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立体几何第六课用空间向量求距离和角度


立体几何第六课 §用空间向量求距离和角度 一、知识点 向量的常用方法 ①点到面的距离定理: 如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射线,其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为 | AB ? n | |n| . ②.异面直线间的距离 : d? CD ? n n ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距 离). ③.直线 AB 与平面所成角: ? ? arc sin AB ? m ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | ④.求二面角的平面角定理: 设 n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量, 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其 补角大小( n 1 , n 2 方向相同,则为补角, n 1 , n 2 反方,则为其夹角) . 二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos m?n m?n 或 ? ? arc cos ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n | 二、例题 M 是底面 BC 边上的中点, N 是侧棱 CC1 1. 如图, 已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱长和底面边长为 1, 上的点,且 CN=2C1 N 。 (Ⅰ)求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值; (Ⅱ)求点 B1 到平面 AMN 的距离。 1 2 .如图,在四棱锥 S ? ABCD中,平面 SAD ? 平面 ABCD .底面 ABCD 为矩形, AD ? 2a, AB ? 3a , (Ⅰ)求证: CD ? SA ; (Ⅱ)求二面角 C ? SA ? D 的大小. SA ? SD ? a . 3.如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,∠B1A1C1=90°,D、E 分别为 CC1 和 A1B1 的中点, 且 A1A=AC=2AB=2. (I)求证:C1E∥平面 A1BD; (Ⅱ)求点 C1 到平面 A1BD 的距离. 0 4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?BAD=60 , AB =2 , PA=1 , PA ? 平面 ABCD ,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点. (Ⅰ) 求证:BE ∥平面 PDF ; (Ⅱ)求证:平面 PDF ⊥平面 PAB ; (Ⅲ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的大小. 5.已知四边形 ABCD 满足 AD ∥ BC , 翻折成 BA ? AD ? DC ? 1 BC ? a 2 E 是 BC 的中点, , 将 ?BAE 沿着 AE ?B1 AE ,使面 B1 AE ? 面 AECD , F 为 B1D 的中点. (Ⅰ)求四棱 B ? AECD 的体积; (Ⅱ)证 1 明: B1E ∥面 ACF ; (Ⅲ)求面 ADB1 与面 ECB1 所成二面角的余弦值. 6.如图,在四棱锥 S—ABCD 中, SD ? 底面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,且 SD ? AD ? 2 AB ,E 是 SA 的中点。 (1)求证:平面 BED ? 平面 SAB; (2)求平面 BED 与平面 SBC 所成二面角(锐角)的大小。 7.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和

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