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江苏省苏州五中2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题


苏州五中 2012-2013 学年高二上学期期中考试数学试题
一.解答题(每小题 5 分,共 70 分) 一. 填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 过点(2,-3),在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 答案:3x+2y=0 和 x-y-5=0 答案: 27? 3.动圆 x2 ? y 2 ? 2x ? k 2 ? 2k ? 2 ? 0 的半径的取值范围是_

_________. 答案: [

.

2.棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.

2? ??)

4.如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a, PB=PD= 2a?

则它的 5 个面中互相垂直的面有__________对. 答案:5 5. 过 P(0,4)及 Q(3,0)两点,且在 x 轴上截得的弦长为 3 的圆的方程是
2 2 答案: x ? y ? 3x ? 4 y ? 0 或 x ? y ? 9 x ?
2 2

.

17 y ? 18 ? 0 2

6.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则四棱锥 A ? BB1D1D

的体积为 ____ cm3. 答案:6 7. 若直线 y=kx-1 与曲线 y ? ? ? x 2 ? 4 x ? 3 有公共点,则 k 的取值范围是 答案:[0,1] 8.已知正三棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 .

4 3 ,则它的体积为 3

.

答案:

2 3 3

1

9. 把 半 径 为 3cm , 中 心 角 为 __________.

2 ? 的扇形卷成一个圆锥形容器,这个容器的容积为: 3

2 2? cm3 3 答案:
10. 过 点 A(1 4 3 )作 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 3 y ?12 ? 0 的 弦 , 其 中 长 度 为 整 数 的 弦 共 有 ? 条. 答案:8 11.已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上,PQ 的中点为? M ( x0 ? y0 )? 且
y y0 ? x0 ? 2? 则 x00 的取值范围为

.

答案: (? 1 ? ? 1 ) 2 5 12. 设 m 、 n 是 两 条 不 同 的 直 线 ? ? 、 ? 是 两 个 不 同 的 平 面 , 则 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ___________(填序号). ① m ? ?? n ? ? ? m ? n ? ? ? ? ② ? ∥ ? ? m ? ?? n ∥ ? ? m ? n ③? ? ? ? m ? ?? n ∥ ? ? m ? n ④ ? ? ? ? ? ? ? ? m? n ? m ? n ? ? ⑤若 m 不垂直于 ? ,则 m 不可能垂直于 ? 内无数条直线. 答案:② 13.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ___ 答案: .

4 3

14.设直线系 M:xcos ? ? ?(y-2)sin ? ?=1 (0 ? ? ? 2 ? ),对于下列四个命题: ①存在一个圆与所有直线相交; ②存在一个圆与所有直线不相交; ③存在一个圆与所有直线相切; ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等?. 其中真命题的代号是 ___ .(写出所有真命题的代号) 答案:①②③ 二.解答题(共 90 分) 15.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AB、BC 的中点.

2

(1) 试判截面 MNC1A1 的形状, 并说明理由; (2)证明:平面 MNB1⊥平面 BDD1B1.

16.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA , , PO PB 成等比数列,求 PA? PB 的取值范围. 解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即得圆 O 的方程为 x ? y ? 4 .
2 2
2 (2)不妨设 A( x1,,B( x2,,x1 ? x2 .由 x ? 4 即得 A(?2,,B(2, . 0) 0) 0) 0)

设 P( x,y ) ,由 PA , , 成等比数列,得 PO PB

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,即 x2 ? y 2 ? 2 .

??? ??? ? ? PA?PB ? (?2 ? x, y)? ? x, y) ? x2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ?1). ? (2 ?
由于点 P 在圆 O 内,故 ?

??? ??? ? ? ? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 由此得 y ? 1 .所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, . 0) 2 2 ? x ? y ? 2. ?

3

17. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=AA1=3, BC=2 ,D 是 BC 的中点,F 是 CC1 上一点,且 CF=2,E 是 AA1 上一点,且 AE=2. (1)求证:B1F⊥平面 ADF; (2)求证:BE∥平面 ADF.

证明: (1) 因为 AB=AC, D 为 BC 的中点, 所以 AD⊥BC 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,AD ? 平面 ABC, 所以 AD⊥BB1 , 又 BC ? BB1=B, 所以 AD⊥平面 BCC1B1 , 又 B1F ? 平面 BCC1B1, 所以 AD⊥B1F, 在矩形 BCC1B1 中, C1F=CD=1, CF=C1B1=2, 所 以 Rt△DCF≌Rt△FC1B1 , 所以∠CFD=∠C1B1F 所以 ∠B1FD=90° 所以 B1F⊥FD, 又 AD ? FD=D, 所以 B1F⊥平面 ADF. , (2) 连结 EF, EC, 设 EC ? AF=M, 连结 DM, 因为 AE=CF=2, 又 AE∥CF, AC⊥AE,所以 四边形 AEFC 是矩形,所以 M 为 EC 中点,又 D 为 BC 中点,所以 MD∥BE ,因为 MD ? 平面 ADF, BE ? 平面 ADF,所以 BE∥平面 ADF. 18.已知圆 C : ( x ? 2) ? y ? 4 ,相互垂直的两条直线 l1 、 l2 都过点 A(a, 0) .
2 2

(1)当 a ? 2 时,若圆心为 M (1, m) 的圆和圆 C 外切且与直线 l1 、 l2 都相切,求圆 M 的方 程; (2)当 a ? ?1 时,求 l1 、 l2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值,并求此时直线 l1 的方程. 解: (1)设圆 M 的半径为 r ,易知圆心 M (1, m) 到点 A(2,0) 的距离为 2r ,

?(1 ? 2) 2 ? m 2 ? 2r 2 ? ∴? ?(1 ? 2) 2 ? m 2 ? (2 ? r ) 2 ?
解得 r ? 2 且 m ? ? 7 ∴圆 M 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 7 ) 2 ? 4 (2)当 a ? ?1 时,设圆 C 的圆心为 C , l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦的中点分别为 E, F ,弦长
2 2 2 分 别 为 d1 , d 2 , 因 为 四 边 形 AECF 是 矩 形 , 所 以 CE ? CF ? AC ? 1 , 即

4

2 2 ? ? ? ? ? 4 ? ? d1 ? ? ? ? 4 ? ? d 2 ? ? ? 1 ,化简得 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

从而 d1 ? d 2 ?

2 2 ? d12 ? d 2 ? 2 14 ,等号成立 ? d1 ? d 2 ? 14 ,

? d1 ? d 2 ? 14 时,?(d1 ? d 2 ) max ? 2 14 ,
即 l1 、 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 2 14 此时 d1 ? 14 , 显然直线 l1 的斜率存在, l 设直线 l1 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,则
k k ?1
2

? 4?(

14 2 ,? k ? ?1 , ) 2

∴直线 l1 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 19. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC, △PAD 是等边三角形,已知 AD=4, BD= 4 3 ,AB=2CD=8. (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)当 M 点位于线段 PC 什么位置时,PA∥平面 MBD? (3)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

解: (1)在△ABD 中,∵AD=4, BD= 4 3 , AB=8,∴ AD 2 ? BD 2 ? AB 2 . ∴ AD⊥BD 又 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD ? 平面 ABCD=AD,BD ? 平面 ABCD, ∴BD⊥平面 PAD.又 BD ? 平面 MBD, ∴平面 MBD⊥平面 PAD. (2)当 M 点位于线段 PC 靠近 C 点的三等分点处时,PA∥平面 MBD. 证明如下:连接 AC,交 BD 于点 N,连接 MN. ∵AB∥DC,所以四边形 ABCD 是梯形. ∵AB=2CD, ∴ CN : NA=1 : 2.又 ∵CM : MP=1 : 2, ∴CN : NA=CM : MP ∴ PA∥MN. ∵ PA ? 平面 MBD,MN ? 平面 MBD,∴ PA∥平面 MBD. (3)过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD.即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高.

5

又 ∵△PAD 是边长为 4 的等边三角形,∴ PO ? 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 ∴梯形 ABCD 的面积 S ABCD ?

3 ?4 ? 2 3 . 2

4?4 3 ? 2 3 ,此即为梯形 ABCD 的高. 8

4?8 ? 2 3 ? 12 3 . 2

故 VP? ABCD ? ?12 3 ? 2 3 ? 24 . 20.已知圆 M 的圆心在 y 轴上,半径为 1.直线 l:y=2x+2 被圆 M 所截得的弦长为 4 55 ? 且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程; (2)设 A(t,0),B(t+5 ? 0)(?4 ? t ? ?1) .若 AC,BC 是圆 M 的切线,求△ABC 面积的最小值. 解:(1)设 M(0,b).由题设知,M 到直线 l 的距离是 1 ? ( 2 5 5 ) ?
2 5 5

1 3

.

所以

?? b ? 2? 5

?

5 5

? 解得 b=1 或 b=3.

因为圆心 M 在直线 l 的下方,所以 b=1,即圆 M 的方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 . (2)当直线 AC,BC 的斜率都存在,即-4<t<-1 时,直线 AC 的斜率 k AC ? tan 2?MAO ? 1? t1 ?
t2

?2

?2t t 2 ?1

?

同理直线 BC 的斜率 k BC ? 直线 BC 的方程为 y ?

?2( t ? 5) ( t ? 5) 2 ?1

.所以直线 AC 的方程为 y ?

?2t t 2 ?1

( x ? t )?

?2( t ? 5) ( t ? 5)2 ?1

( x ? t ? 5) .

? y ? t?2t1 ( x ? t )? 2 ? ? 解方程组 ? ?2( t ?5) ? y ? (t ?5)2 ?1 ( x ? 1 ? 5)? ?
得x?
2t ?5 t 2 ? 5t ?1

?y?

2 t 2 ?10 t t 2 ? 5t ?1

.

所以 y ?

2 t 2 ?10 t t 2 ? 5t ?1

? 2 ? t 2 ?2 t ?1 . 5
2 t 2 ?5t ?1

所以△ABC 的面积为 1 ? 5 ? (2 ? 2
2

).

因为-4<t<-1,所以 ? 21 ? t ? 5t ? 1 ? ?3? 所以 50 ? y ? 8 . 21 3 4 故当 t ? ? 5 时,△ABC 的面积取最小值 1 ? 5 ? 50 ? 125 . 2 2 21 21 在时,即 t=-4 或 t=-1 时,易求得△ABC 的面积为 20 . 3 综上,当 t ? ? 5 时,△ABC 的面积的最小值为 125 . 2 21 当直线 AC,BC 的斜率有一个不存

6


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