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均值不等式教案3


课题:§3.2.3 均值不等式 授课时间:

课时:第 3 课时 授课类型:新授课

【教学目标】 1.知识与技能:了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 2.过程与方法:培养学生的探究能力以及分析问题、解决问题的能力。 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养善于思考、勤于动手的学习品质。 【教学重点】了解均值不等式在证明不等式中的简单

应用。 【教学难点】了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 【教学过程】 例 1、已知 a、b、c∈ R,求证: 不等式的左边是根式,而右边是整式,应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被 开方式转化为完全平方式,再利用不等式的性质证得原命题。

例 2、若 a, b, c ? R ? ,则

a2 b2 c2 ? ? ? a?b?c b c a


本题若用"求差法"证明,计算量较大,难以获得成功,注意到 a , b , c∈ R ,从结论的 特点出发,均值不等式,问题是不难获证的。

例 3、已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

证明:∵ a ? b ? 2ab
2 2

b2 ? c2 ? 2bc
2 2 2

c 2 ? a 2 ? 2ca

以上三式相加: 2(a ? b ? c ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca ∴ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

例 4、已知 a,b,c,d 都是正数,求证: (ab ? cd )(ac ? bd) ? 4abcd 分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同 时加强对均值不等式定理的条件的认识
王新敞
奎屯 新疆

证明:∵a,b,c,d 都是正数,∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>0 得

王新敞
奎屯

新疆

ab ? cd ? ab ? cd ? 0, 2 (ab ? cd )(ac ? bd ) ? abcd . 4

ac ? bd ? ac ? bd ? 0. 2

由不等式的性质定理 4 的推论 1,得

?

即 (ab ? cd )(ac ? bd) ? 4abcd

小结:正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 课堂练习:第 73 页习题 B 3、4 课后作业:第 73 页习题 B 5、6

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