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1.3.2 函数的奇偶性


函数的奇偶 性

观察下列两个函数图象并思考以下问题: (1)这两个函数图象有什么共同特征吗? (2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?
y y

o

x

f ( x) ? x

o

2

x

f ( x) ? x

x
f ( x) ? x 2

-3 9

-2 4

-1 1 -1 1

0 0 0 0

1 1 1 1

2 4 2 2

3 9 3 3

x
f ( x) ? x

-3 -2 2 3

我们得到,这两个函数图象都关于 y轴对称.从函数值对应表可以看到, 当自变量x取一对相反数时,相应的 两个函数值相同.即点(x,f(x))在图象 上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象上。 我们能否利用函数解析式来描述函 数图象的特征呢?

2 y=x
当x1=1, x2= -1时, f(-1)=f(1) 当x1=2, x2= -2时, f(-2)=f(2) 对任意x,f(-x)=f(x)
-x x

偶函数定义:如果对于函数定
义域内的任意一个x ,都有f(-x) =f(x)。那么f(x)就叫偶函数。

奇函数定义:如果对于函数定
义域内的任意一个x ,都有f(-x)= -f(x)。那么f(x)就叫奇函数。
思考:偶函数与奇函数图象有什么
特征呢?

偶函数的图像特征

偶函数的 图象关于 Y轴对称.

函数y=x2的图像

奇函数的图像特征

O

奇函数的 图象关于 原点对称.

函数y=x3的图像

例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y y

x

2 f ( x) ? 2 x ? 11
y

x

f ( x) ? x
y

-1 -1 2 x 1 x

f ( x) ? x 2 , x ? [?1,2]

f ( x) ? x 3 , x ? [?1,1]

例1.判断下列函数的奇偶性:
(1) f ( x) ? x ;
3
2

1 f ( x) ? x ? 2 ; (2) x
(3)

先确定定义域,再 验证f(x)与f(-x)之 间的关系.

f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 ;

3 f ( x ) ? x 解:(1)对于函数 ,其定义 域为(??,??) ,因为对定义域内的
3 3 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? ? x ? ? f ( x), 每一个x,都有

所以函数 f ( x) ? x 3 为奇函数。

(2)对于函数

1 f ( x) ? x ? 2 x
2

,其定义域为

{x|x ? 0},定义域内每个x,都有
2

1 1 2 f ( ? x ) ? ( ? x) ? ? x ? 2 ? f ( x). 2 ( ? x) x

故f(x)为偶函数。 (3)f(x)定义域为R,定义域内每个x都有

f (? x) ? ? x ? 2 ? ? x ? 2 ? x ? 2 ? x ? 2 ? ?( x ? 2 ? x ? 2 ) ? ? f ( x).
故f(x)为奇函数.

(4) f ( x) ? x

2

( x ? [?3,1])
定义域关于原 点对称是函数具 有奇偶性的必要 条件。

(5) f ( x) ? 2 x ? 1 解:(4) 由于x ? [?3,1]
定义域不关于原点对称,所以 f(x)为非奇非偶函数。

(5)因为f (? x) ? ?2 x ? 1,? f (? x) ? f ( x)且 f (? x) ? ? f ( x) ,故函数f(x)为非奇非偶函数。

变式:(1)若f(x)=2x呢?(2)f(x)=2x+ b呢?

解:(1)f(x)=2x的定义域为R,其内 每个x,都有f(-x)=-f(x). 故f(x)为奇函数.

(2)f(x)=2x+b的定义域为R, f(-x)=-2x+b,又f(x)=2x+b, 当b=0时,f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数; 当b ? 0时,f(-x)? f(x),且f(-x) ? -f(x), 故f(x)是非奇非偶函数.

判断函数奇偶性步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)确定f(x)与f(-x)的关系; (3)作出结论. 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0, 则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0, 则f(x)是奇函数.

思考:
(1)判断函数 f ( x) ? x ? x的奇偶性. 3 (2)如果右图是函数f ( x) ? x ? x y 图象一部分,你能根据f(x) 的奇偶性画出它在y轴 左边的图象吗? 0 f(x)是奇函数. 其图象关于原点对称.
3

x

小结:
?

?

?

?

奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内, 把任意一个x换成-x,(x,-x均在定义域内) ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数; ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件。 性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. 判断奇偶性方法:图象法,定义法。

思考题:
判断下列函数奇偶性. (1)f(x)=0; 2 (2) f ( x) ? ax ? bx ? c, (a ? 0).
x(1-x),(x>0) (3)f(x)= x(1+x),(x ? 0).

作业:

P40 1 , 2 课本:


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