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2.5等比数列前n项和公式的推导及性质


细节决定成败 态度决定一切

复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:

(2) 通项公式:
(3)a, G, b

an+1 an =q (定值) an=a1? q n-1 (a ? 0, q ? 0).
1

成等比数列

G 2 ? ab,

(ab ? 0)

(4) 重要性质:

an= am?qn-m
m+n=p+q

an?am = ap?aq

注:以上 m, n, p, q 均为自然数

引入:印度国际象棋发明者的故事

(西 萨)

引入新课
分析:由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项公比是2的等比数列, 麦粒的总数为:

2

3

63

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

?2 .
63

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 的方法 . (1) ,就 2 3 63 是错位相 2S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ). 减法 ! 2 3 63 64 (2) 即2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 .
2 3

这种求和 63

? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2S64 ? S64 ? (2 ? 2 ? 那么这些麦粒的总质量就是
2 3 4

2 3 4 63 克,64 如果1000 粒麦粒重为 40

)

?(1 ? 27300 ? 2多亿吨。根据统计资料显 ? 2 ? 2 ? …? 2 )
63

?S64 ? 2

64

?1 ?

? 1.84 ?10

示,全世界小麦的年产量约为 6亿吨,就是说全世界都要 18446744073709551615 1000多年才能生产这么多小麦, 19 国王无论如何是不能实现发明 者的要求的。

2 30

-1

=1 07 37 41 82 3

请同学们考虑如何求出这个和?

如何求等比数列的Sn:
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

错位相减法
n ?2 n?1

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q
2
2 3

? a1q


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q

n?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q)Sn ? a1 ? 0 ??? 0 ? a1q
(1 ? q)Sn ? a1 ? a1q
n

显然,当q=1时,

Sn ? na1
n

a1 ? an q a1 ? a1q ? q ? 1时 : S n ? 1? q 1? q
注意:
1.使用公式求和时,需注意对 q 的情况加以讨论;

? 1和 q ? 1

2.推导公式的方法:错位相减法。

等比数列的前n项和表述为:

Sn ?

{

na1 ,

( q=1).
n

a1 ? an q a1 ? 1 ? q ? , 1? q 1? q

?

?

(q≠1).

证法二:

借助Sn-an =Sn-1

Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 ) = a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )

Sn =

a1 ( 1 – q n )

1–q

(q ? 1)

(一) 用等比定理推导 因为 所以

证法三:

用等比定理:

当 q = 1 时 Sn = n a1

等比数列的前n项和公式
已知 a 1 、n 、 q 时 已知 a1 、an、 q时

知三求二
? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? ? 1? q Sn ? ? ?na (q ? 1) 1 ? ?

? a1 ? an q ( q ? 1 ) ? 1? q Sn ? ? ?na1 (q ? 1) ?

等比数列前n项和公式 你了解多少?

(1) 等比数列前n项和公式: 利用“错位相减法”推 n a1 (q=1) 导 n a1 (q=1) Sn= Sn= n

{

a1 (1 ? q ) (q=1)
1-q

{

a1 ? a n q
1-q

(q=1)

(2) 等比数列前n项和公式的应用: 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提; 2.在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。

(3) 两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二:

例1、求下列等比数列前8项的和
1 1 1 1 (1) , , , ? (2)a1 ? 27, a9 ? ,q ? 0 2 4 8 243 1 1 ,q ? (1) 因为 a1 ? 解: 所以当n ? 8时 2 2
1 2
8 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 255 1 256 1? 2

Sn ?

1 1 8 ? 27 ? q ( 2) 由a1 ? 27 , a9 ? , 可得 : 243 243 1
又由q ? 0, 可得: q ? ? 3

于是当n ? 8时

Sn

8 ? ? 1? ? 27 ?1 ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 1640 ? 1 81 1 ? (? ) 3

例2、在等比数列?a n ? 中,求满足下列条件的 量 :
(1)a1 ? a3 ? 2, 求sn

1 解: (1 )? a1 ? a ? 2 an q 2 ? q ? 2 , n ? 5 , a ? 1 (3)将a1 ? 1, an3? ?512 ,2 S n ? ?341代入S n ? a11? ? q 可得 n ?q2 ? 1 即q n ? ? 1 a 1 ? q ?1 1 说明: 在利用公式,一定要注 意 q的取值,应把它 代入a n1 ? a q , s ? 得: )q .1 ? 1 ( ?512 n 1 ? q ? ? .解得: q? ?2 S ? na ? 2n 当 q341 ? 1时,数列为常数列 2 , 2 , 2 , ? ,所以 n 1 1 作为第一要素来考虑。 1 ?q 4 4 a5 ? a1q ? ? 2 ? 8 n n 2n ?1 a1 ( 在五个变量 a , q , n , a , S 中,只知三可求二, 1 ? q ) 2 [ 1 ? ( ? 1 ) ] ?2) n ?1 2 . n 1 ? 512 n ? n 1? ( 因为a n ? a1q , 所以 1 n 5 1? q 1?选择适当的公式。 ( ?1) 并且要根据具体题意, ? 1 ? 2 解得: n ? 10 1 31 5 2 s5 ? ? ? 2 ?1 ? 1? 2 2 2

(3)a1 ? 1,a n ? ?512 ,s n ? ?341 .求q和n

1 (2)q ? 2, n ? 5, a1 ? .求an 和sn 2

?

?

当q ? ?1时,S ?

?

?

?

?

?

? 1 ? (?1)

例3.某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今 起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)? 分析:第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台 第3年产量为 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第n年产量为 5000?1.1 则n年内的总产量为:
2

……

? 5000 ?1.1 台
2

n?1


n ?1

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1

? 1.数列{2n-1}的前99项和为( ) ? A.2100-1 B.1- 2100 ? C.299-1 D.1-299
1×?1-299? 99 解析:a1=1,q=2,∴S99= =2 -1. 1-2
答案:C

? 2.在等比数列 {an}中,已知a1=3,an=96 ,Sn=189,则n的值为( ) ? A.4 B.5 ? C.6 D.7
解析:an=a1· q =96=3· q ,∴q
n-1 n-1 n-1

a1-anq =32,Sn= 1-q

3-96q 1-32q = =189, =63.解得q=2.∴n=6. 1-q 1-q
答案:C

? 3.已知等比数列{an}中,an>0,n=1,2,3, ?,a2=2,a4=8,则前5项和S5的值为 ________.
1-25 解析:易求得q=2,a1=1.∴S5= =31. 1- 2
答案:31

? 4.在等比数列{an}中,已知a1+a2+? +an=2n-1,则a12+a22+?+an2等于 ________.
1 n 答案: 3(4 -1)
解析: 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=2n- 1.易知等比数列{an}的公比 q=2,首项 a1=1, ∴an=2n-1,于是 an2=4n-1, 1 n 2 2 2 n-1 ∴a1 +a2 +?+an =1+4+4 +?+4 = (4 -1)
2

3

? 5.设数列{an}是等比数列,其前n项和为 Sn,且S3=3a3,求公比q的值.
解析: ①当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件; a1?1-q3? ②当 q≠1 时, =3a1q2, 1-q 因为 a1≠0,所以 1-q3=3q2(1-q), 因为 q≠1, 所以 1-q≠0,化简得 1+q+q2=3q2, 1 解得 q=-2或 q=1(舍) 1 综上,q 的值为 1 或-2.

?

已知等比数列{an}中,前10项和S10= 10,前20项和S20=30,求S30.

[解题过程] 方法一:设公比为 q,则
10 a ? 1 - q ? ? 1 ? =10 ? 1-q ? 20 a ? 1 - q ? 1 ? =30 ? ? 1-q

① ②

② 得 1+q10=3,∴q10=2, ①

a1?1-q30? a1?1-q10? 10 20 ∴S30= = (1+q +q ) 1-q 1-q =10×(1+2+4)=70.

方法二:∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又 S10=10,S20=30, ?30-10? ∴S30-S20=S30-30= , 10 即 S30=70.
2

? [ 题后感悟 ] 等比数列前 n 项和的常用 性质: ? (1)“ 片断和”性质:等比数列 {an} 中 ,公比为q,前m项和为Sm(Sm≠0),则Sm ,S2m-Sm,S3m-S2m,?,Skm-S(k-1)m , ? 构成公比为 qm 的等比数列,即等 比数列的前 m 项的和与以后依次 m 项的 和构成等比数列.

? 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn, 若Sn=2,S3n=14,则S4n等于( ) ? A.80 B.30 ? C.26 D.16 ? 解析: ∵ Sn , S2n - Sn , S3n - S2n , S4n - S3n 成 等比数列 ? ∴(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n) ? ∴(S2n-2)2=2·(14-S2n),解得S2n=6 ? 又∵(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)·(S4n-S3n) ? ∴(14-6)2=(6-2)·(S4n-14) ? ∴S4n=30.故选B.

?

已知等比数列的首项为1,项数为偶 数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170, 求这个数列的公比与项数.

? 由题目可获取以下主要信息: ? ①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等 比数列; ? ②当项数为2n时,S偶∶S奇=q. ? 解答本题的关键是设出项数与公比,然后建立 方程组求解.

[解题过程] 设此等比数列共 2n 项,公比为 q. 由于 S 奇≠S 偶,∴q≠1. 由于奇数项依次组成以 a1 为首项,以 q2 为公比的等比 数列, a1?1-q2n? 故所有奇数项之和为 S 奇= =85① 1-q2 a2?1-q2n? 同理可得所有偶数项之和为 S 偶= 2 =170② 1-q

? ②÷①,得q=2,代入①得22n=256, ? 解得2n=8,所以这个数列共8项,公比为2.

[题后感悟] 等比数列前 n 项和的常用性质 项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. (1)若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; (2)若共有 2n+1 项, a1+a2n+2 则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠-1). , 1+q

? 4.等比数列{an}共2n项,其和为-240, 且奇数项的和比偶数项的和大80,求该 数列的公比q.

解析: 由题意知 S 奇=S 偶+80, 则 S2n=S 偶+S 奇=2S 偶+80=-240, S偶 -160 ∴S 偶=-160,则 S 奇=-80,∴q= = =2. S奇 -80

2.等比数列前 n 项和的性质 (1)数列{an}为公比不为-1 的等比数列,Sn 为其前 n 项 和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?,仍构成等比数列. a1 (2)在等比数列的前 n 项和公式中,如果令 A= ,那 q-1 么 Sn=Aqn-A.
(3)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. ①若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; a1+a2n+2 ②若共有 2n+1 项,则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠- 1+q 1).

◎已知等差数列{an}的首项 a1=1, 公差 d>0, 且第二项、 第五项、第十四项分别为等比数列{bn}的第二项、第三项、 第四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn (2)设数列{cn}对任意正整数 n 都有b +b +?+b =an+1 1 2 n 成立,求 c1+c2+?+c2 009 的值.

【错解】 (1)设 a1+d=b1q,a1+4d=b1q , a1+13d=b1q3. 由题意,得(1+d)(1+13d)=(1+4d)2, 整理,得 d2-2d=0, 解得 d=2,d=0(舍去), ∴an=2n-1.于是 b2=a2=3,b3=a5=9,b4=a14=27, b3 n-1 n-1 所以公比 q= =3,b1=1,故 bn=b1q =3 . b2

2

(2)∵an=2n-1,bn=3

n-1

,∴an+1=2n+1.

cn-1 c1 c2 cn c1 c2 由b +b +?+b =an+1,得b +b +?+ =an, bn-1 1 2 n 1 2 cn 两式相减得 =an+1-an=2, bn 所以 cn=2bn=2· 3
n-1



∴c1+c2+?+c2 009=2· 30+2· 31+2· 32+?+2· 32 008 =2(30+31+32+?+32 008) 1· ?32 009-1? 2 009 =2· =3 -1. 3-1

c1 c2 cn c1 【错因】 由递推关系式b +b +?+b =an+1 得到b + 1 2 n 1 cn-1 c2 cn +?+ =an,两式相减得到 =an+1-an=2 时,忽视了 b2 bn bn-1 n≥2 这一条件,事实上,数列{cn}的通项公式应当为分段函 数型,这是易错点.

【正解】(1)设 a1+d=b1q,a1+4d=b1q , a1+13d=b1q . 由题意,得(1+d)(1+13d)=(1+4d) , 整理,得 d -2d=0,解得 d=2,d=0(舍去),
2 2 3

2

∴an=2n-1.于是 b2=a2=3,b3=a5=9,b4=a14=27, b3 n-1 n-1 所以公比 q= =3,b1=1,故 bn=b1q =3 . b2

(2)∵an=2n-1,bn=3

n-1

,∴an+1=2n+1.

c1 c2 cn 由b +b +?+b =an+1,得 1 2 n cn-1 c1 c2 b1+b2+?+bn-1=an(n≥2), cn 两式相减,得b =an+1-an=2, n 所以 cn=2bn=2· 3n-1(n≥2).

c1 又当 n=1 时, =a2=3,于是 c1=3b1=3, b1 由上述公式得 c1=2· 3
1-1

=2,

? ?n=1? ?3 ∴cn=? n-1 ? 3 ?n≥2? ?2·

.

∴c1+c2+?+c2 009 =3+2· 3 +2· 3 +?+2· 3 =3+2(3 +3 +?+3
2 008 1 2 1 2 2 008

2 008

)

3· ?3 -1? 2 009 =3+2· =3 . 3-1

1.已知数列前n项和sn=2n-1,则此数列的奇数项的前n 项的和是 . 2.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列, a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10。
3.设{an}为等比数列,Tn=na1+(n一1)a2+…+2an-1+an, 已知T1=1,T2=4. (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式.

1 2 3 n [例3] 求和Sn= + 2+ 3+?+ n. a a a a
[分析] 1 { an }成等比数列,其系数构成的数列{n}成等差数

列,故可用错位相减法求前n项和.

[解]

分a=1和a≠1两种情况.

n?n+1? 当a=1时,Sn=1+2+3+?+n= 2 ; 1 2 3 n 当a≠1时,Sn=a+a2+a3+?+an, 1 上式两边同乘以a,得 n-1 1 1 2 n S n + n+1, n= 2+ 3+?+ a a a a a 1 1 1 1 n 两式相减,得(1-a)Sn=a+a2+?+an- n+1, a

a?an-1?-n?a-1? 即 Sn= , n 2 a ?a-1? 综上所述,得

?n?n+1? ? 2 ,a=1, Sn=? n 1?-n?a-1? ?a?a - ,a≠1. n 2 a ?a-1? ?
? [点评] 在求含有参数的等比数列的前n项 和时,容易忽略对a=1和q=1的讨论,从 而丢掉一种情况.

[题后感悟] 错位相减法 一般来说,如果数列{an}是等 差数列,公差为d;数列{bn}是 等比数列,公比为q,则求数 列{anbn}的前n项和就可以运用 错位相减法.

? 在运用错位相减法求数列的和时,要注意以下 四个问题: ? (1) 注意对 q 的讨论,在前面的讨论中,我们已 知 q 是等比数列 {bn} 的公比,所以 q≠0 ,但求和 Sn=1+2x+3x2+?+nxn-1时,就应分x=0、x =1和x≠0且x≠1三种情况讨论. ? (2)注意相消的规律. ? (3) 注意相消后式子 (1 - q)Sn 的构成,以及其中 成等比数列的一部分的和的项数. ? (4) 应用等比数列求和公式必须注意公比 q≠1 这 一前提条件.如果不能确定公比 q是否为1 ,应 分两种情况讨论,这在以前高考中经常考查.

2n-1 1 3 5 迁移变式3 (1)求数列2,4,8,?, 2n 的前n项和Sn. (2)a≠0且a≠1,求1+3a+5a +?+(2n-1)a .
2n-3 2n-1 1 3 5 解:(1)令Sn=2+4+8+?+ n-1 + 2n 2 2n-3 2n-1 1 1 3 S = + +?+ n + n+1 2 n 4 8 2 2 ②
2 n-1



1 1 2 2 2 2n-1 ①-②得 Sn= + + +?+ n- n+1 2 2 4 8 2 2 2n-1 1 1 1 1 = +2×( + +?+ n)- n+1 2 4 8 2 2 1 1 ×?1- n-1? 4 2 2n-1 1 = +2× - n+1 , 2 1 2 1- 2 2n-1 ∴Sn=1+2(1- n-1)- 2n 2 1 2n-1 3+2n =3- n-2- =3- . 2n 2n 2 1 2n+3 ∴Sn=3- . 2n

(2)Sn=1+3a+5a +?+(2n-3)a aSn=a+3a +?+(2n-3)a ①-②得
2 n-1

2

n-2

+(2n-1)a ②

n-1



+(2n-1)an

(1-a)Sn=1+2a+2a2+?+2an-1-(2n-1)an =1+2(a+a2+?+an-1)-(2n-1)an a?1-a ? =1+2× -(2n-1)an 1-a 2a?1-a ? ?2n-1?an 1 ∴Sn= + 2 - 1-a ?1-a? 1-a
n-1 n-1

.3求和:Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? L L ? nxn ( x ? 0)
n?n+1? 解:当x=1时,Sn=1+2+3+?+n= ; 2 当x≠1时,xSn=x2+2x3+3x4+?+(n-1)xn+nxn+1, ∴(1-x)Sn=x+x2+x3+?+xn-nxn 1,


x?1-xn? ∴(1-x)Sn= -nxn+1, 1-x x n+1 n ∴Sn= [ nx - ( n + 1) x +1], 2 ?1-x?

?n?n+1? ?x=1?, ? 2 ∴Sn=? x n+1 ? [ nx -?n+1?xn+1]?x≠1?. 2 ??1-x?

3 4 n n+1 4.求和:1+ 2+ 3+?+ n-1+ n . 2 2 2 2
n+1 2 3 4 解析: 设 Sn=2+22+23+?+ 2n ,① n+1 1 2 3 4 则2Sn=22+23+24+?+ n+1 .② 2 由①-②,
?n+1 n ? n+1 1 2 ?3 2? ?4 3? ? ? ? ? ? ? 得2Sn=2+ 22-22 + 23-23 +?+? n - n?- n+1 2? 2 ? ? ? ? ? 2

2 1 1 1 n+1 =2+22+23+?+2n- n+1 2 1? 1? ?1- n? 1 2? 2 ? n+1 =2+ - n+1 1 2 1-2 1 1 n+1 3 n+3 =2+1-2n- n+1 =2- n+1 , 2 2 n+3 ∴Sn=3- n . 2

练习:
2 an 2 , n ? 1,2,? .已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? , an ?1 ? 3 an ? 1 ?1 ? (1)证明:数列 ? a ? 1?是等比数列 ? n ? ?n? (2)求数列 ? ? 的前n项和Sn ? an ?


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