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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.文)含详解


2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修Ⅰ)
本试卷分第错误!未找到引用源。卷(选择题)和第错误!未找到引用源。卷(非选择 题)两部分.第错误!未找到引用源。卷 1 至 2 页,第错误!未找到引用源。卷 3 至 4 页.考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径

0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

.........

3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 参考公式:
w .w.w.k.s.5.u. c.o. m

如果事件 A,B 互斥,那么

球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V?

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 01, ,2, ?,n) n (k ) ? Cn P (1 ? P)

其中 R 表示球的半径

一、选择题 (1) sin585 的值为 (A) ?
o

2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。

解: sin585 ? sin( 360 ? 225 ) ? sin( 180 ? 45 ) ? ? sin45 ? ?
o o o o o o

2 ,故选择 A。 2

(2)设集合 A={4,5,6,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 ? =A ? B,则集合[u (A ? B) 中的元素共有 (A) 3 个 (B) 4 个 (C)5 个 (D)6 个 【解析】本小题考查集合的运算,基础题。 (同理 1) 解:A ? B ? {3, 4,5,7,8,9} ,A ? B ? {4,7,9}?CU ( A ? B) ? {3,5,8} 故选 A。 也可用摩根律:

CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B)
(3)不等式

x?1 ? 1 的解集为 D x ?1

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

(A) x 0 ? x?1? ? x x? 1? (C)

?

?

(B) ?x 0 ? x?1 ? (D) x x?0?

?x ?1? x?0?

?

【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式,基础题。 解:

x ?1 ? 1 ?| x ? 1 |?| x ? 1 |? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 0 ? 4 x ? 0 ? x ? 0 , x ?1

故选择 D。 (4)已知 tan a =4,cot ? = (A)

7 11

(B) ?

7 11

1 ,则 tan(a+ ? )= 3 7 7 (C) (D) ? 13 13

【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基础题。 解:由题 tan? ? 3 , tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan? 4? 3 7 ? ? ? ,故选择 B。 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 12 11

(5)设双曲线 心率等于 (A) 3

x2 y 2 - =1? a>0,b>0 ? 的渐近线与抛物线 y=x2+1相切,则该双曲线的离 a 2 b2

(B)2

(C) 5

(D) 6

【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率, 基础题。

解:由题双曲线

bx x2 y 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的一条渐近线方程为 y ? ,代入抛物线方程整 2 a a b
2 2

理 得 ax ? bx ? a ? 0 , 因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切 , 所 以 b ? 4a ? 0 , 即
2

c 2 ? 5a 2 ? e ? 5 ,故选择 C。
(6)已知函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x)=+ 1 2lgx ? x>0? ,则 f (1) ? g(1) ? (A)0 (B)1 (C)2 (D)4

【解析】本小题考查反函数,基础题。 解:由题令 1 ? 2 lg x ? 1 得 x ? 1 ,即 f (1) ? 1 ,又 g(1) ? 1 ,所以 f (1) ? g(1) ? 2 ,故 选择 C。 (7)甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学,若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种

【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题,基础题。
2 1 1 1 1 2 解:由题共有 C 5 C6 C 2 ? C5 C 3 C6 ? 345,故选择 D。

(8)设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c ,则 ? a, b ?? (A)150°B)120° (C)60° (D)30°

【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。 解:由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起点处的 对角线长等于菱形的边长,故选择 B。 (9)已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面边长都相等, A 1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的 中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角,基础题。 (同理 7)

AB 与 CC1 所成的角, 解:设 BC 的中点为 D,连结 A 1 D,AD,易知 ? ? ?A 1 AB 即为异面直线

由三角余弦定理,易知 cos ? ? cos ?A1 AD ? cos ?DAB ? (10) 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( (A)

AD AD 3 ? ? .故选 D A1 A AB 4

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 3

【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。 解: ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

w.w.w.k.s.5.u. c. o.m

?2?

4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 A 3 2 6 6

(11)已知二面角 ? ? ? ? ? 为 600 ,动点 P、Q 分别在面 ? , ? 内,P 到 ? 的距离为 3 ,Q 到

? 的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为
【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题,综合题。 (同理 10) 解:如图分别作 QA ? ?于A, AC ? l于C, PB ? ? 于B,

PD ? l于D ,连 CQ, BD则?ACQ ? ?PBD ? 60?,

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

AQ ? 2 3, BP ? 3 ,? AC ? PD ? 2
又? PQ ?

AQ 2 ? AP 2 ? 12 ? AP 2 ? 2 3
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

当且仅当 AP ? 0 ,即 点A与点P 重合时取最小值。故答案选 C。

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B。若 (12)已知椭圆 C : 2 ??? ? ??? ? ??? ? FA ? 3FB ,则 AF =
(A)

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础题。 解:过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB ,故

??? ?

??? ?

| BM |?

2 2 2 2 ? ? .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? | AF |? 2 .故选 A 3 2 3 3

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修 ? 选修Ⅰ)
第Ⅱ卷

注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写 清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 7 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在



试题卷上作答无效 . ........
3.本卷共 10 小题,共 90 分.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

(注意:在试题卷上作答无效 ) .........
(13) ( x ? y)10 的展开式中, x7 y 3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于_____________. 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 (同理 13)
3 7 3 r 解: 因 Tr ?1 ? (?1) r C10 ? (?C10 ) ? ?2C10 ? ?240 x 10?r y r 所以有 ?C10
w.w.w.k.s.5. u.c 。

(14)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 。若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 ? _______________. 【解析】本小题考查等差数列的性质、前 n 项和,基础题。 (同理 14) 解: ??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 。
(15)已知 OA 为球 O 的半径, 过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M , 若圆 M 的面积为 3? ,则球 O 的表面积等于__________________. 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积,基础题。 解:设球半径为 R ,圆 M 的半径为 r ,则 ?r ? 3? ,即 r ? 3 由题得 R ? (
2 2

2

R 2 ) ? 3 ,所 2

以 R ? 4 ? 4?R ? 16? 。
2 2

(16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则

m 的倾斜角可以是
① 15
?

② 30

?

③ 45

?

④ 60?

⑤ 75

?
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思 想。 解:两平行线间的距离为 d ?

| 3?1| 1?1

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o , l 1 的倾斜角
o 0 0 o 0 0

为 45 ,所以直线 m 的倾斜角等于 30 ? 45 ? 75 或 45 ? 30 ? 15 。故填写①或⑤
o

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设等差数列{ an }的前 n 项和为 s n ,公比是正数的等比数列{ b n }的前 n 项和为 Tn , 已知 a1 ? 1, b1 ? 3, a3 ? b3 ? 17, T3 ? S3 ? 12, 求{an },{bn } 的通项公式. 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和,基础题。 解:设 ?a n ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q ? 0 ,由题得

?1 ? 2d ? q 2 ? 17 ? 2 ?q ? q ? 1 ? ( 3 ? 3d ) ? 12 解得 q ? 2, d ? 2 ?q ? 0 ?
∴ an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 。 (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试用题卷上作答无效)
2 2 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 b 、 c 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c. 已 知 a ? c ? 2b , 且

s i nB ? 4 c o A s s iC n,求 b.
【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解:由余弦定理得 a ? c ? b ? 2bc cos A ,
2 2 2

∵ a ? c ? 2b, b ? 0 ,
2 2
2 ∴ b ? 2bc cos A ? 2b ,即 b ? 2c cos A ? 2 。

由正弦定理及 sin B ? 4 cos A sin C 得

2 cos A ?

sinB b ? , 2 sinC 2c

∴b ?

b ? 2 ,即 b ? 4 。 2

(19)(本小题满分 12 分)(注决:在试题卷上作答无效) 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面

ABCD , AD ? 2 , DC ? SD ? 2 , 点 M 在 侧 棱 SC 上 ,

∠ABM=60 。
(I)证明: M 是侧棱 SC 的中点; (同理 18) ? ?? ? 求二面角 S ? AM ? B 的大小。 【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角,综合题。 (I)解法一:作 MN ∥ SD 交 CD 于 N,作 NE ? AB 交 AB 于 E, 连 ME、NB,则 MN ? 面 ABCD , ME ? AB , NE ? AD ? 设 MN ? x ,则 NC ? EB ? x , 在 RT ?MEB 中,? ?MBE ? 60? ? ME ? 3x 。 在 RT ?MNE 中由 ME ? NE ? MN ? 3x ? x ? 2
2 2 2 2 2

?

2

解得 x ? 1 ,从而 MN ?

1 SD ? M 为侧棱 SC 的中点 M. 2

解法二:过 M 作 CD 的平行线. (II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定 理。 这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面 角。 过 M 作 MJ ∥ CD 交 SD 于 J , 作 SH ? AJ 交 AJ 于 H , 作

HK ? AM 交 AM 于 K , 则 JM ∥ CD , JM ? 面 SAD , 面 SAD ?
面 MBA , SH ? 面 AMB ? ?SKH 即为所求二面角的补角. 法二:利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF ? AM 交 AM 于点 F , 则点 F 为 AM 的中点,取 SA 的中点 G,连 GF,易证 GF ? AM ,则 ?GFB 即为所求二面角.

解法二、分别以 DA 、 DC 、 DS 为 x 、 y 、 z 轴如图建立空间直角坐标系 D — xyz ,则

A( 2 ,0,0), B( 2 ,2,0),C(0,0,2), S(0,0,2) 。
(Ⅰ)设 M (0, a, b)(a ? 0, b ? 0) ,则 S z

BA ? (0,?2,0), BM ? (? 2 , a ? 2, b), SM ? (0, a, b ? 2) , SC ? (0,2,?2) ,由题得
1 ? ?cos ? BA, BM ? ? 2 ,即 ? ? SM // SC ?
? 2(a ? 2) 1 ? ? ? 2 2 ? 2 ? (a ? 2) ? b ? 2 2 解之个方程组得 a ? 1, b ? 1 ? ? ? 2a ? 2(b ? 2)
即 M (0,1,1) 所以 M 是侧棱 SC 的中点。
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

M

C D A B x

y

法 2:设 SM ? ? MC ,则 M (0,

2? 2 2 ?2 , ), MB ? ( 2 , , ) 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

又 AB ? (0,2,0), ? MB, AB ?? 60o 故 MB ? AB ?| MB | ? | AB | cos60o ,即

4 2 2 2 2 ? 2?( ) ?( ) ,解得 ? ? 1 , 1? ? 1? ? 1? ?
所以 M 是侧棱 SC 的中点。 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 M (0,1,1), MA ? ( 2 ,?1,?1) ,又 AS ? (? 2 ,0,2) , AB ? (0,2,0) , 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) 分别是平面 SAM 、 MAB 的法向量,则

? ? ? 2 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? n1 ? MA ? 0 ? ? n2 ? MA ? 0 ? 2 x 1 ? y1 ? z 1 ? 0 ? 且? ,即 ? 且? ? ? ? ? ?2 y 2 ? 0 ? ? 2 x1 ? 2 z1 ? 0 ? n1 ? AS ? 0 ? ? n1 ? AB ? 0
分别令 x1 ? x 2 ?

2 得 z1 ? 1, y1 ? 1, y 2 ? 0, z 2 ? 2 ,即

n1 ? ( 2 ,1,1), n2 ? ( 2 ,0,2) ,

∴ cos ? n1 , n2 ??

2?0? 2 2? 6

?

6 3

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

二面角 S ? AM ? B 的大小 ? ? arccos

6 。 3

(20)(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局 中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,综合 题。 解:记“第 i 局甲获胜”为事件 Ai (i ? 3,4,5) , “第 j 局甲获胜”为事件 Bi ( j ? 3,4,5) 。 (Ⅰ)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则

A ? A3 ? A4 ? B3 ? B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P( A) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? B4 ) ? P( A3 ? A4 ) ? P( B3 ? B4 ) ? P( A3 ) P( A4 ) ? P( B3 ) P( B4 )
? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.52 。
(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B,因前两局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得这 次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局,从而

B ? A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 ,由于各局比赛结果相互独立,故
P( B) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 )
? P ( A3 ? A4 ) ? P ( B3 ? A4 ? A5 ) ? P ( A3 ? B4 ? A5 ) ? P ( A3 ) P ( A4 ) ? P ( B3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) ? P ( A3 ) P ( B4 ) P ( A5 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.648
(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 6 .
4 2
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

(Ⅱ)设点 P 在曲线 y ? f ( x) 上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性,综合题。 解: (Ⅰ) f `( x ) ? 4 x ? 6 x ? 4 x( x ?
3

6 6 )( x ? ) 2 2

令 f `( x ) ? 0 得 ?

6 6 ; ? x ? 0或 x ? 2 2 6 6 或0 ? x ? 2 2 6 6 6 6 在区间 ( ? ?,? ,0) 和 ( ,? ?) 为增函数; ) 和 (0, )为 2 2 2 2

令 f `( x ) ? 0 得 x ? ?

因此, f ? x ? 在区间 ( ? 减函数。

(Ⅱ)设点 P ( x 0 , f ( x0 )) ,由 l 过原点知, l 的方程为 y ? f `( x0 ) x ,
4 2 3 因此 f ( x0 ) ? f `( x0 ) x ,即 x0 ? 3 x0 ? 6 ? x0 (4 x0 ? 6 x0 ) ? 0 ,整理得
2 2 ( x0 ? 1)( x0 ? 2) ? 0 ,解得 x0 ? ? 2 或 x0 ? 2 。

所以的方程为 y ? ? 2 x 或 y ?

2x

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

(22)(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,已知抛物线 E : y ? x
2

与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 相交于 A、B、C、D 四个
2 2 2

点。 (Ⅰ)求 r 的取值范围 (Ⅱ)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。

解: (Ⅰ)将抛物线 E : y ? x 代入圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 的方程,消去 y ,整理得
2 2 2 2 2

x2 ? 7 x ? 16 ? r 2 ? 0 . . . . . . . . . . . . . (1)
抛物线 E : y ? x 与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点的充
2 2 2 2

要条件是:方程(1)有两个不相等的正根

?49 ? 4(16 ? r 2 ) ? 0 ? 5 5 5 ? ?r ? ? 或r ? ∴ ? x1 ? x 2 ? 7 ? 0 即? ?r?4 2 2 。解这个方程组得 2 ? ? 2 ? x1 ? x 2 ? 16 ? r ? 0 ?? 4 ? r ? 4
r ?( 15 , 4) . 2

(II) 设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、 C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 ) 。 则由(I)根据韦达定理有 x1 ? x2 ? 7, x1 x2 ? 16 ? r 2 , r ? ( 则S ?

15 , 4) 2

1 ? 2? | x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) ?| x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) 2

? S 2 ? [( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? (7 ? 2 16 ? r 2 )(4r 2 ? 15)
令 16 ? r 2 ? t ,则 S 2 ? (7 ? 2t )2 (7 ? 2t ) 方法 1:由三次均值有: 下面求 S 的最大值。
2

1 S 2 ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? (7 ? 2t )(7 ? 2t )(14 ? 4t ) 2 1 7 ? 2t ? 7 ? 2t ? 14 ? 4t 3 1 28 3 ? ( ) ? ?( ) 2 3 2 3
当且仅当 7 ? 2t ? 14 ? 4t ,即 t ?

7 15 , 4) 满足题意。 时取最大值。经检验此时 r ? ( 6 2

法 2:设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、 C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 ) 则直线 AC、BD 的方程分别为

y ? x1 ?

? x 2 ? x1 x 2 ? x1

( x ? x1 ), y ? x1 ?

x 2 ? x1 x 2 ? x1

( x ? x1 )

解得点 P 的坐标为 ( x1 x2 ,0) 。 设t ?

1 x1 x2 ,由 t ? 16 ? r 2 及(Ⅰ)得 t ? (0, ) 4

w.w.w.k.s .5.u. c.o. m

由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积 S ?

1 ( 2 x1 ? 2 x 2 ) | x1 ? x 2 | 2

则 S 2 ? ( x1 ? 2 x1 x2 ? x2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 将 x1 ? x 2 ? 7 , 并令 f (t ) ? S ,等
2

x1 x2 ? t 代入上式,

7 f ( t ) ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? ?8t 3 ? 28t 2 ? 98t ? 343(0 ? t ? ) , 2
∴ f `(t ) ? ?24t 2 ? 56t ? 98 ? ?2(2t ? 7)(6t ? 7) , 令 f `(t ) ? 0 得 t ?

7 7 ,或 t ? ? (舍去) 6 2

当0 ? t ?

7 7 7 7 时, f `(t ) ? 0 ;当 t ? 时 f `(t ) ? 0 ;当 ? t ? 时, f `(t ) ? 0 6 6 6 2 7 时, f ( t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,故所求的点 P 的坐标为 6


故当且仅当 t ?

7 ( ,0) 6


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