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浙江省嘉兴一中2015届高三上学期学科基础测试数学(理)试题(扫描版,有答案)


2014 年高中学科基础测试 理科数学 1.D; 6.B; 2.B; 7.C; 3.A; 8.A; 评分参考 5.C; 10.D. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 4.D; 9.B; 二、填空题:本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分 11.1007; 15. ? 4 ; 7 2 ; 10 50 16. ; 9 12. ? 13. 2 x ? y ? 3 ? 0 ; 14.32; 17. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ; 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题 14 分) 在△ ABC 中,已知 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin A sin B . (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)若 c ? 4 ,求 a ? b 的最大值. 解: (Ⅰ)由 sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin A sin B ,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab . 所以, cos C ? a2 ? b2 ? c2 1 ? ? ,角 C ? . 2ab 2 3 ┅ 4分 ┅ 8分 ┅ 10 分 (Ⅱ)因为 c ? 4 ,所以 16 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab . 又 ab ? ( a?b 2 1 ) ,所以 16 ? (a ? b) 2 ,从而 a ? b ? 8 ,其中 a ? b 时等号成立. 2 4 ┅ 14 分 故, a ? b 的最大值为 8. 19. (本题 14 分) 已知数列 {a n } 满足: a 1 ? 1 , a n?1 ? 2a n ? 1 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? a n a n?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 解: (Ⅰ)由 a n?1 ? 2a n ? 1 ,得 a n?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) . 所以, {a n ? 1} 成等比,公比 q ? 2 ,首项 a 1 ? 1 ? 2 . 所以, a n ? 1 ? 2 n ,即 a n ? 2 n ? 1 . ┅ 4分 ┅ 8分 (Ⅱ) bn ? a n a n?1 ? (2 n ? 1)(2 n?1 ? 1) ? 2 ? 4 n ? 3 ? 2 n ? 1 , 所以,数列 {bn } 的前 n 项和 ┅ 10 分 S n ? 2(41 ? 4 2 ? ? ? 4 n ) ? 3(21 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) ? n ? 2? 4(4 n ? 1) 2( 2 n ? 1) 8 10 ? 3? ? n ? ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? . 4?1 2?1 3 3 ┅ 12 分 ┅ 14 分 20.(本题 15 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC ,△ ABC 是正三角形, AB ? 4 , PA ? 3 , M 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: CM ? 平面 PAB; (Ⅱ)设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? ,求 cos ? 的值. 解:(Ⅰ)因为 PA ? 底面 ABC ,所以 PA ? CM . 因为△ ABC 是正三角形, M 是 AB 的中点,所以 CM ? AB . 所以, CM ? 平面 PAB. (Ⅱ) (几何法) 由对称性可知,二面角 A ? PB ? C 的大小也为 ?

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