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2008天津高考数学理科试卷及答案


2008 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分 钟.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 10 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利!

第I卷
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务

必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上.并在规定位 置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式 S ? 4πR 球的体积公式 V ?
2

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径

P( A B) ? P( A) P( B)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位, A. ? 1 B. 1

i3 (i ? 1) ?( i ?1
C. ? i

) D. i

? x ? y ≥ 0, ? 2.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1,则目标函数 z ? 5 x ? y 的最大值为( ? x ? 2 y ≥ 1. ?
A.2 B.3 C.4 D.5 )



3.设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R ,则 f ( x) 是( 2?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? 的奇函数 ?

? 的偶函数 ?


4.设 a, b 是两条直线, ?,? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是( A. a ? ?,b ∥ ?,? ? ? C. a ? ?,b ? ?,? ∥ ? B. a ? ?,b ? ?,? ∥ ? D. a ? ?,b ∥ ?,? ? ?

5.设椭圆

x2 y2 ? ? 1(m ? 1) 上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1, m2 m2 ? 1
) C.

则 P 到右准线的距离为( A.6 B.2

1 2

D.

2 7 7

T ? x a ? x ? a ? 8 ,S 6. 设集合 S ? x x ? 2 ? 3 ,
A. ?3 ? a ? ?1 C. a ≤ ?3 或 a ≥ ?1 7.设函数 f ( x) ? B. ?3 ≤ a ≤ ?1 D. a ? ?3 或 a ? ?1

?

?

?

?

T ? R, 则 a 的取值范围是 (



1 (0 ≤ x ? 1) 的反函数为 f ?1 ( x) ,则( D 1? x



A. f ?1 ( x) 在其定义域上是增函数且最大值为 1 B. f ?1 ( x) 在其定义域上是减函数且最小值为 0 C. f ?1 ( x) 在其定义域上是减函数且最大值为 1 D. f ?1 ( x) 在其定义域上是增函数且最小值为 0 8.已知函数 f ( x) ? ?

?? x ? 1,x ? 0, 则不等式 x ? ( x ? 1) f ( x ? 1) ≤1 的解集是( ? x ? 1,x ≥ 0,



? C. ? x x ≤

A. x ? 1 ≤ x ≤ 2 ? 1

?

B. x x ≤ 1

?

?

2 ?1

?

D. x ? 2 ? 1 ≤ x ≤ 2 ? 1

?

?

9 . 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 ?0,∞ ? ? 上是增函数.令

2? ? 5? ? 5? ? ? ? ? a ? f ? sin ? , b ? f ? cos ? , c ? f ? tan ? ,则( 7 ? 7 ? 7 ? ? ? ?



A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. a ? b ? c 10.有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列, 要求 3 行中仅有 中间行的两张卡片上的数字之和为 5,则不同的排法共有( ) .. A.1344 种 B.1248 种 C.1056 种 D.960 种

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类)

第Ⅱ卷
注意事项: 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3.本卷共 12 小题,共 100 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.

2 ? ? 2 11. ? x ? ? 的二项展开式中 x 的系数是 x? ?

5

(用数字作答) .

12.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3? ,则该正方体的表面 积为 .

13.已知圆 C 的圆心与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点关于直线 y ? x 对称,直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与 圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为 . D 14.如图,在平行四边形 ABCD 中, AC ? (1 。/ , 2) , BD ? (?3, 2) , 则 AD AC ? . A B C

15.已知数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ,an?1 ? an ?

1 (n ? N* ) ,则 lim an ? n ?? 3n ?1



2 16. 设 a ? 1, 若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ??a, 都有 y ? ? 2a? , ? a,a ? ?

满足方程 loga x ? loga y ? c ,这时 a 的取值的集合为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 cos ? x ?

? ?

?? 2 ? ? 3? ? , x ?? , ? . ?? 4 ? 10 ?2 4 ?
?? ? 的值. 3?

(Ⅰ)求 sin x 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 x ?

? ?

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 未命中的概率为

1 与 p ,且乙投球 2 次均 2

1 . 16

(Ⅰ)求乙投球的命中率 p ; (Ⅱ)若甲投球 1 次,乙投球 2 次,两人共命中的次数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB ? 3 , AD ? 2 , PA ? 2 ,

PD ? 2 2 ,∠PAB ? 60 .
(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. B

P A C

D

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

a ? b( x ? 0) ,其中 a,b ? R . x

(Ⅰ) 若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2,f (2)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 , 求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? , 2? ,不等式 f ( x) ≤10 在 ? , 1? 上恒成立,求 b 的取值范围.

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?4 ?

21. (本小题满分 14 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 (?3, 0) ,一条渐近线的方程是 5x ? 2 y ? 0 . (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 若以 k (k ? 0) 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M ,N , 且线段 MN 的 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

81 ,求 k 的取值范围. 2

22. (本小题满分 14 分)

在 数 列 ?an ? 与 ?bn ? 中 , a1 ? 1 , b1 ? 4 , 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn 满 足

nSn?1 ? (n ? 3)Sn ? 0 , 2an ?1 为 bn 与 bn ?1 的等比
中项, n ? N* .
(Ⅰ)求 a2 , b2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅲ)设

Tn ? (?1)a1 b1 ? (?1)a2 b2 ? …? (?1)an bn,n ? N* ,

2 T ? 2 n ,n ≥ 3 . 证明 n

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类)参考解答
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 24 分. 11.40 15. 12.24 16. ?2? 13. x ? ( y ?1) ? 10
2 2

10.B

14.3

7 6

三、解答题 17.本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角 差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. (Ⅰ)解法一:因为 x ? ? , ? ,所以 x ?

? ? 3? ? ?2 4 ?

? ?? ?? ? ? , ? ,于是 4 ?4 2?

?? ?? 7 2 ? ? . sin ? x ? ? ? 1 ? cos 2 ? x ? ? ? 4? 4 ? 10 ? ?
?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? sin x ? sin ? ? x ? ? ? ? ? sin ? x ? ? cos ? cos ? x ? ? sin 4? 4? 4? 4 4? 4 ? ? ??
? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5

解法二:由题设得
2 2

1 2 2 2 ,即 cos x ? sin x ? . cos x ? sin x ? 5 2 2 10
2

又 sin x ? cos x ? 1 ,从而 25sin x ? 5sin x ? 12 ? 0 ,解得 sin x ? 因为 x ? ? , ? ,所以 sin x ?

4 3 或 sin x ? ? . 5 5

? ? 3? ? ?2 4 ?

4 . 5
2

3 ?4? ? ? 3? ? 2 (Ⅱ)解:因为 x ? ? , ? ,故 cos x ? ? 1 ? sin x ? ? 1 ? ? ? ? ? . 5 ?5? ?2 4 ?
sin 2 x ? 2sin x cos x ? ?
所以,

24 7 2 , cos 2 x ? 2 cos x ? 1 ? ? . 25 25

?? ? ? 24 ? 7 3 ? . sin ? 2 x ? ? ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? ? 3? 3 3 50 ?
18.本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率,离散型随机变量的分布列 和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)解:设“甲投球一次命中”为事件 A , “乙投球一次命中”为事件 B , 由题意得

(1 ? P( B)) 2 ? (1 ? p ) 2 ?
解得 p ?

1 , 16

3 5 3 或 p ? (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 4 4 1 1 3 1 (Ⅱ)解:由题设和(Ⅰ)知 P( A) ? , P( A) ? , P( B) ? , P ( B ) ? . 2 2 4 4

? 可能的取值为 0,1,2,3,故
1 ?1? 1 P(? ? 0) ? P( A) P( B B ) ? ? ? ? ? , 2 ? 4 ? 32
1 P(? ? 1) ? P( A)P(B B) ? C2 P(B)P(B)P( A)
2

1 ?1? 3 1 1 7 , ? ?? ? ? 2? ? ? ? 2 ?4? 4 4 2 32 1 ?3? 9 P(? ? 3) ? P( A) P( B B) ? ? ? ? ? , 2 ? 4 ? 32
P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 15 . 32
2

2

? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 7 15 32 32 32 1 7 15 9 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 32 32 32 32

9 32

19.本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识,考查空间想 象能力、运算能力和推理论证能力.满分 12 分. (Ⅰ) 证明: 在 △PAD 中, 由题设 PA ? 2 ,AD ? 2 ,PD ? 2 2 , 可得 PA ? AD ? PD ,
2 2 2

AB ? A ,所以 AD ? 平面 PAB . (Ⅱ)解:由题设, BC ∥ AD ,所以∠ PCB(或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在 △PAB 中,由余弦定理得 P
于是 AD ? PA .在矩形 ABCD 中, AD ? AB ,又 PA

PB ? PA2 ? AB2 ? 2PA AB cos PAB ? 7 .
由(Ⅰ)知 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 AD ? PB ,因而 BC ? PB ,于是 △PBC 是直角三角形, H B A E C D

PB 7 故 tan PCB ? . ? BC 2
所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 arctan

7 . 2

(Ⅲ)解:过点 P 作 PH ? AB 于 H ,过点 H 作 HE ? BD 于 E ,连结 PE . A ,因而 PH ? 因为 AD ? 平面 PAB ,PH ? 平面 PAB ,所以 AD ? PH .又 AD AB ? 平面 ABCD ,故 HE 为 PE 在平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知, BD ? PE .从而 ∠PEH 是二面角 P ? BD ? A 的平面角. 由题设可得,

PH ? PA sin 60 ? 3 , AH ? PA cos 60 ? 1 ,
BH ? AB ? AH ? 2 , BD ? AB2 ? AD2 ? 13 ,

HE ?

AD 4 BH ? . BD 13

于是在 Rt△PHE 中, tan PEH ?

PH 39 ? . HE 4 39 . 4

所以二面角 P ? BD ? A 的大小为 arctan

20.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识, 考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.满分 12 分.

(Ⅰ)解: f ?( x ) ? 1 ?

a ,由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 . x2

由切点 P(2,f (2)) 在直线 y ? 3x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 . 所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? x ? (Ⅱ)解: f ?( x ) ? 1 ?

8 ?9. x

a . x2

0) , (0,∞ ? ) 内是增函数. 当 a ≤ 0 时,显然 f ?( x) ? 0( x ? 0) ,这时 f ( x ) 在 (?∞,
当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a . 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(?∞, ? a)

? a
0
极大值

(? a, 0)
?


(0,a )
?


a
0
极小值

( a,∞ ? )

?


?


? a ? , ? a, ? ∞ 内是增函数,在 (? a, 所以 f ( x ) 在 ?∞, 0) , (0,a ) 内是减函数. ? ?
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 ? , 1? 上的最大值为 f ?

?

?

?1 ? ?4 ?

?1? ? 与 f (1) 中的较大者,对于任意 ?4?

的a?? , 2? ,不等式 f ( x) ≤10 在 ? , 1? 上恒成立,当且仅当

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?4 ?

? ?1? 39 ? ?b ≤ ? 4a, ? f ? ? ≤10, 即? 4 ? ?4? ? ? f (1) ≤10, ?b ≤ 9 ? a ?
对任意的 a ? ? , 2? 成立.

?1 ? ?2 ?

从而得 b ≤

7 7? ? ,所以满足条件的 b 的取值范围是 ? ?∞, ? . 4 4? ?

21.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比 分点等基础知识, 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法, 考查推理、 运算能力. 满 分 14 分. (Ⅰ)解:设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) ,由题设得 a 2 b2

? a 2 ? b 2 ? 9, ? a 2 ? 4, ? ? 解得 ?b ? 2 5 . ? ? ? ?b ? 5. 2 ?a
所以双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 5

(Ⅱ)解:设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,点 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) 的坐标满足方 程组

? y ? kx ? m, ? 2 ?x y2 ? ? 1. ? ?4 5

① ②
x 2 (kx ? m)2 ? ? 1 ,整理得 4 5

将①式代入②式,得

(5 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 20 ? 0 .
此方程有两个不等实根,于是 5 ? 4k ? 0 ,且
2

? ? (?8km)2 ? 4(5 ? 4k 2 )(4m2 ? 20) ? 0 .整理得
m 2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 .


由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 ( x0,y0 ) 满足

x1 ? x2 4km 5m ? , y0 ? kx0 ? m ? . 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2 从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 x0 ?

y?

5m 1? 4km ? ? ? ?x? ?. 2 5 ? 4k k? 5 ? 4k 2 ? 9m ? ? 9km ? ? .由题设可得 , 0 ? , ? 0, 2 2 ? ? 5 ? 4k ? ? 5 ? 4k ?

此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ?

1 9km 9m 81 ? . 2 2 2 5 ? 4k 5 ? 4 k 2
整理得

m2 ?

(5 ? 4k 2 )2 ,k ? 0. k

将上式代入③式得 整理得

(5 ? 4k 2 )2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 , k

(4k 2 ? 5)(4k 2 ? k ? 5) ? 0 , k ? 0 .
解得 0 ? k ?

5 5 或k ? . 4 2

? 所以 k 的取值范围是 ? ?∞,

? ?

5? ? 4?

? 5 ? ? 0? ? ? 2 , ? ? ?

? 5? ?5 ? 0 , , ? ∞? . ? ? 2 ? ? ? 4 ? ? ? ?

22.本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前 n 项和公式、等比数列的概念、等比中 项、不等式证明、数学归纳法等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想 方法.满分 14 分.
2 (Ⅰ) 解: 由题设有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 0 ,a1 ? 1 , 解得 a2 ? 3 . 由题设又有 4a2 ? b2b1 ,b1 ? 4 ,

解得 b2 ? 9 . (Ⅱ)解法一:由题设 nSn?1 ? (n ? 3)Sn ? 0 , a1 ? 1 , b1 ? 4 ,及 a2 ? 3 , b2 ? 9 , 进一步可得 a3 ? 6 , b3 ? 16 , a4 ? 10 , b4 ? 25 ,猜想

n(n ? 1) * , bn ? (n ? 1)2 , n ? N . 2 n(n ? 1) * 先证 an ? , n?N . 2 1? (1 ? 1) 当 n ? 1 时, a1 ? ,等式成立.当 n ≥ 2 时用数学归纳法证明如下: 2 2 ? (2 ? 1) (1)当 n ? 2 时, a2 ? ,等式成立. 2 k (k ? 1) (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ? ,k≥2. 2 an ?
由题设,

kSk ?1 ? (k ? 3)Sk , (k ?1)Sk ? (k ? 2)Sk ?1 .

① ②

① 的两边分别减去②的两边,整理得 kak ?1 ? (k ? 2)ak ,从而

ak ?1 ?

k ?2 k ? 2 k (k ? 1) (k ? 1) ?(k ? 1) ? 1? ak ? ? . k k 2 2

这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 an ?

n(n ? 1) 对任何的 2

n ≥ 2 成立.
综上所述,等式 an ?

n(n ? 1) * 对任何的 n ? N 都成立. 2
*

再用数学归纳法证明 bn ? (n ? 1)2 , n ? N . (1)当 n ? 1 时, b1 ? (1 ? 1)2 ,等式成立. (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 bk ? (k ? 1)2 ,那么

bk ?1 ?

2 4ak (k ? 1)2 (k ? 2)2 2 ?1 ? ? ?(k ? 1) ? 1? . 2 bk (k ? 1)
*

这就是说, 当 n ? k ? 1 时等式也成立. 根据 ( 1) 和 (2) 可知, 等式 bn ? (n ? 1)2 对任何的 n ? N 都成立. 解法二:由题设

nSn?1 ? (n ? 3)Sn , (n ?1)Sn ? (n ? 2)Sn?1 .

① ②

①的两边分别减去②的两边,整理得 nan?1 ? (n ? 2)an , n ≥ 2 ,所以

2a3 ? 4a2 , 3a4 ? 5a3 ,
??

(n ?1)an ? (n ? 1)an?1 , n ≥ 3 .
将以上各式左右两端分别相乘,得

( n ? 1)! an ?

(n ? 1)! a2 , 6

由(Ⅰ)并化简得

n(n ? 1) n(n ? 1) a2 ? , n≥3 . 6 2 上式对 n ? 1 , 2 也成立. an ?
由题设有 bn?1bn ? 4an?1 ,所以 bn?1bn ? (n ? 2)2 (n ? 1)2 ,即
2

bn bn ?1 ? 1, n ? N* . 2 (n ? 1) (n ? 2) 2

令 xn ?

bn 1 ,则 xn xn?1 ? 1 ,即 xn ?1 ? .由 x1 ? 1 得 xn ? 1 , n ≥ 1 .所以 2 (n ? 1) xn

bn ? 1.即 (n ? 1) 2

bn ? (n ? 1)2 , n ≥ 1 .
解法三:由题设有 nSn?1 ? (n ? 3)Sn , n ? N ,所以
*

S2 ? 4S1 , 2S3 ? 5S2 ,
??

(n ?1)Sn ? (n ? 2)Sn?1 , n ≥ 2 .
将以上各式左右两端分别相乘,得

1? 2 ?…? (n ?1)Sn ? 4 ? 5 ?…? (n ? 2)S1 ,
化简得

n(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)(n ? 2) a1 ? , n≥3 . 2?3 6 由(Ⅰ) ,上式对 n ? 1 , 2 也成立.所以 n(n ? 1) an ? Sn ? Sn ?1 ? , n≥ 2 . 2 上式对 n ? 1 也成立. Sn ?
以下同解法二,可得 bn ? (n ? 1)2 , n ≥ 1 . (Ⅲ)证明: Tn ? (?1) 1 b1 ? (?1) 2 b2 ? …? (?1) n bn
a a a

? ?22 ? 32 ? … ? (?1)
*

n ( n ?1) 2

(n ? 1)2 .

当 n ? 4k , k ? N 时,

Tn ? ?22 ? 32 ? 42 ? 52 ? …? (4k ? 2)2 ? (4k ?1)2 ? (4k )2 ? (4k ? 1)2 .
注意到 ?(4k ? 2) ? (4k ?1) ? (4k ) ? (4k ? 1) ? 32k ? 4 ,故
2 2 2 2

Tn ? 32 ? (1 ? 2 ? … ? k ) ? 4k ? 32 ?

k (k ? 1) ? 4k 2

? 4k (4k ? 4) ? 4k ? (4k )2 ? 3? 4k ? n2 ? 3n .
当 n ? 4k ? 1 , k ? N 时,
*

Tn ? (4k )2 ? 3? 4k ? (4k ?1)2 ? (n ?1)2 ? 3(n ?1)2 ? (n ? 2)2 ? n .
当 n ? 4k ? 2 , k ? N 时,
*

Tn ? (4k )2 ? 3? 4k ? (4k ?1)2 ? (4k )2 ? 3(n ? 2) ? (n ? 3)2 ? ?n2 ? 3n ? 3 .
当 n ? 4k ? 3 , k ? N 时,
*

Tn ? 3? 4k ? (4k ? 1)2 ? (4k ?1)2 ? 3(n ? 3) ? (n ? 4)2 ? (n ? 2)2 ? ?n ? 3 .
所以,

??n ? 3, ? 2 ??n ? 3n ? 3, Tn ? ? ?n, ?n 2 ? 3n, ? 从而 n ≥ 3 时,有

n ? 4k ? 3, n ? 4k ? 2, k ? N* n ? 4k ? 1, n ? 4k,

?1 3 ? n ? n 2 ? 2, ? ?1 ? 3 ? 3 ? 2, Tn ? n n 2 ?? n2 ? 1 ? 2, ?n ? 3 ?1 ? ? 2, ? n
总之,当 n ≥ 3 时有

n ? 5, 9, 13, …, n ? 6, 10, 14, …, n ? 3, 7,, 11 …, n ? 4, 8, 12, ….

Tn ? 2 ,即 Tn ? 2n2 . n2


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