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数学必修四第二章复习总结,经典例题。


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☆已知 ? ABC 和点 M 满足 MA
AB ? AC ? m AM

? MB ? MC ? 0

,若存在实数 m 使得

成立,则 m=

答案:3

☆已知 A、B、C 是不在同一直线上的三个点,O 是平面 ABC 内一动点,若 心
? ? ? AB AC ? OP ? OA ? ? ? ? ? ? AB AC ? ? ?

,则点 P 的轨迹一定过 ? ABC 的 答案:内

???????????????

☆已知 A、B、C 是不在同一直线上的三个点,O 是平面 ABC 内一动点,若 OP
???????????????

? OA ? ? AB ? AC

?

? ,则点 P 的轨迹一定过 ? ABC 的
答案:重


? ? ? ?

☆若 OA ? OB ? ? OB ? OC

?

?

? OA ? OC

则 O 是 ? ABC 的

???????????????





☆△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若CB=a,



→=b,|a|=1,|b|=2,则→=(B) CA CD
1 2 A. a+ b 3 3 2 1 B. a+ b 3 3 3 4 C. a+ b 5 5 4 3 D. a+ b 5 4

☆△ABC 的外接圆圆心为 O,两条边上的高 的 交 点 为 H , OH ? m ?OA ? OB ? OC ? , 则 实 数 m= 1 分析:可以用平面向量的坐标计算
?????????? ????????

OH ? OA ? AH ? OA ? DC ? OA ? OC ? OD ? OA ? OC ? OB

☆如图所示,P 是△ABC 内一点,且满足PA+2PB +3PC=0,设 Q 为 CP 延长线与 AB 的交点,令CP =p,试用 p 表示PQ.
1











☆如右图,在△ABC 中,M 是 BC 的中点,N 在边

AC 上, AN=2NC, 与 BN 相交于 P 点, AP∶ 且 AM 求 PM 的值.

☆如右图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点, 过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两 点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN, 求 m+n 的 值. ☆已知 G 为三角形的重心,直线 EF 过点 G 且与边 AB、AC 分别交于点 E、F.若 A F = ? A C ,则 1 + 1 =
?
????
????



→ →



?

????????????

3

? π π? ?ω>0,- ≤φ≤ ?的图象上的两 ☆已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) 2 2? ? ? 1? 个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?,则 ? ?

函数 f(x)=________. ☆已知关于 x 的方程 2x ? ? ? 0 , 2 ? ? ,求 ⑴
s in ? 1? 1 ta n ? ? cos ? 1 ? ta n ?

s in (x ? ) 2 6
2

?

?

?

?

3 ?1 x ? m ? 0

?

的 两 根 为 sin ? , cos ? ,

的值;⑵求 m 的值;

2

⑶方程的两根及此时 ? 的值。 如果 sinθ=1/2,则 cosθ=
3 2

3 +1 2

3 2

,可得 θ=π/6

如果 sinθ=

3 2

,则 cosθ=1/2,可得 θ=π/3 。
A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ?? ? 0 , | ? |?

☆已知函数 f ( x ) ?

?
2

)

在一个周期内的图

象 下图所示。 (1)求函数的解析式; (2)设 0 ? x ? ? ,且方程 f ( x ) ? m 有两个不同的实数根,求实 数 m 的取值范围和这两个根的和。
y 2 1 O -2
11 ? 12

x

f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?

m 的取值范围为: ? 2 ? m ? 1或 1 ? m ? 2 ;
6 3

当 ? 2 ? m ? 1 时,两根和为 ? ;当 1 ? m ? 2 时,两根和为 2 ? . ☆已知函数
f ( x ) ? A cos( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ? , 0 ?).

在一个周期内的
x ? 11 ? 6

图象如下图所示①求函数的解析式②设 0 ?
f (x) ? m

,且方程

有两个不同的实数根, 求实数 m 的取值范围和这两个根
?
3

的和 答案:① f ( x ) ? 2 cos( 10
11

2
)

x?

1
11 ?
3

12

② m ? ? ? 2 , ? 1 ? ? ?1, 2 ? ③ 11 ?
15



44 ? 15

☆若集合 A= ? x? ? ?
?

s in x

? cos x ?

1? ? 2?

,则 A 中有
2

????????????

个元素。0
? ?

☆ 已知向量 a =( ? ? 2, ? 范围

?

2

? co s ?

) b = ( m , m ? s in ? ) , a =2 b ,则 ? 的
2 m

?

☆ 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两 倍 ☆证明勾股定理 ☆证明菱形对角线互相垂直 ☆证明三角形三条中线交于一点 ☆证明三角形三条高交于一点 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” ☆ 已 知
P1 P ? ? PP 2
? ?

, 当

P

点 位 置 满 足 什 么 时 , P 点的坐标公式(定比分

? ? ? 1、 1 ? ? ? 0、 ? ? 0、 ? ? 0 ,并求 ?

点公式) ☆已知 a 与 b 不共线,且求 ? a
? ?

?

? ? ?b ? 0

证: ? ? ? ? 0

☆如图,在平面直角坐标系中,以原点为 圆心,单位长度为半径的圆上有两点
4

A (cos ? , sin ? )、 B (cos ? , sin ? )

试用 A、B 两点的坐标表示

? AOB

的余弦值

☆ 证 明 : 对 于 任 意 的 a、 b、 c、 d ? R 恒 有 不 等 式
? ac
? bd

?2

? a

?

2

?b

2

??c

2

? d

2

?

☆设平面向量 a ? ( ? 2 ,1), b ? ( ? , ? 1) , a 与 b 的夹角为钝角, 若 那么 ? 的 取值范围是 答案: ? ? ? ? 1 , 2 ? ? ? 2 , ?? ? ? ?
? 2 ?

☆在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线 段 CD 的中点,则
PA
2

? PB
2

2

?

10

PC

☆已知在 ? ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD 为 BC 边上 的高,则点 D 的坐标为 (1,1)

☆一条河的两岸平行,河的宽度为 500 米,一艘船到对岸,已 知船的速度为 10km/h,水流速度为 2 km/h,问行驶航程最短时 所用时间是多少,问行驶时间最短时所用 时间是多少? ☆如图,O、A、B 是平面上三点,向量
? ?

OA ? 3 , OB ? 2

,设 P 是线段 AB 垂直平分线
? ? ?

上一点,则 OP ? ? OA ? OB ? 的值为 ? ?
? ?

5 2

☆已知向量 ? ? ? x , y ? 与向量 ?

? ? y ,2 y ? x ?
a,b

的对应关系用 ?
m, n

? f (? )

表 示 , 证 明 : 对 任 意 向 量
5

及 常 数

, 恒 有

f ( ma ? nb ) ? mf ( a ) ? nf ( b ) 成立

☆已知
? ?

? ABC
?

为 等 边 三 角 形 , AB=2 , 设 点 P,Q 满 足
?

AP ? ? AB , AQ ? ?1 ? ? ? AC , ? ? R
? ? ? ? ?

,若 BQ ? CP
?

?

?

? ?
?

3 2

,则 ?
?

?
? ?

1 2
? ?

☆ a ? b ? a? b ? a ? b ☆先将函数 y ? 关于直线 x ?
f (x)

a ? b ? a- b ? a ? b

f (x)

的图象向右移 ? 个单位,再将所得的图象作
6 3 y ? sin( 2 x ?
? ?

?
4

的对称变换,得到 y ? sin( ? 2 x ? ? ) 的函数图象,则
?
3 )
? ?

的解析式是

☆已知两个单位向量 a 、b 满足 ? a ? b 时 a 与 b 的夹角 ☆直线 Ax 直线 Ax 点 P ?x
0 0

?

?

?

3 a ? ? b ?? ? 0 ?

, 求当 a ? b 最小

?

?

?

?

?
3
?

? By ? C ? 0 ? By ? C ? 0

的一个方向向量为 a ? ( ? B , A ); 的一个垂直向量为 b ? ( A , B );
? By ? C ? 0
?

, y0 ?

到直线 Ax

的距离公式如何推导?

☆在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量OA=a,OB=b, 其中 a=(3,1), =(1,3), OC=λa+μb, 0≤λ≤μ≤1, b 若 且 C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( A )







☆给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹
6

→ →

角为 120°,如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB上变动, 若 OC = x OA + y OB , 其 中 x , y ∈ R , 则 x + y 的 最 大 值 是 ________. 2 ☆在 ? ABC 中, AB 三角形
? a , BC ? b ,









且 a ? b ? 0 ,则 ? ABC 是________

钝角

☆ 设 a, b, c 是 任 意 的 非 零 平 面 向 量 , 且 相 互 不 共 线 , 则 ① ? a ? b ?c ? ?c ? a ?b ? 0 ;② a ? b ? a ? b ;③ ?b ? c ?a ? ?c ? a ?b 不与 c 垂直;④ ?3 a ? 2 b ??3 a ? 2 b ? ? 9 a ? 4 b 中,是真命题的有________ ②④
2 2

a sin x ? b cos x ?

a

2

? 2 ? b ? sin x ? ?

a a
2

? cos x
2

b a
2

?b a

?b

2

? ? ? ?



?

a

2

?b

2

?sin

x cos ? ? cos x sin ? a a
2

??
b
2

2

?b

2

sin( x ? ? ),

其中 sin ? ?

?b

; cos ? ?
2

a

?b

2

☆如图,用向量方法在 ? ABC 内求一点 P, 使 AP ? BP ? CP 的值最小
2 2 2


2


? BP
2

:

AP

? CP

2

? AP
2

2

? AP ? AB

?

? ? ? AP
2

? AC
2

?

2

? AB ? AC ? AB ? AC ? ? ? 3 ? AP ? ? ? 3 3 ? ?

?

?

2

? AB

2

? AC

☆ 如图 OM // AB ,点 P 在由射线 OM,线段 OB 及 AB 延长线围成的阴影区域内(不含边 界)运动,且 OP ? x OA ? y OB ,则 x 的取值 范围是________ ,当 x ? ? 1 时,y 的取
2

值范围是________ 答案: ? ? ? , 0 ?; ? 1 , 3 ? ? ?
?2 2?

☆ 当 OA 与 OB 不共线时,P、A、B 三点共线的等价条件是存在实 数 ? 、 ? ,使 OP ? ? OA ? ? OB 且 ? ? ? ? 1
7

☆ 求 cos

?
17

cos

2? 17

cos

4? 17

cos

8? 17

(了解不要求多练)答案:
? b

1 16

☆设向量 a ,b ,c 满足 a = b =1,a
?

=- 1 , 向量 a - c 与向量 b - c 的
2

夹角为 60 ,则 c 的最大值等于 ( A

)A

2

B

3

C

2

D1

☆已知 O 为平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个动 点,点 P 满足 OP = OB
? OC 2

+? (

AB AB cos B

+

AC AC cos C

) ? ? (0, ? ? ),则

动点 P 的轨迹一定通过 ? ABC 的( B ) A 重心
? e

B 外心

C 垂心

D

内心
? a -e

☆已知 a A

,e =1 满足: 对于任意 t ? R,恒有 a - t e B
a ?

, ( C) 则

a ? e

(a -e )

C
? b

e ?

(a -e )

D

(a +e )? (a -e )

b c ☆ a , , 均为单位向量, a 且

=0, a - c ) ? ( b - c ) ? 0, a ? b - c ( 则 1 C
2

的最大值( B )A

2

-1

B

D

2

? 4 3? ☆已知平面上直线 L 的方向向量 e=?- , ?,点 ? 5 5? ? ? O(0,0)和 A(1, -2)在 L 上的射影分别是 O1 和 A1, 则

→ O1A1=λ e,其中 λ 等于( D )
A. 11 5 B.- 11 5 C.2 D.-2
1 BA BA

☆在四边形 ABCD 中, AB = DC =(1,1), 则四边形 ABCD 的面积为________。

+
3

1 BC

BC

=

3 BD

BD

,

☆在直角三角形 ABC 中,已知斜边 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角 ? 去何值时 BP
8

? CQ

的值最

大?并求出这个最大值。 ☆设 O 点在 ? ABC 内部,且有 OA +2 OB
________ 3

答案:平行

0

+3 OC = 0 ,则 ? ABC 的面积与 ? AOC 的面积比为

☆平面直角坐标系中,A(-3,4) ,B(0,m),m>0.点 C 在 ? AOB
求点 C 坐标。

的角平分线上且 OC=3,

☆已知 x

2

- 6x ? y

2

? 4y ? 12 ,则 ? ? 3x - 4y 的最大值和最小值分别是?
? tanB ? tanC ? tanAtanBta nC

42,-8

☆在锐角三角形 ABC 中,求证: tanA

☆在锐角三角形 ABC 中,求证: tanAtanBta

nC ? 3 3

9

10


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