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广东省深圳市南山区2015-2016学年高二上学期期末数学(理)试卷


高 二 教 学 质 量 监 测


时间 120 分钟. 注意事项:

学(理科)

2016.01.20

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试

1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位

置填写自己的学校、班级、姓名及座位号,在信息栏填写自己的考号,并用 2B 铅笔填涂 相应的信息点. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。 4.考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损,考试结束后,将答题卡交回。 5.考试不可以使用计算器.

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个 选项符合 .... 题意)
1. “ x 2 ? 1 ”是“ x ? 1 ”的( A.充分不必要 C.充要 )条件 B.必要不充分 D.既不充分也不必要

2.在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是 A.钝角三角 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不能确定

3.下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是

x2 y2 ? y 2 ? 1 C. x 2 ? ?1 4 2 1 4.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? , a3a5 ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? 4 1 A.1 B.2 C. 2
A. x ?
2

y2 ?1 4

B.

D.

x2 ? y2 ? 1 2

D.

1 8

5. 若焦点在 x 轴上的椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m= 2 2 m

A. 3 6. 若直线 A.2

B.

3 2

C.

8 3

D.

2 3

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 (1,1) ,则 a ? b 的最小值等于 a b
B.3 C.4 D.5

7.已知命题 p:|x-1|≥2,命题 q:x∈Z,若“p 且 q”与“非 q”同时为假命题,则满 足条件的 x 为 A.{x|x≥3 或 x≤-1,x∈Z} C.{0,1,2} B.{x|-1≤x≤3,x∈Z} D.{-1,0,1,2,3}

8.在 ??? C 中,三个内角 ? ,? ,C 所对的边为 a ,b ,c ,若 S ???C ? 2 3 ,a ? b ? 6 ,

a cos ? ? b cos ? ? 2 cos C ,则 c ? c
A. 2 7 B. 2 3 C. 4 D. 3 3

?x ? 2 y ? 0 ? 9. 设 z ? x ? y ,其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 6 ,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
A. ?3 B. ?2 C. ?1 D. 0 10. 斜率为 1 的直线经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 且与抛物线相交于 A,B 两点,则错误! 未找 到引用源。= A. 8 B. 6 C. 12 D. 7 3

11. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1(n ? N? ) ,则数列 ?

?1? ? 的前 10 项和为 ? an ?
D.

A.

2 5

B.

20 11

C.

11 20

5 7

12. 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F .短轴的一个端点为 M ,直线 a 2 b2

l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点.若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离不小于
4 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是 5
A. (0,

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

第 II 卷

非选择题(满分 90 分)

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 已知点 A (1,2,-1),点 B 与点 A 关于平面 xoy 对称,则线段 AB 的长为__________. 14. 若对任意 x>0 , 15. 已知 f ( x ) ?

x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2

.

x ( x ? 0) ,数列 ?an ? 满足 a1 ? f (1) ,且 an?1 ? f (an ) (n ? N? ) , 1? x

则 a2015 = __________. 16. 设椭圆的两个焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交 点为 P,若 ?F1 PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是__________.

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分)
2 2 17. (本题 10 分)设 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q :实数 x

满足 x ? 3 ? 1. (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18 .( 本 题 12 分 ) ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c ,

a cos C ? c cos A ? 2b cos A .
(1)求 A . (2)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

19. (本题 12 分)右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为边 长 2 正 方 形 , PD ? 平 面 A B C D, EC // PD , 且

P

E

PD ? 2 2 , CE ?

. 2
D C

(1)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ? 平面 PDB . (2)求平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的大小. 20. (本题 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F (1,0),直线
A

B

l : x ? ?1 ,点 P 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交

点, RQ ? FP, PQ ? l . (1)求动点 Q 的轨迹的方程. (2)记 Q 的轨迹的方程为 E ,曲线 E 与直线 y ? kx ? 2 相交于不同的两点 A,B,且弦

AB 中点的纵坐标为 2 ,求 k 的值.

n2 ? n ,n ? N ? . 21. (本题 12 分)已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 2
(1)求数列 ?a n ?的通项公式. (2)设 bn ? 2 n ? ??1? an ,求数列 ?bn ?的前 2 n 项和.
a n

22. (本题 12 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的上顶点为 A ,右焦点为 F ,直线 a2

AF 与圆 M : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 3 相切.
(1)求椭圆 C 的方程.

Q 两点, (2) 若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P ,
且 AP ? AQ ? 0 . 求证:直线 l 过定点,并求出该定点 N 的坐标.

高二数学(理科)参考答案
2016.01.20 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 2 6

14. a ?

1 5

15.

1 16. 2 ? 1 2016

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分) 17. (本题 10 分) 解:(1)由 x -4ax+3a <0,得(x-3a)(x-a)<0,又 a>0,所以 a<x<3a. ------2 分 当 a=1 时,1<x<3,------3 分
2 2

又 x ? 3 ? 1得 2 ? x ? 4 ------4 分 由 p∧q 为真. ∴x 满足 ?

?1 ? x ? 3 即 2<x<3. ?2 ? x ? 4

则实数 x 的取值范围是 2<x<3. ------5 分

(2)q 是 p 的充分不必要条件, 记 A={x|a<x<3a,a>0},B={x|2<x<4},则 B 是 A 的真子集,------7 分 ∴ a≤2 且 4≤3a. ------9 分 则实数 a 的取值范围是

4 ? a ? 2 . ------10 分 3

18. (本题 12 分) 解:(1)

a cos C ? c cos A ? 2b cos A
∴ sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos A 即 sin( A ? C ) ? 2sin B cos A ------3 分 又 sin( A ? C ) ? sin B ,------4 分 则 cos A ?

1 ,------5 分 2



0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3

------6 分

(2) 由余弦定理,得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?
得 7 ? 4 ? c ? 2c ,即 c ? 2c ? 3 ? 0 ------9 分
2 2

?
3

,------7 分

因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 ,------10 分 故 ?ABC 面积为

1 3 3 bc sin A ? .------12 分 2 2

19. (本题 12 分) 解析:(1)证法 1:连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF, ∵F 为 BD 的中点,∴ NF / / PD 且 NF ? 又 EC / / PD 且 EC ?

1 PD 2

1 PD 2

则 NF / / EC 且 NF ? EC

∴四边形 NFCE 为平行四边形∴ NE / / FC ------2 分

AC ? 平面ABCD ∵ DB ? AC, PD ? 平面ABCD,
又 PD ? BD ? D, ∴ AC ? 面PBD ------4 分 ∴ NE ? 面PDB ------5 分

∴ AC ? PD ,

证法 2:如图以点 D 为坐标原点,以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示:则

B (2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 2),E(0,2,2),N(1,1,2)
则 EN ? (1,-1,0), PB ? (2,2,-2 2), DB ? (2,2,0)------2 分 ∵ EN ? PB ? 1? 2 ?1? 2 ? 0 ? (-2 2)=0 , EN ? DB ? 1? 2 ?1? 2 ? 0 ? 0 ? 0 ∴ EN ? PB,EN ? DB ------4 分 ∵ PB,DB ? 面PDB, 且 PB ? DB ? B ∴ NE ? 面PDB ------5 分 (2)连结 DN,由(1)知 NE ? 面PDB ∴ DN ? NE , ∵ PD ? DB ? 2 2 ,∴ DN ? PB ∴ DN 为平面 PBE 的法向量,且 DN ? ------8 分 (1,1,2) ∵ DP 为平面 ABCD 的法向量, DP ? ,------9 分 (0,0,2 2) 设平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 ,则 cos ? ? ∴ ? ? 45 ,
0

DN ? DP DN DP

?

2 ------11 分 2

即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45°------12 分

20. (本题 12 分) (1)依题意知,直线 l 的方程为: x ? ?1 .点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥ FP , ∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线 -----1 分 ∴ PQ 是点 Q 到直线 l 的距离. ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线,∴ PQ ? QF -----3 分
2

故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,其方程为: y ? 4x( x ? 0) -----5 分

? y ? kx ? 2 y2 ?2 (2) (法一)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 依题意知, k ? 0, 由 ? 2 有, y ? k 4 ? y ? 4x
即 ky 2 ? 4 y ? 8 ? 0 ,-----7 分 ∴ y1 ? y2 ? 又

4 ,-----8 分 k

y1 ? y2 ? 2, ∴ k ? 1 -----10 分 2

又当 k ? 1 时, ? ? 16 ? 32k ? 0 ,所以 k ? 1 满足题意,-----11 分 ∴ k 的值是 1-----12 分 (法二)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 ? 两式相减有 y12 ? y22 ? 4( x1 ? x2 ) , ∴

? y12 ? 4 x1
2 ? y2 ? 4 x2

,-----6 分

y1 ? y2 4 ,-----9 分 ? x1 ? x2 y1 ? y2

又k ?

y1 ? y2 y1 ? y2 , ? 2 ,-----11 分 x1 ? x2 2
则 k ? 1 -----12 分

21. (本题 12 分) (I)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ; ----1 分

n2 ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1? 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ? ? n, ----4 分 2 2
2

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n .----5 分
n (II))由(1)可得 bn ? 2 ? ? ?1? n ,----6 分 n

记数列 ?bn ? 的前 2 n 项和为 T2 n ,则

T2 n ? ? 21 ? 22 ?
1 2

? 22 n ? ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ?
2n

? 2n ? .

记A ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 , B ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? 2n, 则

----8 分

2(1 ? 22n ) ? 22 n?1 ? 2 ----11 分 1? 2 B ? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ??? ? ? ?(2n ? 1) ? 2n? ? n. A?
故数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 T2n ? A ? B ? 2 22. (本题 12 分)
2n ?1

? n ? 2 .----12 分

x (1) 由 A(0,1),F(c,0)得直线 AF 的方程为 +y=1,即 x+cy-c=0, c 又圆 M 的圆心为 M(3,1),半径 r= 3. |3+c-c| 由直线 AF 与圆 M 相切,得 = 3,---2 分 c2+1 解得 c= 2或 c=- 2(舍去). 当 c= 2时, a ? c ? 1 ? 3 ,
2 2

x2 ? y 2 ? 1.---4 分 故椭圆 C 的方程为 3
(Ⅱ) (解法 1) 以线段 PQ 为直径的圆过点 A 知 AP ? AQ ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直, 由 A(0,1) 可 设 直 线 AP 的 方 程 为 y ? kx ? 1 , 直 线 AQ 的 方 程 为

y??

1 x ? 1(k ? 0) . k
---5

分 将 y ? kx ? 1 代入椭圆 C 的方程 解得 x ? 0 或 x ? ? 即 (?

x2 ? y 2 ? 1并整理得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kx ? 0 ---6 分 3

6k 6k 6k 2 , 因此 的坐标为 (? ,? ? 1) , P 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
……8 分

6k 1 ? 3k 2 , ) 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

将上式中的 k 换成 ?

1 6k k 2 ? 3 ,得 Q ( 2 , ). k k ? 3 k2 ? 3

……9 分

k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ? 2 2 k ? 3 1 ? 3k 2 ( x ? 6k ) ? k ? 3 直线 l 的方程为 y ? 6k 6k k2 ? 3 k2 ? 3 ? k 2 ? 3 1 ? 3k 2
化简得直线 l 的方程为 y ?

k 2 ?1 1 x ? , ………11 分 4k 2
……12 分

因此直线 l 过定点 N (0, ? ) .

1 2

(解法 2)由题直线 l 的斜率存在,则可设直线 l 的方程为:

y ? kx ? m(

A(0,1) ? l ,? m ? 1) ,

代入椭圆 C 的方程

x2 ? y 2 ? 1并整理得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6mkx ? 3(m2 ?1) ? 0 , 3

……5 分 设直线 l 与椭圆 C 相交于 P( x1 , kx1 ? m) 、Q( x2 , kx2 ? m) 两点, 则 x1 , x2 是上述关于 x 的方程两个不相等的实数解, 从而 ? ? (6mk )2 ? 4(1 ? 3k 2 ) ? 3(m2 ?1) ? 12(3k 2 ? 1 ? m2 ) ? 0 ……6 分

x1 ? x2 ? ?

6mk 3(m2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

……7 分

由 AP ? AQ ? 0, 得

x1x2 ? (kx1 ? m ?1)(kx2 ? m ?1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? (m ?1)2 ? 0 ,
(1 ? k 2 ) ? 3(m2 ? 1) 6mk ? k (m ? 1) ? (? ) ? (m ? 1) 2 ? 0 ……9 分 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
1 . 2
……11 分

整理得: 2m2 ? m ? 1 ? 0, (2m ? 1)(m ? 1) ? 0, 由 m ? 1 知 m ? ?

此时 ? ? 9(4k 2 ? 1) ? 0 , 因此直线 l 过定点 N (0, ? ) .……………12 分

1 2


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