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高中数学圆锥曲线测试题期末


高中数学圆锥曲线测试题
一、选择题 1.双曲线 ? x? ? y ? ? ? 的实轴长是





(A)2
? ?

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ?

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? 4 , a ? 2 , 2a ? 4 .故选 C. 【解析】 ? x ? y ? ? 可变形为 4 8
2.下列曲线中离心率为 6 的是 2 (A) ( )
2

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 (C) x ? y ? 1

4

6

(D) x ? y ? 1
4 10

2

[解析]由 e ?

b2 3 b2 1 6 c2 3 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? ,选 B a 2 a 2 a 2 2


x2 y2 ? 1?a ? 0? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为 ( 3.设双曲线 2 ? 9 a
A.4 B. 3 C. 2 D. 1

解析:由双曲线方程可知渐近线方程为 y ? ?
2 2

3 x ,故可知 a ? 2 a
( )

4. “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 解析:将方程 mx2 ? ny 2 ? 1 转化为

(B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 , 根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须 1 1 m n

满足

1 1 1 1 ? 0, ? 0, 所以 ? ,故选 C. n m m n

5.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和圆 C: x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切, a 2 b2
( )

且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 5 4

x2 y 2 ? ?1 (B) 4 5

x2 y 2 ? ?1 (C) 3 6

x2 y 2 ? ?1 (D) 6 3

【解析】 由圆 C: x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 得: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 ,因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆 心(3,0),所以 c=3,又双曲线的两条渐近线 bx ? ay ? 0 均和圆 C 相切,所以

3b a ? b2
2

? 2 ,即

3b x2 y 2 ? 2 ,又因为 c=3,所以 b=2,即 a 2 ? 5 ,所以该双曲线的方程为 ? ? 1 ,故选 A. c 5 4
6.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, 与 C 交于 A,B 两点, AB l 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3 ( )

解析:由题意知, AB 为双曲线的通径,所以, AB ?

2b 2 b2 ? 4a ,? 2 ? 2 a a

又 e ? 1?

b2 ? 3 ,故选 B. a2

x2 y 2 7.设 F1 和 F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 ,P(0, 2b) 是正三角 a b
形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A. ( C. )

3 2

B. 2

5 2

D.3

【解析】由 tan

?
6

?

c c 3 2 2 2 2 ? 有 3c ? 4b ? 4(c ? a ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B. a 2b 3

x2 y 2 8.过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F2 为右焦点,若 a b

?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为
A.





2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

【解析】因为 P(?c, ?

b2 3b 2 c 3 ) ,再由 ?F1PF2 ? 60? 有 ? 2a, 从而可得 e ? ? ,故选 B a a a 3

9.已知椭圆 轴 ,

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , B 在椭圆上, BF ? x 点 且 a 2 b2
直 线

AB



y







P





??? ? ??? ? AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是
A.





1 1 2 C. D. 3 2 2 ??? ? ??? ? 1 【解析】对于椭圆,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2OF ,? a ? 2c,? e ? 2

3 2

B.

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

.c.o.m

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2 ??? 1 ??? ? ? 两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 ( ) 2
10.过双曲线
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

A. 2

B. 3

C. 5

D. 10

【解析】对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,

? a2 ab ? a2 ab B? , ,? ) ? , C( a ?b a ?b ? a?b a?b ?







??? ? ? ??? ??? ? ? 2a 2b 2a 2b ??? ? ab ab ? 2 2 BC ? ( 2 2 , ? 2 2 ), AB ? ? ? , ? ,因 2 AB ? BC,?4a ? b ,?e ? 5 . a ?b a ?b ? a?b a ?b ?
【解析】因为 P(?c, ?

b2 3b 2 c 3 ) ,再由 ?F1PF2 ? 60? 有 ? 2a, 从而可得 e ? ? ,故选 B a a a 3

11.已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点, 则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多 2 2 4 b
( B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ? )

有一个交点的充要条件是 A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
2 2? , ? 2 2 ?

? ?

1?

? ? , ?? ? ? ? ?2

?1

?

? ?

? ? ?

? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

【解析】易得准线方程是 x ? ?

a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 12.已知双曲线 2 b2
y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF · PF2 = 1
( )

A. -12

B.

-2

C.

0

D. 4

【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x 2 ? y 2 ? 2 ,于 是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) .不妨去 P( 3,1) ,则

PF1 ? (?2 ? 3,?1)



PF2 ? (2 ? 3,?1)

.



PF 1

·

PF2



(?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0
二、填空题 13.(2011 年高考辽宁卷理科 13)已知点(2,3)在双曲线 C: C 的焦距为 4,则它的离心率为_____________.

x 2 y2 ? 1(a>0,b>0)上, a 2 b2

x2 y2 15.已知 F1 、 F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 a b

PF ? PF2 .若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1
?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 【解析】依题意,有 ?| PF1 | ? | PF2 |? 18 ,可得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9,故有 b ? 2 2 2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 4c
=3

1 x2 y 2 2 2 16.若椭圆 2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x +y =1 的切线,切点分别为 2 a b
A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

【解析】因为一条切线为 x=1,且直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,所以椭圆的右 焦点为(1,0),即 c ? 1 ,设点 P(1,

1 1 ),连结 OP,则 OP⊥AB,因为 kOP ? ,所以 k AB ? ?2 , 2 2

又因为直线 AB 过点(1,0),所以直线 AB 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ,因为点 (0, b) 在直线 AB 上, 所以 b ? 2 ,又因为 c ? 1 ,所以 a ? 5 ,故椭圆方程是
2

x2 y 2 ? ? 1. 5 4

三、解答题 17.设圆 C 与两圆 x+ 5 2 ? y2 ? 4, x ? 5 2 ? y2 ? 4 中的一个内切,另一个外切. ( ) ( ) 求 C 的圆心轨迹 L 的方程. 解:设 C 的圆心的坐标为 ( x, y ) ,由题设条件知

| ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 4,

x2 ? y 2 ? 1. 化简得 L 的方程为 4
18.如图,设 P 是圆珠笔 x 2 ? y 2 ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 P D 上一 点,且 MD ?

4 PD 5
4 的直线被 C 所截线段的长度。 5

(Ⅰ)当 P 的在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

【解析】(Ⅰ)设 M 的坐标为 ( x, y ), P , P 的坐标为 ( x p , y p ), :

? x p ? x, 5 x2 y 2 ? 由已知得 ? ? P 在圆上,? x 2 ? ( y ) 2 ? 25, 即 C 的方程为 ? ? 1 5 4 25 16 ? y p ? 4 y, ?
(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程为 y ? ( x ? 3) ,设直线与 C 的交点为 5 5

A( x, y), B( x2 , y2 ) ,将直线方程 y ?

4 x 2 ( x ? 3)2 ( x ? 3) 代入 C 的方程,得 ? ?1, 5 25 25

即 x ? 3x ? 8 ? 0 。? x1 ?
2

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

? 线段 AB 的长度为 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ?

16 )( x1 ? x2 )2 25

?

41 41 ? 41 ? 25 5

19.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P (a, b) (a ? b ? 0) 为动点, F1 , F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点.已知△ F1PF2 为等腰三角形. a 2 b2
(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 , 求点 M 的轨迹方程. 解:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查 用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想, 考查解决问题能力与运算能力. 满分 13 分. (I)解:设 F (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) 1 由题意,可得 | PF2 |?| F1F2 |,
2 2 即 ( a ? c ) ? b ? 2c.

???? ???? ? ?

c c ? 1 ? 0, 得 ? ?1 (舍) , a a c 1 1 或 ? . 所以 e ? . a 2 2
整理得 2( ) ?
2

c a

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c .直线 PF2 方程为
2 2 2

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 ? ,消去 y 并整理,得 y ? 3( x ? c) ,A,B 两点的坐标满足方程组 ? ? y ? 3( x ? c) ?
5x2 ? 8cx ? 0 ,解得

8c ? ? x2 ? 5 ? x1 ? 0 8c ? ? x1 ? 0, x2 ? ,得方程组的解 ? ,? ,不妨设 5 3 3 ? y1 ? ? 3c ? ? y ? c ? 1 5 ?
A( 8c 3 3 , c) , B(0, ? 3c) , 5 5 ???? ?

设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 AM ? ( x ?

???? ? 8c 3 3 ,y? c) , BM ? ( x, y ? 3c) .由 5 5

y ? 3( x ? c) 得
c ? x? ???? ? 8 3 ? 3 3 8 y 3 3 ???? y ,于是 AM ? ( y ? x, ? x), BM ? ( x, 3x) ,由 3 15 5 5 5

???? ???? ? ? AM ? BM ? ?2 ,即

(

8 3 3 8y 3 3 y ? x) x ? ( ? x) ? 3x ? ?2 ,化简得 18x2 ?16 3xy ?15 ? 0 ,将 15 5 5 5

y?

18 x 2 ? 15 代入 16 3x
10 x 2 ? 5 3 ? 0 ,所以 x ? 0 , y ,得 c ? 16 x 3
因此,点 M 的轨迹方程是 18x2 ?16 3xy ?15 ? 0( x ? 0)

c ? x?

x2 y 2 20. P( x0 , y0 )( x0 ? ?a) 是双曲线 E: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,M,N 分别是双曲线 a b
E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双 曲线上一点,满足 OC ? ?OA ? OB ,求 ? 的值.

1 . 5

??? ?

??? ??? ? ?

x2 y2 解: (1)已知双曲线 E: 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? , P ? x0 , y 0 ? 在双曲线上,M,N 分别为双 a b
曲 线 E 的 左 右 顶 点 , 所 以 M ?? a ,0 ? , N ?a ,0? , 直 线 PM , PN 斜 率 之 积 为

K PM ? K PN
2 2

y0 y0 y x 5 y0 1 ? ? ? 2 0 2 ? ? 02 ? 2 ? 1 x0 ? a x0 ? a x0 ? a 5 a a

2

2

2



x0 y 1 6 c 30 ? 02 ? 1 ,比较得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? e ? ? 2 a b 5 5 a 5

(2)设过右焦点且斜率为 1 的直线 L: y ? x ? c ,交双曲线 E 于 A,B 两点,则不妨设

A? x1 , y1 ?, B ? x2 , y 2 ? ,又 OC ? ? OA ? OB ? ??x1 ? x2 , ?y1 ? y 2 ? ,点 C 在双曲线 E 上:

??x1 ? x2 ?2 ? 5??y1 ? y2 ?2 ? a 2 ? ?2 ?x12 ? 5 y12 ? ? 2?x1 x2 ? 10?y1 y2 ? ?x2 2 ? 5 y2 2 ? ? a 2

*(1) 又 联立直线 L 和双曲线 E 方程消去 y 得: 4 x 2 ? 10cx ? 5c 2 ? a 2 ? 0 由韦达定理得:x1 x 2 ? 入(1)式得: ?2 a 2 ?

5c 2 ? a 2 5c 2 ? a 2 5c 2 2 ,y1 y 2 ? x1 x 2 ? c ? x1 ? x 2 ? ? c ? ? ? c2 代 4 4 2
7 71 ? a 2 ? ?a 2 ? a 2 ? a 2 ? ? ? 0,或? ? -4 2 2

21.椭圆的中心为原点 O,离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程。

2 ,一条准线的方程为 x ? 2 2 。 2

(Ⅱ)设动点 P 满足 OP ? OM ? 2ON ,其中 M,N 是椭圆上的点。直线 OM 与 ON 的斜率 之积为 ?

??? ?

???? ?

????

1 。问:是否存在两个定点 F1、F2 ,使得 PF ? PF2 为定值。若存在,求 F1、F2 1 2

的坐标;若不存在,说明理由。

a 2 a2 , ? 2 2 ,解得 a ? 2, c ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 2 , 解析: (Ⅰ)由 e ? ? c 2 c
故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

(Ⅱ)设 P ? x, y ? , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则由 OP ? OM ? 2ON 得

??? ?

???? ?

????

? x, y ? ? ? x1, y1 ? ? 2 ? x2 , y2 ? ,即 x ? x1 ? 2x2 , y ? y1 ? 2 y2 ,
x2 y 2 ? ? 1 上,所以 x12 ? 2 y12 ? 4, x22 ? 2 y22 ? 4 因为点 M,N 在椭圆 4 2
2 2 2 2 2 2 故 x ? 2 y ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ? 2 y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2

?

? ?

?

? ? x12 ? 2 y12 ? ? 4 ? x2 2 ? 2 y2 2 ? ? 4 ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ?

? 20 ? 4 ? x1x2 ? 2 y1 y2 ? ,
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题意知,

kOM ?kON =
2

y1 y2 1 =- ,因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 =0 , x1 x2 2
2

所以 x ? 2 y ? 20 ,

所以 P 点是椭圆

? 2 5 ? ? 10 ?
2

x2

?

y2

2

设该椭圆的左右焦点为 F1、F2 , 则由椭圆的 ? 1 上的点,

定义, PF ? PF2 为定值,又因 c ? 1 为 F1 ? 10, 0 、F2

?2 5 ? ? ?
2

10

?

2

? 10 ,因此两焦点的坐标分别

?

?

?

10, 0

?

22.已知椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两 点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.

3 2 时,求直线 l 的方程; 2 ??? ???? ? (II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值.
(I)当|CD | =

解析:由已知可得椭圆方程为

y2 ? x 2 ? 1,设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 0), k 为 l 的斜率. 2
4 ? ? y1 ? y2 ? 2 ? k 2 ? ? 2 ? y y ? ?2k ? 2 ? 1 2 2 ? k2 ?

2k ? ? y ? kx ? 1 x1 ? x2 ? ? ? ? ? 2 ? k2 ? (2 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? 0 ? ? 则 ? y2 2 ? ? x ?1 ? x x ? ?1 ?2 ? 1 2 2 ? k2 ?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

8k 2 ? 8 8k 4 ? 8k 2 9 ? ? ? k2 ? 2 ? k ? ? 2 , (2 ? k 2 )2 (2 ? k 2 )2 2

? l 的方程为 y ? ? 2x ? 1 .

高中数学圆锥曲线测试题
一、选择题 1.双曲线 ? x? ? y ? ? ? 的实轴长是





(A)2

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ? ( )
2

2.下列曲线中离心率为 6 的是 2 (A)

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 (C) x ? y ? 1

4

6

(D) x ? y ? 1
4 10

2

3.设双曲线 A.4

x2 y2 ? ? 1?a ? 0? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为 ( a2 9
B. 3 C. 2 D. 1 (



4. “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 5.已知双曲线



(B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和圆 C: x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切, 2 a b
( (D) )

且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 5 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 5

(C)

x2 y 2 ? ?1 3 6

x2 y 2 ? ?1 6 3

6.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, 与 C 交于 A,B 两点, AB l 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3 ( )

7.设 F1 和 F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 ,P(0, 2b) 是正三角 a 2 b2
( C. )

形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A.

3 2

B. 2

5 2

D.3

x2 y 2 8.过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F2 为右焦点,若 a b

?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为
A.





2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

9.已知椭圆 轴 ,

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , B 在椭圆上, BF ? x 点 且 a 2 b2
直 线

AB



y








P





? ? A ?2 P
A.
.c.o.m

?

P B ,则椭圆的离心率是
B.

?

?

?

?

?

) D.

3 2

2 2

C.

1 3

1 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2 ??? 1 ??? ? ? 两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 ( ) 2
10.过双曲线
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

A. 2

B. 3

C. 5

D. 10

11.已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点, 则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多 2 2 4 b
( B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ? )

有一个交点的充要条件是 A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
2 2? , ? 2 2 ?

? ?

1?

? ? , ?? ? ? ? ?2

?1

?

? ?

? ? ?

? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

12.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 2 b2
( 0 D. 4 )

y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF · PF2 = 1
A. -12 二、填空题 B. -2 C.

x 2 y2 13.(2011 年高考辽宁卷理科 13)已知点(2,3)在双曲线 C: 2 - 2 ? 1(a>0,b>0)上, a b
C 的焦距为 4,则它的离心率为_____________.

15.已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 a2 b2

PF ? PF2 .若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1
16.若椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x2 +y 2 =1 的切线,切点分别为 2 2 a b

A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 三、解答题 17.设圆 C 与两圆 x+ 5 2 ? y2 ? 4, x ? 5 2 ? y2 ? 4 中的一个内切,另一个外切. ( ) ( ) 求 C 的圆心轨迹 L 的方程. 18.如图,设 P 是圆 x ? y ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 P D 上一点,
2 2

且 MD ?

4 PD . 5
4 的直线被 C 所截线段的长度。 5

(Ⅰ)当 P 的在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

19.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P (a, b) (a ? b ? 0) 为动点, F1 , F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点.已知△ F1PF2 为等腰三角形. a 2 b2
(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 , 求点 M 的轨迹方程.

???? ???? ? ?

20. P( x0 , y0 )( x0 ? ?a) 是双曲线 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,M,N 分别是双曲线 a 2 b2
1 . 5

E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 (1)求双曲线的离心率;

(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双 曲线上一点,满足 OC ? ?OA ? OB ,求 ? 的值.

??? ?

??? ??? ? ?

21.椭圆的中心为原点 O,离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程。

2 ,一条准线的方程为 x ? 2 2 。 2

(Ⅱ)设动点 P 满足 OP ? OM ? 2ON ,其中 M,N 是椭圆上的点。直线 OM 与 ON 的斜率 之积为 ?

??? ?

???? ?

????

1 。问:是否存在两个定点 F1、F2 ,使得 PF ? PF2 为定值。若存在,求 F1、F2 1 2

的坐标;若不存在,说明理由。

22.已知椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两 点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.

3 2 时,求直线 l 的方程; 2 ??? ???? ? (II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值.
(I)当|CD | =


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