线方程为直线 l1 : y ? ? 和 l2 : y ? , 焦点在 y 轴上, 2 2

实轴长为 2 3 , O 为坐标原点. (1)求双曲线方程; (2)设 P , P2 分别是直线 l1 和 l 2 上的点, 点 M 在双曲线上, 且 PM ? 2MP2 , 求三角形 P1OP2 的 1 1 面积.
???? ? ???? ?

21. (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? px2 ? qx , 其中 p ? 0, p ? q ? 1 , 对于数列 {an} , 设它的前 n 项和为 S n , 且满足 Sn ? f (n)(n ? N * ) . (1)求数列 {an} 的通项公式, 并证明 an?1 ? an ? 1(n ? N * ) ;
S1 S S S ), M 2 (2, 2 ), M 3 (3, 3 ),?, M n (n, n ) 在同一直线 l1 上; 1 2 3 n (3)若过点 N1 (1, a1 ), N2 (2, a2 ) 作直线 l 2 , 设 l 2 与 l1 的夹角为 ? , 求 tan? 的最大值.

(2)求证:点 M1 (1,

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武汉二中上学期高二年级期中考试 数学试卷(理)答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 C 6 C 7 D 8 A
x2 y 2 ? ?1 45 36

9 C

10 A

二、填空题 11.4 12.4 13.

14.点 P(x1, x2)在圆 x2+y2=2 外 15.B、C 三、解答题 16.解:设 AB、AC 的中线分别为 CD、BE,其中 D、E 为中点。 ∵B 在中线 y-1=0 上, ∴设 B 点的坐标为(xB, 1), ∵D 为 AB 的中点,A(1,3) , ∴D 的坐标为 (
xB ? 1 ,2) , 2

∵D 在中线 CD:x-2y+1=0 上, ∴
xB ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 ? xB ? 5 2

∴B 的坐标是(5,1)………………………………(5 分) ∵点 C 在直线 x-2y+1=0 上, ∴设 C 点的坐标是(2t-1,t) , ∴AC 的中点 E 的坐标为 (t ,
t ?3 ), 2

∵E 点在直线 y-1=0 上, ∴
t ?3 ? 1 ,则 t=-1,点 C 坐标是(-3,-1)………………(10 分) 2

故可求得△ABC 三边所在直线方程为
AB : x ? 2 y ? 7 ? 0, BC : x ? 4 y ?1 ? 0, AC : x ? y ? 2 ? 0 。………………(12 分)

17. (1) 解: 由于直线 x=4 与圆 C1 不相交, 所以直线 l 的斜率存在。 设直线 l 的方程为 y=k(x -4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,所以
d ? 22 ? ( 3) 2 ? 1 。由点到直线的距离公式得 d ?

|1 ? k (?3 ? 4) | 1? k 2

,从而 k (24k ? 7) ? 0 。

7 ,所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0。…………………(5 分) 24 (2)设点 P(a, b)满足条件,不防设直线 l1 的方程为 y ? b ? k ( x ? a), k ? 0 ,则直线 l2 的方

即 k=0 或 k ? ?

1 程为 y ? b ? ? ( x ? a) 。因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 k

l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距

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离相等,则

|1 ? k (?3 ? a ) ? b | 1? k 2

1 | 5 ? (4 ? a) ? b | k ? 。………………………………(7 分) 1 1? 2 k

整理得 |1 ? 3k ? ak ? b |?| 5k ? 4 ? a ? bk | , 从而 1 ? 3k ? ak ? b ? 5k ? 4 ? a ? bk 或
1 ? 3k ? ak ? b ? ?5k ? 4 ? a ? bk , 即 (a ? b ? 2)k ? b ? a ? 3或(a ? b ? 8)k ? a ? b ? 5, 因为 k 的取值范围有无穷多个。
?a ? b ? 2 ? 0, ?a ? b ? 8 ? 0, 所以 ? 或? ?b ? a ? 3 ? 0 ?a ? b ? 5 ? 0,
5 3 ? ? ?a ? 2 , ?a ? ? 2 , ? ? 或? 解得 ? 1 ? 13 ?b ? ? b? . ? ? 2 ? ? 2

3 13 5 1 这样点只可能是点 P ( , ? ) 或点 P2 (? , ) 。 1 2 2 2 2

经检验点 P1 和 P2 满足题目条件。

??? ??? ? ? ? OA? OP ??? ? 18. (1)作出可行域如图,则 ??? ?| OP | cos ?AOP , | OA |

………………………………………(12 分)

又∠AOP 是 OA与OP 的夹角, ∴目标函数
??? ?
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA? OP ??? 表示 OP在OA 上的投影,…………3 分 ? | OA |

??? ??? ? ?

过 P 作 OA 的垂线 PH,垂足为 H, 当 P 在可行域内移动到直线 3x ? y ? 0 和直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的交点 B(1, 3) 时,
???? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? OP在OA 上的投影为 | OH | 最大,此时 | OP |?| OB |? 2 ,∠AOP=∠AOB= , 6 ??? ??? ? ? ??? ? ? OA? OP ? ? ??? 的最大值为 | OB | cos ?AOB ? 2cos ? 3 ………………………6 分 | OA | 6 ??? ??? ? ? ???? OA? OP ? (2) z ? ??? ? |OA|cos?AOP ? 2 3 cos ?AOP ,…………………………………9 分 | OA |

? 5? ? ? 因为 ?AOP ? [ , ] ,所以当 ?AOP ? 时, zmax ? 2 3cos ? ? 3 ; 6 6 6 6
当 ?AOP ?
5? 5? 时, zmin ? 2 3cos ? ?3 。 6 6 ??? ??? ? ? OA? OP ? ? z ? ??? 的取值范围为[-3,3]。 ……………………………………12 分 | OA |

19. (1)易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3,? F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) ,设 P(x, y), 则 PF1 ?PF2 ? (? 3 ? x, ? y)? 3 ? x, ? y) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? x 2 ? 1 ? ( 而 x ?[?2,2] ,故当 x=0 时, PF1 ?PF2 有最小值-2. 当 x ? ?2 时, PF1 ?PF2 有最大值 1……………………6 分 (2)显示直线 x=0 不满足题意,∴可设直线 l : y ? kx ? 2, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
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???? ???? ?

x2 1 1 ? ? (3x 2 ? 8) ……4 分 4 4 4

???? ???? ?

???? ???? ?

联立 ? x 2

? y ? kx ? 2 1 ? 消去 y 得 (k 2 ? ) x2 ? 4kx ? 3 ? 0 2 4 ? ? y ?1 ?4
?4 k 3 , x ?x ? ………………7 分 1 1 2 1 2 2 k ? k ? 4 4

? x1 ? x2 ?

3 3 1 由△ ? (4k )2 ? 4(k 2 ? ) ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0 得 k ? ? 或k ? ………………①8 分 2 2 4

又 0? ? ?AOB ? 90? ,则 cos AOB ? 0即OA? ? 0 OB
? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

??? ??? ? ?

? x1 x2 ? y1 y2 ?

3 k2 ? 1 4

?

?k 2 ? 1 ? 0 即 k 2 ? 4 ??2 ? k ? 2 ………………②11 分 1 k2 ? 4
3 3 或 ? k ? 2 ………………12 分 2 2

由①②得 k 的范围是 ?2 ? k ? ?

20. (1)依题意可设双曲线方程为: y 2 ? 则2 ? ?2 3
?? ? 3

x2 y 2 x2 ? ? (? ? 0)即 ? ?1 4 ? 4? y 2 x2 ? ? 1 ……………………5 分 3 12

∴双曲线方程为

(2)设 P (?2 y1, y1), P2 (2 y2, y2 ) 和点 M(x0, y0) 1
???? ? ???? ? ? PM ? 2MP2 1
?2 y1 ? 4 y2 ? ? x0 ? ? 3 ?? ? y ? y1 ? 2 y2 ? 0 3 ?

又∵M 在双曲线上

2 ? y0 ?

2 x0 ? 3 4

?(

y1 ? 2 y2 2 1 ?2 y1 ? 4 y2 2 27 ………………9 分 ) ? ( ) ? 3 整理得 y1 y2 ? 3 4 3 8
y ? y1 x ? 2 y1 2y y 令 x=0 得 y ? 1 2 ? y2 ? y1 2 y2 ? 2 y1 y1 ? y2

又直线 P1P2 的方程为

1 2y y 27 ………………13 分 ? S?POP2 ? ? 1 2 |? (2 y2 ? 2 y1 ) |? 2 | y1 y2 |? | | 1 2 y1 ? y2 4

21. (1)? Sn ? f (n) ? pn2 ? qn ? 当 n=1 时, a1 ? s1 ? p ? q 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? qn ? [ p(n ? 1)2 ? q(n ? 1)] ? 2 pn ? p ? q 由于 n=1 时, a1 ? p ? q 适合上式,故数列{an}的通项公式为 an ? 2 pn ? p ? q ………………3 分 又 an?1 ? an ? 2 p ? 0 ∴{an}是首项为 p+q,公差为 2p 的等差数列,?an?1 ? an ? ? ? a1 ? p ? q ? 1 ? an?1 ? an ? 1 ………………4 分 (2)设 M i , M j (i ? j) 是 M1,M2,…,Mn 中任意两点,则 M i (i, i ), M j ( j,
S i Sj j )

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Si S j j (a ? a j ) i (a1 ? ai ) ? ? i? 1 jSi ? iS j j ? 2 i j 2 ? kM iM j ? ? ? i? j ij (i ? j ) ij (i ? j ) ij (a1 ? ai ) ? ij (a1 ? a j ) ai ? a j [a1 ? (i ? 1)2 p] ? [ a1 ? ( j ? 1)2 p] ? ? ? 2ij (i ? j ) 2(i ? j ) 2(i ? j )

=P…………………………8 分
? M i , M j 两点连线的斜率为定值 P,又 M i , M j 是 M1,M2,…,Mn 中任意两点,

∴点 M1,M2,……,Mn 在同一直线 l1 上………………9 分 (3)∵N1, N2 两点连线的斜率为 k2 ? 得
tan ? | k1 ? k2 p 1 1 ………………13 分 |? ? ? 2 1 1 ? k1k2 1 ? 2 p ? 2p 2 2 p
2 1 时,上式等号成立。 ? 2p 即 p ? 2 p
2 2 时, tan? 有最大值 ……………………14 分 4 2

a2 ? a1 ? 2 p ,又直线 l 的斜率为 k1=p,由夹角公式 2 ?1

当且仅当 故当 p ?

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