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抛物线的性质2


标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b

|x|≤ b,|y|≤ a

对称性
顶点坐标

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)

焦点坐标
长轴和短轴 离心率

长轴长为2a,短轴长为2b, a>b>0

c e ? ,0 ? e ? 1 e越大扁平,越小越象圆 a

a、b、c的关系

a ? b ?c ,a ? b ? 0
2 2 2

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
y

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

图形

F1

o

F2

x

o

x

焦点 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线

(c,0)

(-c,0)

(0,c)

(0,-c)

x ? a, y ? R

y ? a, x ? R

对称轴:x轴,y轴,对称中心:原点

( ? a ,0 )
e?

(0,? a )

a、b、c 的 系 关

c ? 1 e越大,张口开阔,e越小,张口扁狭 a b a y ?? x y ? ? x b a

c2 ? a2 ? b2 , c ? a, c ? b, a、b大 不 小 定




y
l O F x F

y
O

l
x

y
O

F
x l

y
O

l F x

标准方程

y2=2px p 焦点坐标 F ( ,0) 2 p x =准线方程 2 x?0,y?R 范围 对称轴 顶点 离心率

y2=-2px x2=2p y p p F(- ,0) F ( 0, ) 2 2 p p x= y =2 2 x?0,y?R y?0,x?R

x2=2py p F (0, - ) 2 p y= 2 y?0,x?R y轴

x轴 原 点 e=1 即(0,0)

注意椭圆、双曲线与抛物线在几何性质上的联 系与不同点 椭圆、双曲线、抛物线都有“范围”、 联系: 基本的几何性质。 区别: 抛物线与椭圆、双曲线比较起来,主要 区别在于抛物线的离心率等于1,且只 有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、 一条准线,没有中心。 另外:就标准方程而言,椭圆、双曲线 有两个参数,而抛物线只有一个参数。

“对称性”、“顶点”和“离心率”等四个

填空练习:与椭圆、双曲线的几何性质比 较,抛物线的几何性质有什么特点?
(1)抛物线只位于 半个坐标平面内,它可以无限 延伸,但没有渐近线; (2)抛物线只有 1 条对称轴, 无 对称中心; (3)抛物线只有 1 个顶点、 1 个焦点、 1 条准线;
(4)抛物线的离心率是确定的,其值为

1



(5)一次项系数的绝对值越大,开口越大

直线与抛物线位置关系
1、相离;2、相切;3、相交(一个交 点,两个交点) y

O

x

判断方法探讨 1、直线与抛物线的对称轴平行 y 例:计算直线 y = 6 与抛物线 y2 =4x 的 位置关系
O

x

计算结果:得到一 元一次方程,容易 解出交点坐标

2、直线与抛物线的对称轴不平行

例:计算直线 y = x -1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得 到一元二次方 程,需计算判 别式。相交。

O

x

判断位置关系方法总结 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程

得到一元二次方程
计算判别式

直线与抛物 线相交(一 个交点)

判别式大于 0,相交 判别式等于 0,相切
判别式小于 0,相离

例已知抛物线的标准方 何值时,直线与抛物线

程为 y 2 ? 4 x, 直线 l过点 P?- 2,1?,斜率为 k , 当k为 :只有一个公共点;两 个公共点;没有公共点

y

1 y ? x?2 2

P?? 2,1?



y ?1
O
y ? ? x ?1
x

变式练习 1:求过点 P?0,1?且与抛物线 y ? 2 x只有 一个公共点的直线方程
2

解:易知过点 P 且斜率不存在时,直线 x ? 0 与与抛物线

y ? 2x 只有一个公共点;
2

当斜率存在时,设斜率为 k ,则直线方程为 y ? kx ? 1

? y ? kx ? 1 2 由? 2 可得 ky ? 2 y ? 2 ? 0 ? y ? 2x

k ? 0 时,即 y ? 1 ,与抛物线 y 2 ? 2x 当
?1 ? 只有一个公共点 ? ,1? ?2 ?
当 k ? 0 时, ky ? 2 y ? 2 ? 0 的判别式为
2

? ? 2 2 ? 8k

1 由 ? ? 0得, k ? ,方程组只有一个解 2
1 综上知:过 P 点的直线为 x ? 0, 或y ? 1或y ? x ? 1 与抛物线 2

只有一个公共点.

试求:直线经过抛物线 ? 2 px( p ? 0)的焦点F , 且与 l y
2

抛物线相交于 ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )两点,求线段 的长。 A AB
解:由题意可知

p 准线l : x ? ? 2 设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), A, B到

y

A’

A O F B
x

准线 l的距离分别为 d A , d B . 由抛物线的定义可知 p B’ 焦半径 AF ? d A ? x1 ? , 2 p BF ? d B ? x2 ? , 2 所以 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? p

例过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的焦点的一条直线和 . 这条抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1、y 2 , p2 2 求证 : y1 y2 ? ? p , x1 x2 ? 4 证法 : 因直线 AB过定点 F且与 x轴
不平行 , 所以可设直线 AB的方程 : p O x ? my ? , 代入 y 2 ? 2 px , 得 2 2 2 y ? 2 pmy ? p ? 0. ? y1、y 2是上述方程的两个根 , 则 y1 y2 ? ? p .
2

y A F B x

抛物线的实用性例题
变练2:探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分.灯口直径是
60cm,灯深40cm. 求抛物线的标准方程和焦点的位置. A

y

45 y ? x, 2
2

? 45 ? ? ,0 ? ? 8 ?

O F
B

.

x

变练3.图中是抛物线形拱桥,当水 面在L时,拱顶离水面2米,水面 宽4米.水下降1米后,水面宽多少?

变练.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边 组成,如图,某卡车空车时能通过此隧道, 现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高4.5 米,问此车能否通过此隧道?说明理由
y

O 3m B 6m A

x

2m

总结:
1、抛物线的基本性质 2、焦半径公式焦点弦长

3、常见的弦的问题

再见

思考题: 过点A(0,5)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有几条? “直线与抛物线相切” 是“直线与抛物线只有一个交点”

的什么条件?

抛物线的几何性质之强化练习

1.在抛物线y ? 12 x上, 求和焦点的距离等于9
2

的点的坐标(采用两种方法求解).
方法一 方法二

抛物线的几何性质之强化练习

1.在抛物线y ? 12 x上, 求和焦点的距离等于9
2

的点的坐标(采用两种方法求解).
方法一 方法二

解法一 : 设所求点的坐标为 ( x0 , y0 ), 而抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点坐标为 (3,0), 依题意有 ( x0 ? 3) 2 ? y0 ? 9, 将y0 ? 12 x0 代入得 :
2 2

( x0 ? 3) 2 ? 12 x0 ? 9, 即x0 ? 6 x ? 72 ? 0,
2

解得 : x0 ? ?12(舍去), 或x0 ? 6, 将x0 ? 6代入 y ? 12 x得
2

所求点的坐标为 (6,?6 2 )和(6,6 2 ).

抛物线的几何性质之强化练习

1.在抛物线y ? 12 x上, 求和焦点的距离等于9
2

的点的坐标(采用两种方法求解).
方法一 方法二

解法二 : 利用抛物线的定义可知 , 所求的点设 M ( x0 y0 ) 到焦点的距离与到准线 x ? ?3的距离都等于 9, 则: x0 ? 3 ? 9, x0 ? 6, y ? ?6 2 得所求点的坐标为 (6,?6 2 )和(6,6 2 ).

抛物线的几何性质之强化练习

1.在抛物线y ? 12 x上, 求和焦点的距离等于9
2

的点的坐标(采用两种方法求解). 2 变题1 :已知点 M ( x0 , y0 )是抛物线 y ? 12 x上的
任意一点 , 求M到焦点的距离 . 变题 2 :已知点 M ( x0 , y0 )是抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上的任意一点 , 求M到焦点的距离 .

总结 : 抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)上任意一点M ( x1 , y1 ) p 到焦点F ( ,0)的距离称为抛物线的焦半径, 且 2 p | MF |? x1 ? 2
运用1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,求|AB|的值

运用2 : 过抛物线 ? 4 x的焦点F, 作倾斜角为 y
2

30 的直线与抛物线交于, B两点, 求 | AB | . A
0

答案 :| AB |? 16

2.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的焦点的一条直线和 这条抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1、y 2 , 求证 : y1 y2 ? ? p .
2

y A F B x

联想 : 在同样的条件下, 注意到 y1 y2 ? ? p 2 , 那么x1 x2 ? ________?

O 2 变题1 : 过抛物线y ? 2 px( p ? 0)焦点 F的直线, 交抛物线于点A( x1 , y1 )、
p B( x2 , y2 ), 则有x1 x2 ? . 4
2

2.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的焦点的一条直线和 这条抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1、y 2 , 求证 : y1 y2 ? ? p .
2

y A F B x

p 联想2 :由于直线AB过点焦点F ( ,0) 2 2 时有y1 y2 ? ? p 成立, 那么反之是否 也成立 ?

O 2 变题2 : 抛物线y ? 2 px( p ? 0)上

两个动点A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 若 y1 y2 ? ? p , 则直线AB过抛物线
2

焦点F .

2.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的焦点的一条直线和 这条抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1、y 2 , 求证 : y1 y2 ? ? p .
2

y A F B x

联想3 :由于焦点比较特殊, 对于在抛物线的轴上的一 般的点, 结论又会怎样呢 ?

O 2 变题3 : 设M (a,0)是抛物线y ? 2 px

( p ? 0)的轴上的一个定点, 过M的 直线交抛物线于A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 两点, 求证 : y1 y2与x1 x2均为定值.

2.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)的焦点的一条直线和 这条抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1、y 2 , 求证 : y1 y2 ? ? p .
2

y A F B x

联想4 : 对变题3进行逆向联想, 结论是否成立 ?

变题4 : 抛物线y ? 2 px( p ? 0)上 O
2

两动点A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 )满足 y1 y2 ? k (k是常数), 则直线AB恒 过定点.


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