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浙江省嘉兴市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题


嘉兴市第一中学 2015 学年第二学期期中考试 高二数学 试题卷
2016 年 4 月

满分[150]分 ,时间[120]分钟

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 (2 ? i)(1 ? ai) 是纯虚数( i 是虚数单位, a 是实数),则 a 等于( A. -1 B. ? )

1 2

C.2

D. 3

2.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦 2 a b
) C. y ? ?
2 2

点相同,则双曲线的渐近线方程为( A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ? 3x

3 x 3

D. y ? ?

3 x 2

3.椭圆 + =1 的离心率为 e,点(1,e)是圆 x +y -4x-4y+4=0 的一条弦的中点,则此 4 3 弦所在直线的方程是( A.3x+2y-4=0
2

x2 y2

) B.4x+6y-7=0 C.3x-2y-2=0 D.4x-6y-1=0

4.点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点, 则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与到直线 x ? ?1 的距离和 的最小值是( A. 5 5.方程 ) B. 3 C.2 ) D.

2

x2 y2 ? ? 1所表示的曲线是 ( 2 sin ? ? 3 sin ? ? 2

A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线
2

B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

x2 y 2 6.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )与椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )有相同的焦点 F ,点 a b ) A 是两曲线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则椭圆的离心率为(
A. 3 ?1
2

B. 2 ? 1

C.

5 ?1 2

D.

2 2 ?1 2

7.设抛物线 y =6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为 A, 如果△APF 为正三角形,那么|PF|等于( A.4 3 8.若直线 y ? ? ( )
1

) C.6 D.12

B.6 3

x 1 ? m 与曲线 y ? | 4 ? x 2 | 恰有三个公共点,则实数 m 的取值范围是 2 2

A. (1, 2)

B. ( 2 ?1, 2 ? 1)

C. (1, 2 ? 1)

D. (2, 2 ? 1)

9.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,若在椭圆 C1 上存在点 P, 2 a b

过 P 作圆的切线 PA,PB,切点为 A,B 使得 ?BPA ? ( A. [ )

?
3

,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是

3 ,1) 2

B. [

2 3 , ] 2 2

C. [

2 ,1) 2

D. [ ,1)

1 2

10. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,过点 F 与 x 轴垂直的直线 l 交 两渐 a 2 b2

近线于 A,B 两点,与双曲线的其中一个交点为 P,设坐标原点为 O,若 OP ? mOA ? nOB

??? ?

??? ?

??? ?

(m, n ? R) ,且 mn ?
A. y ? ?

2 ,则该双曲线的渐近线为( 9



3 x 4

B. y ? ?

2 x 4

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ?

1 x 3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.抛物线 y ? 4 x 2 的焦点坐标为 . .

12.复数 z 满足 (1 ? 2i) ? z ? 4 ? 3i ,其中 i 是虚数单位, z 为 z 的共轭复数,那么 z=

13.若椭圆的方程
2

x2 y2 2 ? ? 1 ,且此椭圆的离心率为 ,则实数 a = 10 ? a a ? 2 2
2 2

.

14.已知圆 C: x ? y ? 8x ? ay ? 5 ? 0 经过抛物线 E: x ? 4 y 的焦点,则抛物线 E 的准线 与圆 C 相交所得弦长为 15.已知抛物 线 C : y ? 8x 的焦点为 F , P 是 C 上一点,若 P 在第一象限, | PF |? 8 ,
2

则点 P 的坐标为 16.已知 A,B 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的两个顶点,M,N 是椭圆上关于 x 轴对称 a 2 b2

的两点,直线 AM,BN 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1k2 ? 0 ,若 | k1 | ? | k2 | 的最 小值为 1,则椭 圆的离心率为______________. 17.已知 P 是椭圆

x2 y 2 x2 y 2 和双曲线 ( a ? b ? 0) ? ? 1 ? 2 ? 1 (a2 ? 0, b2 ? 0) 的一个交 1 1 2 a12 b12 a2 b2
2

点 , F1 , F2 是 椭 圆 和 双 曲 线 的 公 共 焦 点 , e1 , e2 分 别 为 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 ,

?F1 PF2 ?

2? 1 1 ,则 ? 的最大值为 3 e1 e2

.

三、解答题:本大题共 5 大题、共 72 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本小题 14 分)已知复数 z ? m2 (1 ? i) ? m(3 ? i) ? 6i ,则当 m 为何实数时,复数 z 是 (1)实数?(2)纯虚数?(3)对应点在第三象限?

19.(本小题 14 分)已知抛物线 E: x ? 4 y ,过 M(1,4)作抛物线 E 的弦 AB,使弦 AB 以
2

M 为中点,
(1)求弦 AB 所在直线的方程. (2)若直线 l:y=x+b 与抛物线 E 相切于点 P,求以点 P 为圆心,且与抛物线 E 的准线相切的 圆的方程.

20.(本小题 14 分)已知圆 C:(x+ 3) +y =16,点 A( 3,0),Q 是圆上一动点,AQ 的 垂直平 分线交 CQ 于点 M,设点 M 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; 4 (2)过点 P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A, B, △AOB(O 是坐标原点)的面积 S= , 5 求直线 AB 的方程.

2

2

3

x2 y2 3 21. (本小题 15 分)已知椭圆 2 + 2 =1( a > b > 0 )的离心率为 ,且过点 2 a b
( 2,

2 ). 2

(1)求椭圆方程; (2)设不过原点 O 的直线 l : y ? kx ? m (k ? 0) ,与该椭圆交于 P 、 Q 两点,直线 OP 、

OQ 的斜率依次为 k1 、 k2 ,满足 4k ? k1 ? k2 ,试问:当 k 变化时, m 是否为定值?若是,
求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.

2

22. ( 本 小 题 15 分 ) 如 图 , 曲 线 ? 由 曲 线 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 曲 线 a 2 b2

C2 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, y ? 0) 组成,其中点 F1 , F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点, 点 a 2 b2

F3 , F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点,
(1)若 F2 (2,0), F3 (?6,0) ,求曲线 ? 的方程; (2)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证:弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求△CDF1 面积的最大 值.

y

F3

F1 O

F2 B

F4

x

A

4

嘉兴一中 2015-2016 学年高二(下)期中考试数学答案 一、CBBDC BCAAB 二、填空题: ? 1? 11. ? 0, ? ? 16 ? 12. 2 ? i 13、

14 22 或 3 3

14、 4 6 15. (6 , 4 3)

16、

3 2 4 3 3

17.

四、解答题: 18.(1) m ? ?2,3 (2) m ? 0 (3) m ? (0,3)

2 ? y ?y 1 ? x1 ? 4 y1 19.(1)设 A( x1, , y 1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? 2 得 k AB ? 1 2 ? ,所以直线 AB 的方程为 x1 ? x2 2 ? ? x2 ? 4 y2

1 y ? 4 ? ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 7 ? 0 2

(2)设切点 P( x0 , y 0 ) , 由y?

x x x2 得 y? ? , 所以 0 ? 1 ? x0 ? 2 , 即点 P (2,1) , 圆 P 的半径 为 2 2 4
2 2

2,所以圆 P 的方程为 ( x-2) +( y- 1) =4

20.解:(1)由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4>2 3, 所以轨迹 E 是以 A,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,即轨迹 E 的方程为 +y =1. 4 (2)记 A(x1,y1),B(x2 ,y2), 由题意,直线 AB 的斜率不可能为 0,而直线 x=1 也不满足条件, 故可设 AB 的方程为 x=my+1.
?x +4y =4, ? 由? ?x=my+1, ?
2 2

x2

2

消去 x 得(4+m )y +2my-3=0,

2

2

5

-2m y +y = , ? ? 4+m 所以? 3 y ·y =- . ? ? 4+m
1 2 2 1 2 2

1 1 2 m +3 S= |OP||y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2= 2 . 2 2 m +4 4 2 由 S= ,解得 m =1,即 m=±1. 5 故直线 AB 的方程为 x=±y+1,即 x+y-1=0 或 x-y-1=0 为所求.

2

21.(1)

x2 1 (2) m 2 ? ,证明过程详见解析. ? y2 ? 1; 4 2

2 ? ? 2? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?1 ? b2 解: (1) 依题意可得 ? a 2 解得 a ? 2, b ? 1. 所以椭圆 C 的方程是 , ?c 3 ? ? 2 ?a ? ? 2 2 2 ?a ? b ? c

? ?

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)当 k 变化时, m 2 为定值,证明如下:

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 得, ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4(m 2 ? 1) ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4

4 ? m 2 ? 1? 8km , ????? ?*? 设 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y2 ) .则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
? 直线 OP、OQ 的斜率依次为 k1 , k2 ,且 4k ? k1 ? k2 , ? 4k ?

y1 y2 kx1 ? m kx2 ? m ,得 2kx1 x2 ? m ? x1 ? x2 ? , ? ? ? x1 x2 x1 x2
1 ,经检验满足 ? ? 0 . 2

将 ?*? 代入得: m 2 ?

22.解析: (1)

?a 2 ? b 2 ? 36 ? ?a 2 ? 20 ? ? ? 2 ? 2 2 ?a ? b ? 4 ?b ? 16 ? ?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? ? ? 1? y ? 0 ? 则曲线 ? 的方程为 20 16 和 20 16 。
6

y?? x C a (2)曲线 2 的渐近线为

b

l:y?
,如图,设直线

b ? x ? m? a

b ? y ? ? x ? m? ? ? a ? 2 x 2 ? 2mx ? ? m2 ? a 2 ? ? 0 ? 2 2 ? x ? y ?1 ? 2 b2 则 ?a

? ? ? 2 m ? ? 4 ? 2 ? ? m 2 ? a 2 ? ? 4 ? 2 a 2 ? m 2 ? ? 0 ? ? 2 a ? m ? 2a
2

又由数形结合知 m ? a ,? a ? m ? 设点

2a


A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ?

? x1 ? x2 ? m ? ? m2 ? a 2 x ? x ? ? 1 2 2 , 则?
? x0 ? x1 ? x2 m b b m b b ? y0 ? ? x0 ? m ? ? ? ? ? y0 ? ? x0 y?? x 2 2 , a , a 上。 a a 2 即点 M 在直线

(3)由(1)知,曲线 设直线 1 的方程为

C1 :

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? F ? 6,0? 20 16 ,点 4

l

x ? ny ? 6 ? n ? 0?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? ? 4n2 ? 5? y 2 ? 48ny ? 64 ? 0 ? 20 16 ? x ? ny ? 6 ?
? ? ? 48n ? ? 4 ? 64 ? ? 4n 2 ? 5 ? ? 0 ? n 2 ? 1
2



C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ?

?48n ? y ? y ? 3 4 ? ? 4n 2 ? 5 ? ? y ? y ? 64 ? 3 4 4n 2 ? 5 由韦达定理: ?

? y3 ? y4 ?

? y3 ? y4 ?

2

? 4 y3 ? y4 ? 16 5 ?

n2 ? 1 4n2 ? 5

S?CDF1 ? S?CF1F4 ? S?DF1F4

1 1 n2 ? 1 n2 ? 1 ? F1F4 ? y3 ? y4 ? ? 8 ?16 5 ? 2 ? 64 5 ? 2 2 2 4n ? 5 4n ? 5
7

2 2 令 t ? n ?1 ? 0 ,? n ? t ? 1 ,

2

? S?CDF1 ? 64 5 ?

t 4t ? 9
2

? 64 5 ?

1 4t ? 9 t

?t ? 0 ,

? 4t ?

3 9 13 t? ? 12 n? 2即 t 2 时等号成立 ,当且仅当

?

n?

13 1 16 5 ? S?CDF1 ? 64 5 ? ? max 2 时, 12 3

8


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