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2016届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试题(解析版)


2016 届河北省衡水中学高三下学期二调考试 数学(理)试题
一、选择题
2 1.已知集合 A ? ?1,3,4,5? ,集合 B ? x ? Z | x ? 4 x ? 5 ? 0 ,则 A ? B 的子集个数

?

?

为( ) A.2 【答案】C

B.4

C.8

D.16

【解析】试题分析:由 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 5 ,所以 B ? {0,1, 2,3, 4} ,所以

A ? B ? {1,3, 4} ,所以 A ? B 的子集个数为 23 ? 8 ,故选 C.
【考点】1、不等式的解法;2、集合的交集运算;3、集合的子集. 2. 如图, 复平面上的点 Z1 , Z2 , Z3 , Z4 到原点的距离都相等, 若复数 z 所对应的点为 Z1 , 则复数 z ? i ( i 是虚数单位)的共轭复数所对应的点为( )

A. Z1

B. Z 2

C. Z3

D. Z 4

【答案】B i ? bi ? i ? ?b 为负实 【解析】试题分析:根据题意,设 z ? bi ( b ? 0 且为实数) ,则 z ? 数,对应点在 x 轴负半轴,即为 z2 ,共轭复数是 z2 ,故选 B. 【考点】复数的概念. 3.下列四个函数中,在 x ? 0 处取得极值的函数是( ① y ? x ;② y ? x ? 1 ;③ y ? x ;④ y ? 2
3 2 x



A.①② 【答案】D

B.①③

C.③④
2

D.②③

【解析】试题分析:①中, y? ? 3x ? 0 恒成立,所以函数在 R 上递增,无极值点;② 中 y? ? 2 x ,当 x ? 0 时函数单调递增,当 x ? 0 时函数单调递减,且 y? |x ?0 ? 0 ,符合 题意;③中结合该函数图象可知当 x ? 0 时函数单调递增,当 x ? 0 时函数单调递减, 且 y? |x ?0 ? 0 ,符合题意;④中,由函数的图象知其在 R 上递增,无极值点,故选 D. 【考点】函数的极值.

?2 x ? y ? 0 ? 4.已知变量 x, y 满足: ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? ?x ? 0 ?

? 2?

2x? y

的最大值为(



A. 2

B. 2 2

C.2

D.4

【答案】D 【解析】试题分析:作出满足不等式组的平面区域,如图所示,由图知目标函数

z1 ? 2 x ? y 经过点 A(1, 2) 时取得最大值,所以 zmax ? ( 2)2?1?2 ? 4 ,故选 D.

【考点】简单的线性规划问题. 5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是(



A.5 B.6 【答案】B

C.7

D.8

【解析】 试题分析: 第一次循环, 得 n ? 8, i ? 2 ; 第二次循环, 得 n ? 4 ? 8 ? 1 ? 31, i ? 3 ; 第三次循环,得 n ? 4 ? 31 ? 1 = 123, i ? 4 ;第四次循环,得 n ? 123 ? 4 ? 119, i ? 5 ; 第五次循环,得 n ? 4 ?119 ? 1 = 471 ? 123 , i ? 6 ,此时不满足循环条件,退出循环, 输出 i ? 6 ,故选 B. 【考点】程序框图. 6.两个等差数列的前 n 项和之比为 A.2 【答案】B 【解析】试题分析: 设这两个数列的前 B.3

5n ? 10 ,则它们的第 7 项之比为( 2n ? 1 45 70 C. D. 27 13



n 项 和 分 别 为 Sn , Tn , 则

1 3a( 1?a 1 3 ) S1 3 13 ? a 2 7 a 7 5? 1 ? 3 10 2 ? ? ? ? ? 3 ,故选 B. T1 3 1 3b( ? b 2 7 b 7 ?2 ? 13 1 1 ?b 1 3 ) 1 3 2
【考点】1、等差数列的前 n 项和;2、等差数列的性质.
2 7 .在某次联考数学测试中,学生成绩 ? 服从正态分布 100,?

?

? ?? ? 0 ? ,若 ? 在

(80,120)内的概率为 0.8,则落在(0,80)内的概率为( ) A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 【答案】B 【解析】试题分析:由题意知 ? 服从正态分布 (100,? 2 ) , P(80 ? ? ? 120) ? 0.8 ,则 由正态分布图象的对称性可知, P(0 ? ? ? 80) ? 0.5 ? B. 【考点】正态分布. 8 . 函 数 部 分 图 象 如 图 所 示 , f? ? x? s A i?n ? ? x ? A? 0 ,? 的 0 )

1 P(80 ? ? ? 120) ? 0.1 ,故选 2

f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ??? ? f ? 2015? 的值为(

A.0 【答案】A

B. 3 2

C. 6 2

D. ? 2

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 图 知 A ? 2 , T ? 2(6 ? 2) ? 8 , 所 以 ? ?

f ( x) ? 2 s i n ( x . ) 由 正 弦 函 数 的 对 称 性 知 f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? 0 , 所 以 4
f (1) ? f (2) ? ? ? f (2015) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (7) = ? f (8) ? 0 ,故选 A.
【考点】1、三角函数的图象及周期性. 【方法点睛】? 由周期 T 确定,即由 T ? 线与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为 的距离为

?

2? ? ? ,所以 T 4

2?

?

求出.常用的确定 T 值的方法有: (1)曲

T ; (2) 最高点和与其相邻的最低点横坐标之间 2

T ; (3)相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为 T ; (4)有时还可以从 2 T 3T 图中读出 或 的长度来确定 ? . 4 4
9 . 若 ?1 ? x ??1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a8 x8 , 则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a7 的 值 是
7

( ) A.-2 【答案】C

B.-3

C.125

D.-131

【解析】试题分析:令 x ? 0 ,得 a0 ? 1 ;令 x ? 1 ,得 ?2 ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ,即

a1 ? a2 ? ? ? a8 ? ?3





7 a8 ? (?2)7 C7 ? ?128







a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?3 ? a8 ? 125 ,故选 C.

【考点】二项式定理.

x2 y 2 10.已知圆 C1 : x ? 2cx ? y ? 0 ,圆 C2 : x ? 2cx ? y ? 0 ,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 a b
2 2 2 2

( a ? b ? 0 ,焦距为 2c ) ,若圆 C1 , C2 都在椭圆内,则椭圆离心率的范围是( A. ? ,1?



?1 ? ?2 ?

B. ? 0, ?

? ?

1? 2?

C. ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

D. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

【答案】B 【解析】试题分析:由题意,得圆 C1 , C2 的圆心分别为 (?c, 0) 和 (c, 0) ,半径均为 c , 满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示,则知要使圆 C1 , C2 都在椭圆内,则需满 足不等式 2c ? a ,所以离心率 0 ? e ?

c 1 ? ,故选 B. a 2

【考点】1、椭圆的几何性质;2、圆锥曲线间的位置关系. 11.定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意 x1, x2 ? x1 ? x2 ? 都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ,且函数

y ? f ? x ? 1? 的 图 象 关 于 ( 1,0 ) 成 中 心 对 称 , 若 s , t 满 足 不 等 式
f ? s 2 ? 2s ? ? ? f ? 2t ? t 2 ? ,则当 1 ? s ? 4 时,
A. ? ?3, ? ? 【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 设 x1 ? x2 , 则 x1 ? x2 ? 0 . 由

t ? 2s 的取值范围是( ) s?t

? ?

1? 2?

B. ? ?3, ? ? 2

? ?

1? ?

C. ? ?5, ? ?

? ?

1? 2?

D. ? ?5, ? ? 2

? ?

1? ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 ,知 x1 ? x2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以函数 f ( x ) 为减函数. 因为函数 y ? f ( x ? 1) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 的 图 象 关 于 (1, 0) 成 中 心 对 称 , 所 以 y ? f ( x) 为 奇 函 数 , 所 以

f (s2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ? f (t 2 ? 2t )
(s ? t) ? (s
因 ?t . 2 ? ) 为0







s 2 ? 2s ? t 2 ? 2t





t ? 2s s3 3 , 而 在 条 件 ? 1? ? 1? t s ?t s ?t 1? s

?(s ? t )(s ? t ? 2) ? 0 t 1 t 1 3 3 下, 易求得 ? [? ,1] , 所以 1 ? ? [ , 2] , 所以 ?[ ,6] , ? t s 2 s 2 2 ?1 ? s ? 4 1? s
所以 1 ?

t ? 2s 1 1 ? [?5, ? ] ,故选 D. ?[?5, ? ] ,即 t s?t 2 2 1? s

3

【考点】1、函数的单调性;2、函数的奇偶性;3、不等式的性质. 【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有: (1)根据奇函数、偶函数的 图象特征和性质, 通过图象将函数不等式转化为一般不等式, 从而解决函数不等式问题; (2)根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上,再根 据单调性脱去符号“ f ”求解. 12.正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 3 , 此时四面体 ABCD 外接球表面积为( ) A.7 ? B.19 ? C.

7 7? 6

D.

19 19? 6

【答案】A 【解析】试题分析:根据题意作图如下,由图可知翻折后的高 AD ? 平面 BCD ,即四 面 体 的 高 为 AD . 在 ?B C D中 , B D? 1, C D? 1, B C ? ,由余弦定理,得 3

BD 2 ? CD 2 ? BC 2 1 2? cos ?BCD ? ? ? ,所以 ?BCD ? ,所以由正弦定理可知 3 2 BD ? CD 2
1 BC ?BCD 的外接圆半径为 ? ? 1 .设这个外接圆的圆心为 O? ,半径为 O?C , 2 sin ?BDC
则由外接球的对称性可得 OO? ?

1 3 2 2 2 .在 ?OO?C 中, OO? ? O?C ? R ,即 AD ? 2 2

R2 ? (

3 2 2 7 ) ? 1 ? ,所以外接球表面积为 4? R2 ? 7? ,故选 A. 2 4

【考点】1、多面体的外接球;2、正余弦定理;3、球的表面积. 【方法点睛】求解翻折问题的基本方法: (1)先比较翻折前后的图形,弄清哪些几何量 和线面间位置关系在翻折过程中不变,哪些已发生变化; (2)将不变的条件集中到立体 图形中,将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题.

二、填空题 13.一个几何体的三视图如图所示,该几何体体积为

.

【答案】

4 3 3

【解析】试题分析:由三视图知该几何体是以底面边长为 2 的正方形,高为 3 的四棱 锥,所以该几何体的体积为 V ?

1 2 4 3 . ?2 ? 3 ? 3 3

【考点】1、空间几何三视图;2、四棱锥的体积. 【思路点睛】 由三视图还原几何体可考虑三种情况: ( 1) 若主视图与左视图都是三角形, 则几何体为棱锥; (2)若主视图与左视图都是矩形,则几何体为棱柱; (3)若主视图与 左视图中一个为三角形,一个为矩形,则几何体为横放的几何体. 14.已知向量 AB 与 AC 的夹角为 60°,且 | AB |?| AC |? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC , 且 AP ? BC ,则实数 ? 的值为 【答案】1 【 解 析 】 . 试 题 分 析 : 因 为

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

.

? ? ? ? ? ? ? ? A ? P B , C所 以
- =

??? ? ??? ? AP ? BC ? 0
??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 AP ? BC ? (? AB ? AC ) ? ( AC ? AB) ? ? AB ? AC ? AC


? AB ? AB ? AC

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (? ?1) | AB || AC | cos60?? | AC |2 ?? | AB |2

2(? ? 1) ? 4 ? 4? ? ?2? ? 2 ? 0 ,解得 ? ? 1 .
【考点】1、向量的数量积运算;2、向量的线性运算. 15.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的半焦距为 c ,过右焦点且斜率为 1 的直线 a 2 b2
2

与双曲线的右支交于两点,若抛物线 y ? 4cx 的准线被双曲线截得的弦长是 ( e 为双曲线的离心率) ,则 e 的值为 【答案】 .

2 2 2 be 3

6 2

【解析】试题分析:由题意,得抛物线的准线为 x ? ?c ,它正好经过双曲线的左焦点,

2b 2 2b2 2 2 2 b 2 2 所以准线被双曲线截得的弦长为 ,所以 ? be ,即 ? e ,所以 a a 3 a 3
6 b 2 整理, 得 2e4 ? 9e2 ? 1 ? 0 , 解得 e ? 或e ? 3. 又 e ? 1 ? ( )2 ? 1? ( e 2 )2 , 2 a 3
过焦点且斜率为 1 的直线与双曲线的右支交于两点,所以 e ?

6 . 2

【考点】1、抛物线与双曲线的几何性质;2、直线与双曲线的位置关系. 【方法点睛】关于双曲线的离心率问题,主要是有两类试题:一类是求解离心率的值, 一类是求解离心率的范围.基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中 a, b, c 的关系式,求 值问题就是建立关于 a, b, c 的等式,求取值范围问题就是建立关于 a, b, c 的不等式. 16.用 g ? n ? 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数,例如:9 的因数有 1,3,9,

g ?9? ? 9,10









1,2,5,10

, .

g ?10? ? 5







g ?1? ? g ? 2 ? ? g ? 3? ? ? ? ? ? g ? 22015 ? 1? ?

42015 ? 1 【答案】 3
【解析】试题分析:由 g (n) 的定义易知当 n 为偶数时, g ( n) ? g ( ) ,且当 n 为奇数 时 ,

n 2

g ( n) ? n

. 令

f( n ? )

g (+1 g ) (2) ? g (3) ? ? ? g (2n ?1) , 则

f( ? n 1 ? )

g (? 1 g)

?? (g 2 ? ) n?1

? (g 3 = ) ? 1? 3 ? (? 2? (2n?1 1 ?1))

+ =

g (2) ? g (4) ? ?? g (2n?1 ? 2)

2n (1 ? 2n ?1 ? 1) ? g (1) ? g (2) ? g (4) ? ? ? g (2n?1 ? 2) ? 4n ? f (n) , 即 f (n ? 1 )- 2

f (n) ? 4n









n



1, 2,?, n









f (n ? 1) ? f (1) ? 4 ? 42 ? ? ? 4n ? f (n ? 1) ?

4 n (4 ? 1) . 又 f ( 1? ) g 3

= ( 1 1) , 所 以
n

4 n (4 ? 1) ? 1 , 所 以 3

f( n ? )

g(?1 ) g ? ( ? 2 g ) ?

? ( 3g= ) ?

( 2

1

42015 ? 1 4 n ?1 (4 ? 1) ? 1 .令 n ? 2015 ,得 g (1) ? g (2) ? g (3) ? ? ? g (22015 ? 1) ? . 3 3
【考点】1、新定义;2、等差数列与等比数列的前 n 项和. 三、解答题

17.在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 a ?

7, b ? 3, 7 sin B ? sin A ? 2 3 .

(1)求角 A 的大小; (2)求 ?ABC 的面积. 【答案】 (1)

? 3 3 ; (2) . 3 2

【解析】试题分析: (1)先由正弦定理求得 sin B 与 sin A 的关系,然后结合已知等式 求得 sin A 的值,从而求得 A 的值; (2)先由余弦定理求得 c 的值,从而由 cos B 的范 围取舍 c 的值,进而由面积公式求解. 试题解析: ( 1 ) 在 ?ABC 中 , 由 正 弦 定 理

a b 7 3 ? ,得 ,即 ? sin A sin B sin A sin B

7 sin B ? 3sin A .
又因为 7 sin B ? sin A ? 2 3 ,所以 sin A ? 因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 A ?

3 . 2

?
3

.

( 2 ) 在 ?ABC 中 , 由 余 弦 定 理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 9 ? c2 ? 7 ,得 ? ,即 2bc 2 6c

c2 ? 3c ? 2 ? 0 .解得 c ? 1 或 c ? 2 .
当 c ? 1 时,因为 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 7 ?? ? 0 ,所以角 B 为钝角,不符合题意, 2ac 14
时 , 因 为





.



c?2

c o B? s

2 a2 ? c ? 2ac

b2 7 ? ? 1 4

,0 又

b ? c, b ? a ? B ? C , B ? A ,所以 ?ABC 为锐角三角形,符合题意.所以 ?ABC 的
面积 S ?

1 1 3 3 3 . bc sin A ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 2 2

【考点】1、正余弦定理;2、三角形面积公式. 18.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据 这 10 个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名

为该型号电视机的“星级卖场”. (1)当 a ? b ? 3 时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m ,乙型号电视机的“星 级卖场”数量为 n ,比较 m , n 的大小关系; (2)在这 10 个卖场中,随机选取 2 个卖场,记 X 为其中甲型号电视机的“星级卖场” 的个数,求 X 的分布列和数学期望; (3)若 a ? 1 ,记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ,根据茎叶图推断 b 为何值时,s 2 达 到最小值.(只需写出结论) 【答案】 (1) m ? n ; (2)分布列见解析, E ( X ) ? 1 ; (3)0. 【 解 析 】 试 题 分 析 :( 1 ) 根 据 茎 叶 图 , 得 2 数 据 的 平 均 数 为

10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 41 ? 43 ? 24 . 10 10 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 31 ? 32 ? 33 ? 33 ? 43 ? 26.5 . 乙组数据的平均数为 10 由茎叶图,知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数 m ? 5 ,乙型号电视剧的“星级卖场” 的个数 n ? 5 ,所以 m ? n . (2)由题意,知 X 的所有可能取值为 0,1,2.
0 2 1 1 0 2 C5 C5 2 C5 C5 5 C5 C5 2 且 P ? X ? 0? ? ? , P ? X ? 1? ? 2 ? ,P ? X ? 2? ? ? , 2 2 9 9 9 C10 C10 C10

所以 X 的分布列为

X P

0

1

2

2 9
2 5 2 ? 1 ? + 2 ? =1 . 9 9 9

5 9

2 9

所以 E ? X ? ? 0 ?

2 (3)当 b ? 0 时, s 达到最小值.

试题解析: (1)根据平均数的定义分别求出甲、乙两组数据的平均数,从而得到“星级 卖场”的个数进行比较; (2)写出 X 的所有可能取值,求出相应概率,列出分布列, 求得数学期望; (3)根据方差的定义求解. 【考点】1、平均数与方差;2、分布列;3、数学期望.

?BAD ? 60? ,DE ? AB 于点 E , 19. 如图 1, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中, 将 ? ADE
沿 DE 折起到 ?A 1 D ? DC ,如图 2. 1 DE 的位置,使 A

(1)求证: A1 E ? 平面 BCDE ;

(2)求二面角 E ? A1 B ? C 的余弦值; (3)判断在线段 EB 上是否存在一点 P ,使平面 A1 DP ? 平面 A 1 BC ?若存在,求出

EP 的值;若不存在,说明理由. PB
【答案】 (1)见解析; (2) ?

7 ; (3)不存在,理由见解析. 7

【解析】 试题分析: (1) 易证得 DE ? DC , 结合 A1D ? DC 可推出 DC ? 平面 A 1DE , 从而推出 DC ? A1E ,进而结合翻折的性质可使问题得证; (2)以 EB, ED, EA 分别为

x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,得到相关点坐标与相关向量,利用空间夹角公
式求解; (3)假设存在点 P(t , 0, 0) ,求出平面 A 1DP 的一个法向量,从而根据两平面垂 直两法向量的数量积为 0,求出 t 的值,从而作出判断. 试题解析: : ( 1 ) ∵ D E ? B E , BE / / DC , ∴ D E ? D C , 又 ∵ A1D ? DC ,

A1D ? DE ? D , ∴ DC ? 平 面 A1 D E. ∴ DC ? A1E , 又 ∵ A1E ? DE ,
DC ? DE ? D ,∴ A1E ? 平面 BCDE ; (4 分)
(2)∵ A1E ? 平面 BCDE , DE ? BE ,∴以 EB , ED , EA1 分别为 x 轴, y 轴和 z 轴 , 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 易 知 DE ? 2 3 , 则 A ) B(2, 0, 0) , 1 ( 0, 0, 2,

???? ??? ? C(4, 2 3,0) , D(0, 2 3,0) ,∴ BA1 ? (?2,0, 2) , BC ? (2, 2 3,0) ,平面 A1 BE 的
一 个 法 向 量 n ? (0,1,0) , 设 平 面 A1 BC 的 法 向 量 m ? ( x, y, z) , 由 BA 1 ? m? 0 ,

?

??

???? ??

??? ? ?? ?? z? 0 ? ? ?2 x ? 2 BC ? m ? 0 , 得 ? , 令 y ?1 , 得 m ? ( ? 3 , 1 ?, ,3∴ ) 0 ? ? 2 x ? 2 y3? ?? ? ?? ? m?n 7 ,由图,得二面角 E ? A c o ?sm n ?? , ?? ? ? 1 B ? C 为钝二面角,∴二面角 | m ?| n | |7
E ? A1B ? C 的余弦值为 ?
7 ; 7

( 3 ) 假 设 在 线 段 EB 上 存 在 一 点 P , 使 得 平 面 A ? 平 面 A1 B C, 设 1 DP

P( t , 0 , 0 )? (0 t ?

2 ) A1 P ? (t, 0, ? 2) , A ,则 1 DP 的法向 1D ? (0,2 3, ?2) ,设平面 A

????

???? ?

量为 p ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 A 1D ? p ? 0 , A 1 P ? p ? 0 ,得 ?

? ?

???? ? ? ?

???? ? ?

?2 3 y1 ? 2 z1 ? 0 ? ,令 x1 ? 2 , ? ?tx1 ? 2 z1 ? 0

得 p ? (2,

? ?

?? ? ? t t , t ) ,∵平面 A1DP ? 平面 A1 BC ,∴ m ? p ? 0 ,即 2 3 ? ? 3 t? 0 , 3 3

解得 t ? ?3 , ∵ 0 ? t ? 2 ,∴在线段 EB 上不存在点 P ,使得平面 A (12 分 ) 1 DP ? 平面 A 1 BC .

【考点】1、空间垂直关系的判定与性质;2、二面角;3、空间向量的应用. 【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有:一是利用线面垂直的判定定理;二是 利用面面垂直的性质定理. 在解题时, 要注意线线、 线面与面央关系的相互转化; 另外, 在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系. 20.如图,已知椭圆:

x2 ? y 2 ? 1 ,点 A, B 是它的两个顶点,过原点且斜率为 k 的直 4

线 l 与线段 AB 相交于点 D ,且与椭圆相交于 E , F 两点.

(1)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值. 【答案】 (1) k ?

??? ?

????

2 3 或k ? ; (2) 2 2 . 3 8

【解析】试题分析: (1)先由两点式求得直线 AB 的方程,然后设 l 的方程为 y ? kx . 设 D x0 , kx0 , E ? x1 , kx1 ? , F ? x2 , kx2 ? ,联立直线 l 与椭圆的方程,得到 x1 , x2 间的 关系,再由 ED ? 6DF 与点 D 在线段 AB 上求得 k 的值; (2)由点到直线的距离公式 分别求得点 A, B 到线段 EF 的距离,从而得到四边形 AEBF 的面积的表面式,进而求 得其最大值. 试题解析: ( 1 ) 依 题 设 得 椭 圆 的 顶 点 A ? 2, 0 , 则 直 线 AB 的 方 程 为 , ? 0, ?B ?1

?

?

??? ?

????

x ? 2 y ? 2 ? 0.

设直线 EF 的方程为 y ? kx ? k ? 0? . 设 D x0 , kx0 ,E ? x1 , kx1 ? , F ? x2 , kx2 ? ,其中

?

?

x1 ? x2 ,
? x2 ? ? y2 ? 1 联立直线 l 与椭圆的方程 ? 4 ,消去 y ,得方程 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 4 .(3 分) ? y ? kx ?
故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k 2

,由 ED ? 6DF 知, x0 ? x2 ? 6 x2 ? x0 ,

??? ?

????

?

?

得 x0 ?

1 5 10 ? 6x2 ? x1 ? ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2
2 , 1+ 2k

, 由 点 D 在 线 段 AB 上 , 知

x0 ? 2kx0 ? 2 ? 0 ,得 x0 ?
所以

2 10 2 3 = ,化简,得 24k 2 ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ? 或 k ? . 2 3 8 1+2k 7 1+4k

( 2 ) 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 , 知 点 A, B 到 线 段 EF 的 距 离 分 别 为

h1 ?

2k 1 ? 4k 2

, h2 ?

1 1 ? 4k 2



又 | EF |?

4 1? k2 1 ? 4k 2



所以四边形 AEBF 的面积为

S?

2 ?1 ? 2k ? 1 1 ? 4k 2 ? 4k | EF | ? h1 ? h2 ? ? ?2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? 2 1+

4k ? 2 1? 1 ? 4k 2

4 1 4k ? k

?2 2,

当且仅当 4k ?

1 1 ,即 k ? 时,取等号, k 2

所以四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2 . 【考点】1、直线与圆的位置关系;2、点到直线的距离公式;3、基本不等式. 21.设函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 2? x ? a ln x .
2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若函数 f ? x ? 有两个零点,求满足条件的最小正整数 a 的值;

(3)若方程 f ? x ? ? c ? c ? R? 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,比较 f ' ? 大小.

? x1 ? x2 ? ?与 0 的 ? 2 ?

【答案】 (1) 当 a ? 0 时,单调增区间为 (0, ??) ,无单调减区间; a ? 0 时,单调增

区间为 ?

?a ? ? a? ? x ? x2 ? (2)3; (3) f ' ? 1 , ?? ? ,单调减区间为 ? 0, ? ; ? ? 0. ?2 ? ? 2? ? 2 ?

【解析】试题分析: (1)求导后,分 a ? 0 、 a ? 0 ,根据导函数与 0 的关系求得单调 区间; ( 2 ) 由( 1 )知 f ? x ? 的最小值 f ?

a ?a? 2 ? ? 0 ,即 ?a ? 4a ? 4a ln 2 ? 0 ,令 ?2?

h ? a? ? a ? 4 ln
是 方 程
2 2

a ? 4,求得 h? ? a ? ,通过讨论 h(a) 的单调性求得 a 的值; (3) 由 x1 , x2 2
2 的 两 个 不 等 实 根 , 则 x1 - ? a ? 2? x1 ? a ln x1 ? c , c

f? ? x?

2 x12+2 x1-x2 -2 x2 ,然后通过换元求 x - ? a ? 2? x2 ? a ln x2 ? c ,两式相减,得 a ? x1+ln x1-x2-ln x2

导即可证明. 试









a 2 x 2 -(a ? 2)x ? a (2 x ? a)(x ? 1) f '? x ? ? 2x ? ? a ? 2? ? ? ? ? x ? 0? . x x x
当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, 所以函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0, ??? ,无单调减区间. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 所以函数 f ? x ? 的单调增区间为 ?

a a ;由 f ' ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? . 2 2

?a ? ? a? , ?? ? ,单调减区间为 ? 0, ? .(4 分) ?2 ? ? 2? ?a? ? ? 0, ?2?

(2)由(1)得,若函数 f ? x ? 有两个零点,则 a ? 0 ,且 f ? x ? 的最小值 f ?
2 即 ?a ? 4a ? 4a ln

a a ? 0 .因为 a ? 0 ,所以 a ? 4ln ? 4 ? 0 . 2 2

令 h ? a ? ? a ? 4ln

a ? 4 ,显然 h ? a ? 在 ? 0, ??? 上为增函数,且 2 3 81 h ? 2 ? ? ?2 ? 0, h ? 3? ? 4ln ? 1 ? ln ? 1 ? 0 ,所以存在 a0 ? ? 2,3? , h ? a0 ? ? 0 . 2 16

当 a ? a0 时, 当 0 ? a ? a0 时, 所以满足条件的最小正整数 a ? 3 . h? a? ? 0 ; h? a? ? 0 , 又当 a ? 3 时, f ?3? ? 3? 2 ? ln3? ? 0, f ?1? ? 0 ,所以 a ? 3 时, f ? x ? 有两个零点. 综上所述,满足条件的最小正整数 a 的值为 3.

(3) f ' ?

? x1 ? x2 ? ? ? 0 ,结论证明如下: ? 2 ?

因为 x1 , x2 是方程 f ? x ? ? c 的两个不等实根,由(1)知 a ? 0 .
2 2 不妨设 0 ? x1 ? x2 ,则 x1 - ? a ? 2? x1 ? a ln x1 ? c, x2 - ? a ? 2? x2 ? a ln x2 ? c, 2 2 两式相减得 x1 ? ? a ? 2? x1 ? a ln x1 ? x2 ? ? a ? 2? x2 ? a ln x2 ? 0 , 2 2 即 x1 ? 2x1 ? x2 ? 2x2 ? ax1 ? a ln x1 ? ax2 ? a ln x2 ? a ? x1 ? ln x1 ? x2 ? ln x2 ? .

所以 a ?

2 x12+2 x1-x2 -2 x2 . x1+ln x1-x2-ln x2

因为 f ' ?

?a? ? a? ?a ? ? ? 0 ,当 x ? ? 0, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,当 x ? ? , ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 , ?2? ? 2? ?2 ?

2 x12+2 x1-x2 -2 x2 ? x1+x2 ? a 故只要证 ? , ? > 2 即可,即证明 x1 ? x2 ? x1+ln x1-x2-ln x2 ? 2 ?
2 2 2 即证明 x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ?? ln x1 ? ln x2 ? ? x12 ? 2x1 ? x2 ? 2x2 ,

即证明 ln

x1 2 x1-2 x2 x .设 t= t ? 1 ? 0 ? t ? 1? . ? x2 x1+x2 x2
2

? t ? 1? 2t-2 1 4 ? 令 g ? t ? ? ln t ? ,则 g ' ? t ? ? ? . 2 t+1 t (t ? 1 ) t ? t ? 1?2
因为 t ? 0 ,所以 g ' ?t ? ? 0 ,当且仅当 t ? 1 时, g ' ?t ? ? 0 , 所以 g ? t ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数. 又 g ?1? ? 0 ,所以当 t ? ? 0,1? , g ?t ? ? 0 总成立.所以原题得证. (12 分) 【考点】1、利用导数研究函数的单调性;2、函数零点;3、比较大水小. 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时,先求导,再由 f ?( x) ? 0 ( f ' ? x ? ? 0 ) 解出相应的 x 的取值范围.当 f ?( x) ? 0 时, f ? x ? 在相应的区间上是增函数;当

f ' ? x ? ? 0 时, f ? x ? 在相应的区间上是减函数.要特别注意的是,涉及含参数的单调
性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数 f ?( x ) 在某一区间内的符号是否有影响.若 有影响,则必须分类讨论. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 PQ 与⊙ O 相切于点 A, AB 是⊙ O 的弦, ? PAB 的平分线 AC 交⊙ O 于点

C ,连接 CB ,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点.

(1)求证: QC ? BC ? QC 2 ? QA2 ; (2)若 AQ ? 6, AC ? 5 ,求弦 AB 的长. 【答案】 (1)见解析; (2) AB ?

10 . 3

【解析】试题分析: (1)利用切割线定理求解; (2)由弦切角定理与角平分线定理可 推出 ?BAC ? ?CBA ,从而可求得 QC 的值,然后证得 ?QAB ? ?QCA ,利用相似比 求解. 试 题 解 析 :( 1 ) ∵ PQ 与 ⊙ O 相 切 于 点 A , ∴ 由 切 割 线 定 理 得

QA2 ? QB ? QC ? ? QC ? BC ? ? QC ,∴ QC ? BC ? QC 2 ? QA2 .(5 分)
( 2 ) ∵ PQ 与 ⊙ O 相 切 于 点

A , ∴ ?PAC ? ?CBA , ∵

?PAC ? ?BAC,??BAC ? ?CBA ,
∴ AC ? BC ? 5 .由 AQ ? 6 及(1)知, QC ? 9 . 由 ?QAB ? ?QCA ,知 ?QAB ? ?QCA ,∴

AB QA 10 ? ,∴ AB ? .(10 分) 3 CA QC

【考点】1、切割线定理;2、弦切角定理;3、相似三角形. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,在以原点 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5sin? .
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标 3, 5 ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值. 【答案】 (1) 直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ?

?

?

5 ? 0, 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 为

x2 ? y ? 5

?

?

2

(2) 3 2 . ?5;

【解析】试题分析: (1) 把直线 l 的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程;根据 (2)把直线 l 的参数方程代入圆 C ? 2 ? x2 ? y 2 与 ? sin ? ? y 求圆 C 的直角坐标方程; 的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解.

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 试题解析: (1)由 ? 得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 .(2 分) ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
又 由 得 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 , 即 ? ? 2 5 s? in

x2 ? y ? 5

?

?

2

? 5 .(5 分)
2 2

? 2 ? ? 2 ? (2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 ? 3 ? , t? ?? t? ? ? ? ?5 2 ? ? ? ? 2 ?
即 t ? 3 2t ? 4 ? 0 , 由于 ? ? 3 2
2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1,t 2 是上述方程的两实

数根, 所以 ? 1

? ?t ? t 2 ? 3 2 , 又直线 l 的过点 3, 5 ,A, B 两点对应的参数分别为 t1,t 2 , t t ? 4 ? ?12

?

?

所以 | PA | ? | PB|?| t1 | ? | t 2 |? 3 2 .(10 分) 【考点】1、参数方程与普通方程的互化;2、极坐标方程与直角坐标方程的互化;3、 参数的几何意义的应用. 【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其 中的 x, y (它们都是参数的函数)的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普 通方程与参数方程的等价性.参数方程化普通方程常用的消参技巧有:代入消元、加减 消元、平方后相加减消元、整体消元等. 24.选修 4-5:不等式选讲 (1)已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ,求 x 的取值范围,使 f ? x ? 为常函数; (2)若 x, y,z ? R,x ? y ? z ? 1 ,求 m ? 2x ? 2 y ? 5z 的最大值.
2 2 2

【答案】 (1) x ?? ?3,1? ; (2)3. 【解析】试题分析: (1) 利用零点分段法求解; (2)利用柯西不等式求解.

??2 x ? 2, x ? ?3 ? 试题解析: (1) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ?4, ?3 ? x ? 1 . ?2 x ? 2, x ? 1 ?
则当 x ?? ?3,1? 时, f ? x ? 为常函数. ( 2 ) 由 柯 西 不 等 式 得

?x ? y
2

2

? z2 ? ? ? ?

?? ? 2? ? ? 2? ? ? 5? ? ? ?
2 2 2

2 x ? 2 y ? 5z ,
x y z ? ? 2 2 2

?

2

所 以

?3 ? x 2

? y 2

? z5 , ? 当 3 且 仅 当

, 即

x?

2 2 5 时,取最大值,因此 m 的最大值为 3. ,y ? ,z ? 3 3 3

【考点】1、零点分段法;2、柯西不等式.


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