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双曲线


双曲线
1. (2013 浦东一模)若双曲线 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 和双曲线 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) C : ? 2 ? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 的 1 1 2 2 a12 b12 a2 b2

焦点相同,且 a1 ? a2 给出下列四个结论:
2 2 2 ① a1 ? a

2 ? b2 ? b12 ;



a1 b2 ? ; a2 b1

③ b1 ? b2 ; 其中所有正确的结论序号是( A. ①② 【答案】B B. ①③ C. ②③ )

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 ; D. ①④

2 2 P 在 C 上,| PF1 |? 2 | PF2 | , 2. (2013 全国高考)已知 F 1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点

则 cos ?F 1PF2 ? ( A.

) B.

1 4

3 5

C.

3 4

D.

4 5

【答案】C 【解析】双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,∴ a ? b ? 2, c ? 2 , 2 2 P 在双曲线的右支上, ∵ | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,∴点
则有 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 2 2 , ∴ | PF2 |? 2 2 , | PF 1 |? 4 2 ,

3 ,选 C. 4 2? 2 2 ? 4 2 x2 y 2 3. (2013 湖南高考)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方 a b
∴ cos F1 PF2 ?

(2 2 ) 2 ? (4 2 ) 2 ? 14

?

程为(



x2 y 2 ? ?1 A. 20 5

x2 y 2 ? ?1 B. 5 20

x2 y 2 ? ?1 C. 80 20

x2 y 2 ? ?1 D. 20 80

【答案】A 【解析】设双曲线 C 的半焦距为 c , c ? 5 . 又∵ C 的渐近线为 y ? ?

b x, a

点 P(2,1) 在 C 的渐近线上, ∴1 ?
2

b ? 2 ,即 a ? 2b . a
2 2

又∵ c ? a ? b ,∴ a ? 2 5 , b ? 5

x2 y 2 ∴ C 的方程为 ? ?1. 20 5
4. (2013 浙江高考) 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点, M , N 是双曲线的两顶点.若

M , O, N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(



A. 3

B. 2

C. 3

D. 2

y

【答案】B 【解析】设椭圆的长轴为 2 a ,双曲线的长轴为 2 a ? , 由 M , O, N 将椭圆长轴四等分,则 2a ? 2 ? 2a? ,即 a ? 2 a ? , ∵双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为 c , ∴双曲线的离心率为 e? ?

M

O

N

x

c c e? a ? 2. ,e ? , ? a? a e a?

5. (2013 惠州一模)设 F 1 和 F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,若 F1,F2 , P(0, 2b) 是正 a 2 b2
) D. 3

三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(

3 A. 2
【答案】B 【解析】∵ tan ∴a ?

B. 2

5 C. 2

?
6

?

c 3 3 ,∴ b ? ? c, 2b 3 2

1 c c 2 ? b 2 ? c ,∴ e ? ? 2 . 2 a

6. (2013 汕头一模)已知 F 1 、 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 是双曲线上 a2 b2


的一点,若 ?F 1PF 2 的三条边长成等差数列,则双曲线的离心率是( 1PF 2 ? 90 ,且 ?F A.

5 3

B.

5 2

C. 5

D. 10

【答案】C 【解析】不妨设 P 是双曲线右支上的一点, 设 PF 1 ? m, PF 2 ?n, ∵ ?F 1PF 2 的三条边长成等差数列, ?F 1PF 2 ? 90 ,

?2m ? n ? 2c?? ?m ? 2c ? 2a?? ? ? ∴ ? m ? n ? 2a , ?n ? 2c ? 4a , ?m 2 ? n 2 ? (2c) 2 ?m 2 ? n 2 ? (2c) 2 ? ? 2 2 2 ∴ (2c ? 2a) ? (2c ? 4a) ? (2c) , 2 2 2 ∴ c ? 6ac ? 5a ? 0 ,∴ e ? 6e ? 5 ? 0 , ∴ e ? 5 ,或 e ? 1 (舍去) .

7. 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1的左、 右焦点为 F 点 P 为左支上一点, 且满足 ?F 则 ?F 1 、F2 , 1PF 2 1PF 2 ? 60 , 4
【解析】设 PF1 ? m, PF2 ? n ,则
2 2 ? ?m ? n ? mn ? 20 ∴? 2 ,∴ mn ? 4 , 2 ? ?m ? n ? 2mn ? 16

的面积为____________. 【答案】 3

?m2 ? n2 ? 2mn cos 60 ? (2c) 2 , ? ? m ? n ? 2a
∴ S ?F1PF2 ?

1 mn sin 60 ? 3 . 2

x2 y 2 ? ?1的 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 的顶点 A(?5, 0) 和 C (5, 0) ,若顶点 B 在双曲线 16 9
左支上,则

sin A ? sin C ? sin B



【答案】

4 x2 y 2 ? ? 1 的两焦点, 【解析】∵ A(?5, 0) 和 C (5, 0) 是双曲线 5 16 9

∴ BC ? BA ? 2a ? 2 ? 4 ? 8 , ∴

sin A ? sin C BC ? BA 8 4 ? ? ? . sin B AC 10 5

2 9.已知双曲线 x ?

y2 ? 1,过 P(1,1) 能否作直线 l 与双曲线交于 A 、 B 两点,且 P 是线段 AB 的中点? 2

【解析】当直线的斜率不存在时,显然不符合题意. 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , y ? kx ? k ? 1 ,

? y ? kx ? k ? 1 ? 由 ? 2 y2 ,得 (2 ? k 2 ) x2 ? 2k (k ?1) x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 , ?1 ?x ? ? 2
∵直线 l 与双曲线交于 A 、 B 两点,

?2 ? k 2 ? 0 ?2 ? k 2 ? 0 ? ? ∴? ,∴ ? , 3 2 2 2 2 ? ?? ? 4k (k ? 1) ? 4(2 ? k ) ? (? k ? 2k ? 3) ? 0 ?k ? ? 2
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,∴ x1 ? x2 ? 如果 P 是线段 AB 的中点,则

2k (k ? 1) , k2 ? 2

?2 ? k 2 ? 0 x1 ? x2 k (k ? 1) ? ? 1 ,即 2 ? 1 ,解得 k ? 2 ,∵ k ? 2 与 ? 矛盾, 3 2 k ?2 k ? ? ? 2
∴过 P(1,1) 不能作直线 l 与双曲线交于 A 、 B 两点,使 P 是线段 AB 的中点. 10. (2013 四川高考)如图,动点 M 与两定点 A(?1, 0) 、 B(1, 0) 构成 ?MAB ,且直线 MA、MB 的斜率

之积为 4,设动点 M 的轨迹为 C . (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线 y ? x ? m(m ? 0) 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求 取值范围. 【解析】 (1)设 M 的坐标为 ( x, y ) , 当 x ? ?1 时,直线 MA 的斜率不存在; 当 x ? 1 时,直线 MB 的斜率不存在. ∴ x ? ?1 .

| PR | 的 | PQ |

y
M

A

O

B

x

y y 此时, MA 的斜率为 , MB 的斜率为 . x ?1 x ?1 y y ? ? 4 ,即 4 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 , ∴ x ?1 x ?1
∴轨迹为 C 的方程为 4x2 ? y 2 ? 4 ? 0( x ? ?1) . (2)由 ? ……4 分

?y ? x ? m ?4 x ? y ? 4 ? 0
2 2

,得 3x ? 2mx ? m ? 4 ? 0 , (﹡)
2 2

∴ ? ? (?2m)2 ? 4 ? 3(?m2 ? 4) ? 16m2 ? 48 ? 0 . 而当 1 或 ?1 为方程(*)的根时, m 的值为 ?1 或 1 . ∴ m ? 0 ,且 m ? 1 . 设 Q 、 R 的坐标分别为 ( xQ , yQ ),( xR , yR ) ,则为方程(*)的两根. ∵ | PQ |?| PR | ,∴ xQ ? xR ,∴ xQ ?

m ? 2 m2 ? 3 m ? 2 m2 ? 3 , xR ? 3 3

3 3 2 1? 2 ?1 1? 2 1? 2 2 | PR | xR m ? 2 m2 ? 3 m m ? ? 1? ∴ . ? ? ? | PQ | xQ 3 3 m ? 2 m2 ? 3 1 ? 2 1 ? 3 2 1 ? 2 ?1 2 1 ? 2 ?1 m m m2
此时 1 ?

3 3 ? 1 ,且 1 ? 2 ? 2 ,∴ 1 ? 1 ? 2 m m

2 2 1? 3 ?1 m2

? 3 ,且 1 ? 2 1?

2 3 ?1 m2

?

5 , 3

∴1 ?

5 5 | PR | | PR | 5 | PR | ? 3 ,且 ? ,综上所述, 的取值范围是 (1, ) ( ,3) . 3 3 | PQ | | PQ | | PQ | 3

11. (2013 湛江二模)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A 、 B , P 是双曲线 C2 : a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 右支 x 轴上方的一点,连结 AP 交椭圆于点 C ,连结 PB 并延长交椭圆于点 D . a 2 b2
(1)若 a ? 2b ,求椭圆 C1 及双曲线 C2 的离心率; (2)若 ?ACD 和 ?PCD 的面积相等,求点 P 的坐标(用 a , b 表示) . 【解析】 (1)∵ a ? 2b , ∴在椭圆 C1 中, c ? a ? b ?
2 2 2

3 2 a , 4

∴椭圆 C1 的离心率为 e1 ?
2

c 3 , ? a 2
2 2

∴在双曲线 C2 中, c ? a ? b ? ∴椭圆 C1 的离心率为 e2 ?

5 2 a , 4

c 5 . ? a 2

(2)设 P 、 C 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) 、 ( x1 , y1 ) , 依题意: A 、 B 的坐标分别为 (?a, 0) 、 ( a, 0) , ∵ ?ACD 和 ?PCD 的面积相等,∴ AC ? PC ,



?a ? x0 0 ? y0 x2 y 2 ? x1 , ? y1 ,代人椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ,得 2 2 a b

b2 ?

2 x0 ? 2ax0 ? a 2 y2 ? a 2 ? 0 ? a 2 ? b2 , 4 4

2 2 2 即 b2 x0 ? 2ab2 x0 ? a2 y0 ? 3a2 ? b2 ? a2 y0 ? 0 ,①

x2 y 2 由 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 的右支上, a b
2 2 得 a2 y0 ? b2 x0 ? a2 ? b2 ,②

将②代人①化简得: x0 ? ax0 ? 2a ? 0 ,
2 2

∴ x0 ? 2a 或 x0 ? ?a (舍去) , ∴点 P 的坐标为 ( 2a, 3b) .
2 2

∴ y0 ?

2 b2 x0 ? a 2 ? b2 ? 3b , a2

12. (2013 上海高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x ? y ? 1 . (1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点. 若 MF ? 2 2 ,求过 M 点的坐标; (2)过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;

(3) 设斜率为 k (| k |? 【解析】 (1)双曲线 C :

若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, 求证:OP ? OQ . 2 ) 的直线 l 交 C 于 P 、Q 两点,

x2 6 ? y 2 ? 1,左焦点 F (? , 0) . 1 2 2 6 2 2 2 2 设 M ( x, y ) ,则 | MF | ? ( x ? ) ? y 2 ? ( 3x ? ) , 2 2 2 由 M 是右支上一点,知 x ? , 2 2 6 6 ∴ | MF |? 3x ? . ∴M( ? 2 2 ,得 x ? , ? 2) . 2 2 2

(2)左顶点 A(?

2 , 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x . 2

过 A 与渐近线 y ?

2 x 平行的直线方程为 y ? 2( x ?

2 ). 2

? 2 ? y?? 2 x x?? ? ? ? 4 . 解方程组 ? 2 ,得 ? ) ? y ? 2( x ? ?y?1 ? 2 ? ? 2
所求平行四边形的面积为 S ?| OA || y |? (3)设直线 PQ 的方程是 y ? kx ? b . ∵直线与已知圆相切,∴ 由?

2 . 4

b k ?1
2

? 1 ,即 b 2 ? k 2 ? 1 (*).

? y ? kx ? b ?2 x ? y ? 1
2 2

,得 (2 ? k 2 ) x2 ? 2kbx ? b2 ? 1 ? 0 .

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

2kb ?b 2 ? 1 , x x ? . 1 2 2 ? k2 2 ? k2

y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ,
∴ OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2 ,

(1 ? k 2 )(?b 2 ? 1) 2kb ?1 ? b 2 ? k 2 ? ? 2 ? k2 2 ? k2 2 ? k2 由(*)知 OP ? OQ ? 0 ,∴ OP ? OQ . ?




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