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高考数学百大经典例题——球(新课标)


典型例题一
例 1. 已知地球的半径为 R , 球面上 A, B 两点都在北纬 45 圈上, 它们的球面距离为
?

?
3

R,

A 点在东经 30 ? 上,求 B 点的位置及 A, B 两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度.
分析:求点 B 的位置,如图就是求 ?AO1 B

的大小,只需求 出弦 AB 的长度.对于 AB 应把它放在 ?OAB 中求解,根据球 面距离概念计算即可. 解:如图,设球心为 O ,北纬 45 圈的中心为 O1 , 由 A, B 两点的球面距离为
?

?
3

R ,所以 ?AOB =

? ?OAB 为等边三角形.于是 AB ? R .
由 O1 A ? O1 B ? R ? cos45 ?
?

? , 3

2 R, 2

? O1 A2 ? O1 B 2 ? AB2 .即 ?AO1 B =
?

? . 2
? ? ? ?

又 A 点在东经 30 上,故 B 的位置在东经 120 ,北纬 45 或者西经 60 ,北纬 45 .

? A, B 两点在其纬线圈上所对应的劣弧 O1 A ?

?
2

?

2 ? R. 4

说明:此题主要目的在于明确经度和纬度概念,及利用球的截面的性质和圆的有关性质 设计计算方案.

典型例题二
例 2 . 用 两 个 平 行 平 面 去 截 半 径 为 R 的 球 面 , 两 个 截 面 圆 的 半 径 为 r1 ? 24cm , 两截面间的距离为 d ? 27 cm , 求球的表面积. r2 ? 15cm . 分析:此类题目的求解是首先做出截面图,再根据条件 和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形, 利用方程 思想计算可得. 解:设垂直于截面的大圆面交两截面圆于 A1B1 , A2 B2 , 上述大圆的垂直于 A1 B1 的直径交 A1B1 , A2 B2 于 O1 , O2 ,如 图 2.

? d1 ? d 2 ? 27 ? 2 2 2 设 OO1 ? d1 , OO2 ? d 2 ,则 ?d1 ? 24 ? R ,解得 R ? 25 . ?d 2 ? 152 ? R 2 ? 2

? S圆 ? 4?R 2 ? 2500 ? (cm2 ) .
说明:通过此类题目,明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题,进一步 熟悉有关圆的基础知识,熟练使用方程思想,合理设元,列式,求解.

典型例题三
例 3 .自半径为 R 的球面上一点 M ,引球的三条两两垂直的弦 MA, MB, MC ,求

MA2 ? MB 2 ? MC 2 的值.
分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导 学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联. 解: 以 MA, MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱, 将三棱锥 M ? ABC 补成一个长方体, 则另外四个顶点必在球面上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.

? MA2 ? MB 2 ? MC 2 = (2R) 2 ? 4R 2 .
说明:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算.

典型例题四
例 4.试比较等体积的球与正方体的表面积的大小. 分析:首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长,找出等量关系,再转化为其面积的大 小关系. 解:设球的半径为 r ,正方体的棱长为 a ,它们的体积均为 V ,

则由

4? 3 3V 3V 3 r ? V,r3 ? ,r ? 3 ,由 a ? V , 得 a ? 3 V . 3 4? 4?

S 球 ? 4?r 2 ? 4? (3

3V 2 3 ) ? 4?V 2 . 4?

S 正方体 ? 6a 2 ? 6(3 V ) 2 ? 63 V 2 ? 3 216V 2 .
? 4? ? 216 ? 3 4?V 2 ? 3 216 V 2 ,即 S 球 ? S 正方体 .
说明:突出相关的面积与体积公式的准确使用,注意比较大小时运算上的设计.

典型例题五
例 5.如图 1 所示,在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1) 求两球半径之和; (2)球的半径为多少时,两球体积之和最小. 分析:此题的关键在于作截面,一个球在正方体内,学生一 般知道作对角面,而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线 上,故仍需作正方体的对角面 ,得如图 2 的截面图,在图 2 中, 观察 R 与 r 和棱长间的关系即可. 解:如图 2 ,球心 O1 和 O2 在 AC 上,过 O1 , O2 分别作

AD, BC 的垂线交于 E , F .
则由 AB ? 1, AC ? 3 得 AO1 ? 3r, CO2 ? 3R .

图1

? r ? R ? 3(r ? R) ? 3 ,
?R ? r ? 3 3 ?1 ? 3? 3 . 2

(1)设两球体积之和为 V , 则V ?

图2

4 4 ? ( R 3 ? r 3 ) ? ? (r ? R)( R 2 ? Rr ? r 2 ) 3 3

=

? 4 3 3? 3 3 2 3 3 4 3 3 ) ? 3R ( ? R)? ? ( R ? r ) 2 ? 3rR ? ? ?( 3 2 ? 2 2 3 2 ?

?

?

= ?

4 3

3 3 ? 2 3(3 ? 3 ) 3? 3 2? R?( ) ? ?3R ? 2 ? 2 2 ?

当R ?

3? 3 3? 3 时, V 有最小值.? 当 R ? r ? 时,体积之和有最小值. 4 4

典型例题六
例 6.设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的表 面积之比及体积之比. 分析:此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系,第二个关键是两 个球的半径之间的关系,依靠体积分割的方法来解决的. 解:如图,正四面体 ABCD 的中心为 O , ?BCD 的中心为 O1 ,则第一个球半径为正四 面体的中心到各面的距离,第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离.

设 OO1 ? r, OA ? R ,正四面体的一个面的面积为 S .

1 S (R ? r) , 3 1 又 V A? BCD ? 4VO ? BCD ? 4 ? r ? S 3 ? R ? r ? 4 r 即 R ? 3r .
依题意得 V A? BCD ?

4 3 ?r 内切球的表面积 4?r 2 1 内切球的体积 1 3 所以 . . ? ? ? ? 2 4 3 27 外接球的表面积 4?R 9 外接球的体积 ?R 3
说明:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是 重合的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径 r ? 接球的半径 R ? 3r .

1 h ( h 为正四面体的高),且外 4

典型例题七
例 7.把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上 第四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离. 分析:关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定 组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2. 解:由题意,四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点, 则正四面体的高 h ?

2 2 ? (2 ?

3 2 2 6 . ) ? 3 3

而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1, 且三个球心到桌面的距离都为 1,故第四个球的最高点与桌面的距离为 2 ?

2 6 . 3

说明:此类型题目对培养学生空间想象能力,并根据题意构造熟悉几何体都非常有 帮助,且还可以适当增加一点实际背景,加强应用意识.

典型例题八
例 8 过球面上两点作球的大圆,可能的个数是( ) . A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个 D.以上均不正确 分析:对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论.当三点不共线时,可以作一个 大圆;当三点共线时,可作无数个大圆,故选 B. 答案:B 说明:解此易选出错误判断 A.其原因是忽视球心的位置.

典型例题九
例9 球面上有 3 个点, 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ) . D. 3

圆的周长为 4? ,那么这个球的半径为( A. 4 3 B. 2 3 C. 2

1 , 经过 3 个点的小 6

分析:利用球的概念性质和球面距离的知识求解.设球的半径为 R ,小圆的半径为 r , 2 则 ?r ? 4? , ∴ r ? 2 . 如 图 所 示 , 设 三 点 A 、 B 、 C , O 为 球 心 , 2? ? ?AOB ? ?BOC ? ?COA ? ? .又∵ OA ? OB ,∴ ?AOB 是等边三角形,同样, 6 3 ?BOC 、?COA 都是等边三角形,得 ?ABC 为等边三角形,边长等于球半径 R .r 为 ?ABC 的外接圆半径, r ?

3 3 3 r ?2 3. AB ? R,R ? 3 3 3

答案:B 说明:本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题,除了考查常规的与多面体 综合外,还考查了球面距离,几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点,是一道不可多得的好 题.

典型例题十
例 10 半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥.求该四棱锥的体积. 分析:四棱锥的体积由它的底面积和高确定,只需找到底面、高与球半径的关系即可, 解决这个问题的关键是如何选取截面,如图所示.

解:∵棱锥底面各边相等, ∴底面是菱形. ∵棱锥侧棱都相等,

∴侧棱在底面上射影都相等,即底面有外接圆. ∴底面是正方形,且顶点在底面上的射影是底面中心,此棱锥是正棱锥. 过该棱锥对角面作截面,设棱长为 a ,则底面对角线 AC ? 故截面 SAC 是等腰直角三角形. 又因为 SAC 是球的大圆的内接三角形,所以 AC ? 2 R ,即 a ? ∴高 SO ? R ,体积 V ?

2a ,

2R .

1 2 S 底 ? SO ? R 3 . 3 3

说明:在作四棱锥的截面时,容易误认为截面是正三角形,如果作平等于底面一边的对 称截面(过棱锥顶点,底面中心,且与底面一边平行) ,可得一个腰长为斜高、底为底面边长 的等腰三角形,但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形.可见,解决有关几何体 接切的问题,如何选取截面是个关键. 解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长(或高或某个截面内的元素)与球半径 的关系,再进一步求解.

典型例题十一
例 11 在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C ,如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且 PA ? PB ? PC ? a .求这个球的表面积. 分析: S球面 ? 4?R ,因而求球的表面关键在于求出球的半径 R .
2

解:设过 A 、 B 、 C 三点的球的截面半径为 r , 球心到该圆面的距离为 d , 则R ?r ?d .
2 2 2

由题意知 P 、 A 、 B 、C 四点不共面,因而是以这四个点为顶点的三棱锥 P ? ABC (如 图所示) . ?ABC 的外接圆是球的截面圆.

' 由 PA 、 PB 、 PC 互 相 垂 直 知 , P 在 ABC 面 上 的 射 影 O 是 ?ABC 的 垂 心 , 又

PA ? PB ? PC ? a ,
所以 O 也是 ?ABC 的外心,所以 ?ABC 为等边三角形,
'

且边长为 2a , O 是其中心,

'

从而也是截面圆的圆心. 据球的截面的性质,有 OO 垂直于⊙ O 所在平面,
' ' 因 此 P 、 O 、 O 共 线 , 三 棱 锥 P ? ABC 是 高 为 PO 的 球 内 接 正 三 棱 锥 , 从 而 ' '

d ? R ? PO' .由已知得 r ?

6 3 a , PO' ? a ,所以 R2 ? r 2 ? d 2 ? r 2 ? ( R ? PO' )2 ,可 3 3

求得 R ?

3 a ,∴ S球面 ? 4?R2 ? 3?a 2 . 2

说明:涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题,一般作其轴截面;涉及到球与棱柱、棱 锥、棱台的切接问题,一般过球心及多面体中特殊点或线作截面,把空间问题化为平面问题, 进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系.

典型例题十二
例 12 已知棱长为 3 的正四面体 ABCD ,E 、F 是棱 AB 、AC 上的点, 且 AF ? 2 FC , BE ? 2 AE .求四面体 AEFD 的内切球半径和外接球半径. 分析:可用何种法求内切球半径,把 VD ? AEF 分成 4 个小体积(如图).

解: 设四面体 AEFD 内切球半径为 r , 球心 N , 外接球半径 R , 球心 M , 连结 NA 、NE 、

NF 、 ND ,则 VAEFD ? VN ? AEF ? VN ? AFD ? VN ? ADE ? VN ?EFD .
四面体 AEFD 各面的面积为

S ?AEF ?

2 3 2 3 3 1 3 3 S ?ABC ? , S ?AFD ? S ?ABC ? , S ?AED ? S ?ABC ? . 9 2 3 2 3 4

?DEF 各边边长分别为 EF ? 3 , DF ? DE ? 7 ,
∴ S ?DEF ? ∵ VADEF ?

5 3. 4

2 2 VABCD ? , 9 2

1 VAEFD ? r ( S ?AEF ? S ?AFD ? S ?AED ? S ?DEF ) , 3


2 1 3 3 3 3 3 5 3 ? r( ? ? ? ), 2 3 2 2 4 4 6 . 8

∴r ? 如图,

?AEF 是直角三角形,其个心是斜边 AF 的中点 G .
设 ?ABC 中心为 O1 ,连结 DO1 ,过 G 作平面 AEF 的垂线, M 必在此垂线上, 连结 GO1 、 MD . ∵ MG ? 平面ABC , DO1 ? 平面ABC , ∴ MG // DO1 , MG ? GO1 . 在直角梯形 GO1 DM 中, GO1 ? 1 , DO1 ? 6 ,

MD ? R , MG ? AM 2 ? AG2 ? R2 ?1 ,
又∵ ( DO1 ? MG)2 ? GO1 ? MD2 ,∴ ( 6 ? R 2 ? 1) 2 ? 1 ? R 2 , 解得: R ?
2

10 . 2 10 6 ,外接球半径为 . 2 8

综上,四面体 AEFD 的内切球半径为

说明:求四面体外接半径的关键是确定其球心.对此多数同学束手无策,而这主要是因 本题图形的背景较复杂.若把该四面体单独移出,则不参发现其球心在过各面三角形外心且 与该三角形所在平面垂直的直线上,另还须注意其球心不一定在四面体内部. 本题在求四面体内切球半径时,将该四面体分割为以球心为顶点,各面为底面的四个三 棱锥,通过其体积关系求得半径.这样分割的思想方法应给予重视.

典型例题十三

例 13 一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径 为 r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多少? 分析:先作出轴截面,弄清楚圆锥和球相切时的位置特征,利用铁球取出后,锥内下降 部分(圆台)的体积等于球的体积,列式求解.

解:如图,作轴截面,设球未取出时,水面高 PC ? h ,球取出后,水面高 PH ? x . ∵ AC ? 3r , PC ? 3r , 则以 AB 为底面直径的圆锥容积为

1 V圆锥 ? ? ? AC 2 ? PC 3 1 ? ? ( 3r ) 2 ? 3r ? 3?r 3 , 3 4 3 V球 ? ?r . 3 球取出后,水面下降到 EF ,水的体积为 1 1 1 V水 ? ? ? EH 2 ? PH ? ? ( PH tan 30?) 2 PH ? ?x 3 . 3 3 9 1 3 4 3 3 又 V水 ? V圆锥 ? V球 ,则 ?x ? 3?r ? ?r , 9 3
解得 x ? 3 15r . 答:球取出后,圆锥内水平面高为 3 15r . 说明:抓住水的何种不变这个关键,本题迅速获解.

典型例题十四
例 14 球面上有三点 A 、 B 、 C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中 AB ? 18 , BC ? 24 、 AC ? 30 ,球心到这个截面的距离为球半径的一半,求球的表面积. 分析:求球的表面积的关键是求球的半径,本题的条件涉及球的截面, ?ABC 是截面的 内接三角形,由此可利用三角形求截面圆的半径,球心到截面的距离为球半径的一半,从而 可由关系式 r ? R ? d 求出球半径 R .
2 2 2

解:∵ AB ? 18 , BC ? 24 , AC ? 30 ,

∴ AB ? BC ? AC , ?ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形.
2 2 2

∴ ?ABC 的外接圆的半径为 15 ,即截面圆的半径 r ? 15 , 又球心到截面的距离为 d ?
2

1 R, 2

∴ R ? ( R ) ? 15 ,得 R ? 10 3 .
2 2

1 2

∴球的表面积为 S ? 4?R2 ? 4? (10 3)2 ? 1200 ?. 说明:涉及到球的截面的问题,总是使用关系式 r ?

R2 ? d 2 解题,我们可以通过两个

量求第三个量,也可能是抓三个量之间的其它关系,求三个量.例如, 过球 O 表面上一点 A 引 三条长度相等的弦 AB 、AC 、AD , 且两两夹角都为 60 ? , 若球半径为 R , 求弦 AB 的长度. 由 条件可抓住 A ? BCD 是正四面体, A 、 B 、 C 、 D 为球上四点,则球心在正四面体中心, 设 AB ? a ,则截面 BCD 与球心的距离 d ?

6 a ? R ,过点 B 、 C 、 D 的截面圆半径 3

r?

3 3 2 6 2 6 a ,所以 ( a) ? R 2 ? ( a ? R) 2 得 a ? R. 3 3 3 3

典型例题十五
例 15

A 、B 是半径为 R 的球 O 的球面上两点,它们的球面距离为

?
2

R ,求过 A 、B 的

平面中,与球心的最大距离是多少? 分析: A 、 B 是球面上两点,球面距离为

?
2

R ,转化为球心角 ?AOB ?

?
2

,从而

AB ? 2 R ,由关系式 r 2 ? R 2 ? d 2 , r 越小, d 越大, r 是过 A 、 B 的球的截面圆的半径,
所以 AB 为圆的直径, r 最小. 解:∵球面上 A 、 B 两点的球面的距离为 ∴ ?AOB ?

?
2

R.

?
2

,∴ AB ?

2R .
1 2 AB ? R , d 取最大值, 2 2

当 AB 成为圆的直径时, r 取最小值,此时 r ?

d ? R2 ? r 2 ?

2 R, 2 2 R. 2

即球心与过 A 、 B 的截面圆距离最大值为

说明:利用关系式 r ? R ? d 不仅可以知二求一,而且可以借此分析截面的半径 r 与球
2 2 2

心到截面的距离 d 之间的变化规律.此外本题还涉及到球面距离的使用,球面距离直接与两 点的球心角 ?AOB 有关,而球心角 ?AOB 又直接与 AB 长度发生联系,这是使用或者求球面 距离的一条基本线索,继续看下面的例子.

典型例题十六
例 16 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求 球的表面积与体积. 分析:球与正三棱锥四个面相切,实际上,球是正三棱锥的内切球,球心到正三棱锥的 四个面的距离相等,都为球半径 R .这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,而 点面距离常可以用等体积法解决. 解:如图,球 O 是正三棱锥 P ? ABC 的内切球, O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半 径R .

PH 是正三棱锥的高,即 PH ? 1. E 是 BC 边中点, H 在 AE 上,

?ABC 的边长为 2 6 ,∴ HE ?
∴ PE ? 3

3 ?2 6 ? 2 . 6

可以得到 S ?PAB ? S ?PAC ? S ?PBC ?

1 BC ? PE ? 3 2 . 2

S ?ABC ?

3 (2 6 ) 2 ? 6 3 4

由等体积法, VP? ABC ? VO?PAB ? VO?PAC ? VO?PBC ? VO? ABC ∴ ? 6 3 ?1 ? 得: R ?

1 3

1 1 ?3 2 ? R?3? ?6 3 ? R 3 3

2 3 ? 6 ?2, 2 3 ?3

∴ S球 ? 4?R 2 ? 4? ( 6 ? 2) 2 ? 8(5 ? 2 6 )? .

∴ V球 ?

4 3 4 ?R ? ? ( 6 ? 2) 3 . 3 3

说明:球心是决定球的位置关键点,本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球 半径 R 来求出 R ,以球心的位置特点来抓球的基本量,这是解决球有关问题常用的方法.比 如:四个半径为 R 的球两两外切,其中三个放在桌面上,第四个球放在这三个球之上,则第 四个球离开桌面的高度为多少?这里,四个球的球心这间的距离都是 2 R ,四个球心构成一个 棱长为 2 R 的正四面体,可以计算正四面体的高为

6 2 6 ? 2R ? R ,从而上面球离开桌面 3 3

的高度为 2 R ?

2 6 R. 3

典型例题十七
例 17 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 分析:首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥,它们公共的轴截面,然后寻找几何体与 几何体之间元素的关系.

解:如图,等边 ?SAB 为圆锥的轴截面,此截面截圆柱得正方形 C1CDD1 ,截球面得球的 大圆圆 O1 . 设球的半径 OO1 ? R ,则它的外切圆柱的高为 2 R ,底面半径为 R ;

OB ? O1O ? cot30? ? 3R ,
SO ? OB ? tan60? ? 3R ? 3 ? 3R ,
∴ V球 ?

4 3 ?R , V柱 ? ?R2 ? 2R ? 2?R3 , 3

1 V锥 ? ? ? ( 3R) 2 ? 3R ? 3?R 3 , 3
∴ V球∶ V柱∶ V锥 ? 4 ∶ 6 ∶ 9.

典型例题十八

例 18 正三棱锥 P ? ABC 的侧棱长为 l ,两侧棱的夹角为 2? ,求它的外接球的体积. 分析:求球半径,是解本题的关键.

解:如图,作 PD ? 底面 ABC 于 D ,则 D 为正 ?ABC 的中心. ∵ OD ? 底面 ABC ,∴ O 、 P 、 D 三点共线. ∵ PA ? PB ? PC ? l , ?APB ? 2? . ∴ AB ? 2l 2 ? 2l 2 cos2? ? 2l sin ? . ∴ AD ?

3 2 3 AB ? sin ? , 3 3

设 ?APD ? ? ,作 OE ? PA 于 E ,在 Rt ?APD 中, ∵ sin ? ?

AD 2 3 ? sin ? , PA 3
1 1 PA ? l . 2 2

又 OP ? OA ? R ,∴ PE ?

PE 在 Rt ?POE 中,∵ R ? PO ? ? cos ?

l 2 , 4 2 1 ? sin ? 3

? ? l ? ? 4 3?l 3 3 ? 4 sin 2 ? 2 ? ? ∴ V球 ? ? ? . 3 ? 2(3 ? 4 sin 2 ? ) 4 2 ? 1 ? sin ? ? ? 3 ? ?
说明:解决与球有关的接、切问题时,一般作一个适当的截面,将问题转化为平面问题 解决,这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等,在这个截面中应包括 每个几何体的主要元素,且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系.

3

典型例题十九
例 19 在 球 心 同 侧 有 相 距 9cm 的 两 个 平 行 截 面 , 它 们 的 面 积 分 别 为 49?cm 和
2

400?cm2 .求球的表面积.

分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性质,求球的半径.

解:如图为球的轴截面,由球的截面性质知, AO1 // BO2 ,且若 O1 、 O2 分别为两截面 圆的圆心,则 OO1 ? AO 1 , OO2 ? BO2 .设球的半径为 R . ∵ ? ? O2 B 2 ? 49? ,∴ O2 B ? 7(cm) 同理 ? ? O1 A2 ? 400 ? ,∴ O1 A ? 20(cm) 设 OO1 ? xcm ,则 OO2 ? ( x ? 9)cm . 在 Rt?OO1 A 中, R ? x ? 20 ;在 Rt?OO2 B 中, R 2 ? ( x ? 9) 2 ? 72 ,
2 2 2

∴ x 2 ? 20 ? 72 ? ( x ? 9)2 ,解得 x ? 15 ,
2 2 2 2 ∴ R ? x ? 20 ? 25 ,∴ R ? 25

∴ S球 ? 4?R ? 2500 ? (cm ) .
2 2

∴球的表面积为 2500 ? cm .
2


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