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山西省太原五中2014届高三上学期10月月考数学文试题


太原五中 2013—2014 年学年度高三第一学期月考(10 月) 数学(文)
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x || x |? 3} , B ? {x | y ? A. [0,3) B. [1,3) C. (1,3)

x ? 1} ,则

集合 A ? B 为(
D. (?3,1] )

)

2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0.3)内是增函数的是( A. y ? 2 ? 2
x ?x

B. y ? cos x
1

C. y ? log 0.5 x

D. y ? x ? x

?1

3.函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 的零点所在的一个区间是(
x

1 2

)

1 D. (1,2) 2 4 1 4.设 a ? 0, b ? 0. 若 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 ? 的最小值是( ) a b
A. (0, ) B. ( , ) C. ( ,1) A.4
5.已知 sin(

1 3

1 1 3 2

B. 6

C.8

D.9

5? 1 ( ) ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 2 1 1 2 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 6.已知函数 y ? log a ( x ? 1) ? 3, (a ? 0且a ? 1) 的图像恒过点 P ,若角 ? 的终边经过点
P , 则 sin2 ? ? sin 2? 的值等于(
A. )

3 13

B.

5 13

C. ?

3 13

D. ?

5 13
)

7.已知数列 {an } 满足 a0 ? 1 , an ? a0 ? a1 ? a2 ?? an ?1 (n ? 1) ,则当 n ? 1时, an 为 ( (A) 2
n

(B)

n(n ? 1) 2

(C) 2

n?1

(D) 2 ? 1
n

8.已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x-x3 的极大值点坐标为(b,c)则 ad 等于 ( ) A. 2 B.1 C.-1 D.-2

9 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ( x ? 2) f ?( x) ? 0, 又 a ? f (log 1 3) ,
2

1 b ? f (( ) 0.3 ), c ? f (ln 3), 3

则(

)

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a
2 x

C. c ? a ? b )

D. c ? b ? a

10.当 a > 0 时,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e 的图象大致是(

11. 已知 f ? x ? ? ? 是( )

? x 2 ? 2, x ? 0 ?3x ? 2, x ? 0

, 若 f ? x ? ? ax在x ? ? ?1,1? 上恒成立,则实数 a 的取值范围

A. ? ?? ? 1? ? ? 0, ?? ?

B. ? ?1,0 ?

C. ? 0,1?
2

D. ??1,1?
2

12.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,若 f (2 ? a ) ? f (a) , 则实数 a 的取值范围是( ) C. (?1, 2) D. (??, ?2) ? (1, ??)

A. (??, ?1) ? (2, ??) B. (?2,1)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分

?x ? y ? 2 ? 13.若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ?x ? y ? 0 ?
14.下列命题中,真命题的有
2 2



。 (只填写真命题的序号)

① 若 a, b, c ? R, 则“ ac ? bc ”是“ a ? b ”成立的充分不必要条件;

1 的最小值为 2; 4 sin x ③ 若命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,则命题 q 一定是真命题;
② 当 x ? (0,

?

) 时,函数 y ? sin x ?

④ 若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .
2 2

15.若函数 y ? 3 ? x 2 ln(

1? x ? 1 1 ? 的最大值与最小值分别为 M,m,则 M+m = ) x? ? , ? 2 2? 1? x ? ?

16.若两个等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 、 Tn ,对任意的 n ? N * 都有

a4 a8 S n 2n ? 1 ? ,则 = ? b5 ? b7 b3 ? b9 Tn 4n ? 3
三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知公差不为 0 的等差数列 {a n } 的首项为 a(a ? R) ,且

1 1 1 , , 成等比数列. a1 a 2 a 4

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,试比较
*

1 1 1 1 1 ? ? ??? 与 的大小. a 2 a2 2 a 2 3 a2 n a1

18.已知数列 {a n } 满足: S n ? 1 ? a n (n ? N ) ,其中 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和.
*

(Ⅰ)试求 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn ?

n (n ? N * ) ,试求 {bn } 的前 n 项和公式 Tn . an

19.已知函数 f ( x) ? ax ? ( a ? 2) x ? ln x.
2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程; ( (2)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取 值范围.

20 已知函數 f ( x) ? ln x ? mx (m ? R)
2

(I)求函数 f (x) 的单调区间; (II)若 m ? 0, A(a, f (a)), B(b, f (b)) 是函数 f (x) 图象上不同的两点,且 a ? b ? 0 ,

f / ( x) 为 f (x) 的导函数,求证: f / (

a?b f (a) ? f (b) )? ? f / (b) 2 a ?b









2013—2014 学年度第一学期月考(10 月) 高三数学答卷纸(文)

命题、校对:郭贞

一、选择题:本大题共 12 题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 题 1 号 答 案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分

13、

14、

15、

16、

三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 已知公差不为 0 的等差数列 {a n } 的首项为 a(a ? R) ,且 (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,试比较
*

1 1 1 , , 成等比数列. a1 a 2 a 4

1 1 1 1 1 ? ? ??? 与 的大小. a 2 a2 2 a 2 3 a2 n a1

18.已知数列 {a n } 满足: S n ? 1 ? a n (n ? N ) ,其中 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和.
*

(Ⅰ)试求 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn ?

n (n ? N * ) ,试求 {bn } 的前 n 项和公式 Tn . an

19 已知函数 f ( x) ? ax ? ( a ? 2) x ? ln x.
2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程; ( (2)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取 值范围.

20 已知函數 f ( x) ? ln x ? mx (m ? R)
2

(I)求函数 f (x) 的单调区间; (II)若 m ? 0, A(a, f (a)), B(b, f (b)) 是函数 f (x) 图象上不同的两点,且 a ? b ? 0 ,

f / ( x) 为 f (x) 的导函数,求证: f / (

a?b f (a) ? f (b) )? ? f / (b) 2 a ?b









2013—2014 年学年度第一学期月考(10 月) 高三数学(文)答案
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。
题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 C 6 C 7 C 8 A 9 D 10 B 11 B 12 B

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分

13、

4

14、

①③④

15、

6

16、

21 41

三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 已知公差不为 0 的等差数列 {a n } 的首项为 a(a ? R) ,且

1 1 1 , , 成等比数列. a1 a 2 a 4

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,试比较
*

1 1 1 1 1 ? ? ??? 与 的大小. a 2 a2 2 a 2 3 a2 n a1

解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意可知 ( 即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,从而 a1 d ? d
2 2

1 2 1 1 ) ? ? a2 a1 a4

因为 d ? 0, 所以d ? a1 ? a. (Ⅱ)解:记 Tn ?

故通项公式 an ? na.

1 1 1 ? ??? ,因为a2n ? 2n a a2 a22 a2n

1 1 (1 ? ( ) n ) 1 1 1 1 1 2 1 1 2 所以 Tn ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? ? ? [1 ? ( )n ] 1 a 2 2 a a 2 2 1? 2
从而,当 a ? 0 时, Tn ?

1 1 ;当 a ? 0时, Tn ? . a1 a1
*

18.已知数列 {a n } 满足: S n ? 1 ? a n (n ? N ) ,其中 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和. (Ⅰ)试求 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn ? 18.解: (Ⅰ)? S n ? 1 ? a n

n (n ? N * ) ,试求 {bn } 的前 n 项和公式 Tn . an



? S n?1 ? 1 ? an?1 ②
②-①得 a n ?1 ? ?a n ?1 ? a n

? a n ?1 ?

1 1 a n , (n ? N * ) 又 n ? 1时,a1 ? 1 ? a1 ? a1 ? 2 2
[

? an ?

1 1 n?1 1 ? ( ) ? ( ) n , (n ? N * ) ????????6 分 2 2 2

(Ⅱ) bn ?

n ? n ? 2 n , (n ? N * ) ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n an



? 2Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n?1 ④

? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1
③-④得

?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2
n ?1

整理得: Tn ? (n ? 1)2

? 2, n ? N * ????12 分2

19 错误!未指定书签。 已知函数 f ( x) ? ax ? ( a ? 2) x ? ln x. .

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程; ( (2)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取 值范围.
错误!未找到引用源。解:(Ⅰ)当 a

? 1 时, f ( x) ? x 2 ? 3 x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ?

1 x

因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 .

所以切线方程是 y ? ?2.

( ? (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 0, ?)
当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? 0) x x
所以 x ?

令 f ' ( x) ? 0 ,即 f ' ( x) ?

2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? ?0, x x

1 或 2

x?

1 a 1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f (x) 在[1,e]上单调递增,所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 a

当0?

f (1) ? ?2 ;
当1 ? 当

1 1 ? e 时, f (x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; a a

1 ? e 时, f (x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax 2 ? ax ? ln x ,

( ? 上单调递增即可 只要 g (x) 在 0, ?)
当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

而 g ' ( x) ? 2ax ? a ?

1 2ax 2 ? ax ? 1 ? x x

1 ( ? 上单调递增; ? 0 ,此时 g (x) 在 0, ?) x

? 当 a ? 0 时 , 只 需 g ' ( x) ? 0 在(0, ?)上 恒 成 立 , 因 为 x ? (0,??) , 只 要
2ax 2 ? ax ? 1 ? 0 ,
则需要 a ? 0 , 对于函数 y ? 2ax 2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1),对称轴 x ? 即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8
20 错误!未指定书签。 已知函數 f ( x) ? ln x ? mx (m ? R) .
2

1 ? 0 ,只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 , 4

(I)求函数 f (x) 的单调区间; (II)若 m ? 0, A(a, f (a)), B(b, f (b)) 是函数 f (x) 图象上不同的两点,且 a ? b ? 0 ,

f / ( x) 为 f (x) 的导函数,求证: f / (

a?b f (a) ? f (b) )? ? f / (b) 2 a ?b
1 1 ? 2mx 2 ? 2mx ? x x

错误!未找到引用源。解:(Ⅰ)f(x)的定义域为 0, ?) f ' ( x) ? ( ? ,

当m ? 0时,f (x)在(0, ? ?)单调递增; 当m ? 0时,由f'(x) ? 0得x ? 1 2m

x ? (0,-

1 1 ) 时, f ' ( x) >0, f (x) 在 (0,) 上单调递增; 2m 2m

x ?( -

1 1 ,??) 时, f ' ( x) <0, f (x) 在 ( ,??) 上单调递减. 2m 2m

综上所述: 当m ? 0时,f (x)在(0, ? ?)单调递增.

当m ? 0时, (x) 在 (0,f
(Ⅱ)要证

1 1 ) 上单调递增,在 ( ,??) 上单调递减 2m 2m

f (a) ? f (b) 1 a a a ? ,只需证 ln ? ? 1 ,令 ? t ? 1, 即证 ln t ? t ? 1 ? 0 , a ?b b b b b 1 令 g (t ) ? ln t ? t ? 1, g ?(t ) ? ? 1 ? 0 , t
因此 g (t ) ? g (1) ? 0 得证

a 2( ? 1) ln a ? ln b 2 a 要证 ,只要证 ln ? b , ? a a ?b a?b b ?1 b a 令 ? t ? 1 ,只要证 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1) ? 0 , b 1 令 h(t ) ? (t ? 1) ln t ? 2t ? 2, h?(t ) ? ln t ? ? 1 , t 1 1 h??(t ) ? ? 2 ? 0 因此 h?(t ) ? h?(1) ? 0 , t t
所以 h(t ) ? h(1) ? 0 得证 另一种的解法: 令

a 2(t -1) = t >1 , h(t )= ln t , b t +1
1 4 t 2 +2t -3 = >0 t t +1 t (t +1) 2

则 h?(t )= -

t >0 ,

所以 h(t ) 在 (1,+?) 单调递增,

h(t )>h(1)=0,

a 2( -1) a 即 ln > b , 得证. a b +1 b


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