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备课资料(2.2.3 向量数乘运算及其几何意义)


备课资料 一、向量的数乘运算律的证明 设 a、b 为任意向量,λ、μ 为任意实数,则有 (1)λ(μa)=(λμ)a; ① (2)(λ+μ)a=λa+μa; ② (3)λ(a+b)=λa+λb. ③ 证明:(1)如果 λ=0 或 μ=0 或 a=0,则①式显然成立. 如果 λ≠0,μ≠0,且 a≠0,则根据向量数乘的定义,有 |λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,

|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|. 所以|λ(μa)|=|(λμ)a|. 如果 λ、μ 同号,则①式两边向量的方向都与 a 同向;如果 λ、μ 异号,则①式两边向量的方向都 与 a 反向. 因此,向量 λ(μa)与(λμ)a 有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等. (2)如果 λ=0 或 μ=0 或 a=0,则②显然成立. 如果 λ≠0,μ≠0 且 a≠0,可分如下两种情况: 当 λ、μ 同号时,则 λa 和 μa 同向,所以 |(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|, |λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|, 即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|. 由 λ、μ 同号,知②式两边向量的方向或都与 a 同向,或都与 a 反向,即②式两边向量的方向相 同. 综上所述,②式成立. 如果 λ、μ 异号,当 λ>μ 时,②式两边向量的方向都与 λa 的方向相同;当 λ<μ 时,②式两边向量 的方向都与 μa 的方向相同. 还可证|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立. (3)当 a=0,b=0 中至少有一个成立,或 λ=0,λ=1 时,③式显然成立.

图 13 当 a≠0,b≠0 且 λ≠0,λ≠1 时, 可分如下两种情况: 当 λ>0 且 λ≠1 时如图 13,在平面内任取一点 O 作 OA =a, AB =b, OA1 =λa, A1 B1 =λb,则

OB =a+b, OB1 =λa+λb.
由作法知 AB ∥ A1 B1 ,有∠OAB=∠OA1B1,| A1 B1 |=λ| AB |. 所以|

| OA1 | | A1 B1 |
=

| OA |

| A1 B1 |

=λ.所以△ AOB∽△A1OB1.

所以

| OB1 | | OB |

=λ,∠AOB=∠A1OB1.

图 14 因此 O、B、B1 在同一条直线上,| OB1 |=|λ OB |, OB1 与 λ OB 的方向也相同. 所以 λ(a+b)=λa+λb. 当 λ<0 时,由图 14 可类似证明 λ(a+b)=λa+λb. 所以③式也成立. 二、备用习题 1.

1 1 [ (2a+8b)-(4a-2b)]等于( 3 2



A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 2.设两非零向量 e1、e2 不共线,且 ke1+e2 与 e1+ke2 共线,则 k 的值为( A.1 B.-1 C.± 1 D.0 3.若向量方 2x-3(x-2a)=0,则向量 x 等于( ) A.



6 a 5

B.-6a

C.6a

D. ?

6 a 5

4.在△ ABC AE =

1 AB ,EF∥BC,EF 交 AC 于 F,设 AB =a, AC =b,则 BF 用 a、b 表示的形式 5

是 BF =_________. 5.在△ ABC,M、N、P 分别是 AB、BC、CA 边上的靠近 A、B、C 的三等分点,O 是△ ABC 平面上的任意一点,若 OA + OB ? OC =

1 1 e1- e2,则 OM ? ON ? OP =________. 3 2

6.已知△ ABC 的重心为 G,O 为坐标原点, OA =a, OB =b, OC =c, 求证: OG =

1 (a+b+c). 3

7.对判断向量 a=-2e 与 b=2e 是否共线?有如下解法: 解:∵a=-2e,b=-2e,∴b=-a.∴a 与 b 共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误, 请给出正确解法. 参考答案: 1.B 2.C 3.C

1 b 5 1 1 5. e1- e2. 3 2
4.-a+ 6.连接 AG 并延长,设 AG 交 BC 于 M.

∵ AB =b-a, AC =c-a, BC =c-b,

1 1 1 BC =(b-a)+ (c-b)= (c+b-2a). 2 2 2 2 1 ∴ AG = AM = (c+b-2a). 3 3 1 1 ∴ OG = OA + AG =a+ (c+b-2a)= (a+b+c). 3 3
∴ AM = AB + 7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因 为,原题已知中,对向量 e 并无任何限制,那么就应允许 e=0,而当 e=0 时,显然,a=0,b=0,此时,a 不 符合定理中的条件,且使 b=λa 成立的 λ 值也不唯一(如 λ=-1,λ=1,λ=2 等均可使 b=λa 成立),故 不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对 e=0 的情况应另法判断才妥. 综上分析,此题应解答如下: 解:(1)当 e=0 时,则 a=-2e=0. 由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时 a 与 b 共线. (2)当 e≠0 时,则 a=-2e≠0,b=2e≠0, ∴b=-a〔这时满足定理中的 a≠0,及有且只有一个实数 λ(λ=-1),使得 b=λa 成立〕. ∴a 与 b 共线. 综合(1)(2),可知 a 与 b 共线.


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