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山东省济南市2013届高三二模文科数学试题


高三巩固性训练

文 科 数 学
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 考试时间 120 分钟, 满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂 改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高; 3 n(n11n22 ? n12 n21 ) 2 2 2 2. 统计中 ? 的公式: ? ? ,其中 n?1 ? n11 ? n21 , n?2 ? n12 ? n22 , n1? n2? n?1n?2 n1? ? n11 ? n12 , n2? ? n21 ? n22 , n ? n11 ? n21 ? n12 ? n22 .
1.锥体的体积公式: V ?

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的.

1 ? i 2013 ) ? 1? i A. ? 1 B. 1 C. ? i D. i 1 x? ? 2. 设集合 M ? ? y | y ? ( ) ? , N ? ? y | y ? 1? , 2 ? ?
1. 复数 ( 则集合M,N的关系为 A. M ? N B. M ? N C. M ? N
?

D. M ? N
?

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 2 2 4. 已知圆 x ? y ? 2 x ? my ? 4 ? 0 上两点 M、N 关于直线 2x+y=0 对称,则圆的半径为 A.9 B.3 C.2 3 D.2 5. 一空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图为

第 3 题图

-1-

第 5 题图

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6. 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z=x+2y 的最大值为 ?x ? 1 ? 0 ?
A.1 B.4 C.5 7. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 5 , a2 ? a4 ? 10 ,则 a7 ? D.6

A.64 B.32 C.16 D.128 8. 为了解疾病 A 是否与性别有关, 在一医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如下的 列联表: 患疾病 A 不患疾病 A 合计 男 女 合计
2

20 10 30

5 15 20

25 25 50

请计算出统计量 ? ,你有多大的把握认为疾病 A 与性别有关 下面的临界值表供参考:

P( ? 2 ? k )
k
A. 95% 9. 函数 y ? 2 sin(

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828 D. 99.9%

?
2

B. 99%

C. 99.5%

? 2 x) 是
B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的奇函数

10. 设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确的是 ... A.当 m ? ? 时,“ n / / ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 B.当 m ? ? 时,“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 D.当 m ? ? 时,“ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 11. 函数 y ? e
sin x ? x

? C. 最小正周期为 的奇函数 2

? 的偶函数 2

C.当 n ? ? 时,“ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 的图象大致为

A.

B.

C.

D.

-2-

12. 已知函数 f ( x) ? ?

? x 3 ,?1 ? x ? 0 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0

,若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺序

排列成一个数列,则该数列的通项公式为

A. an ?

n(n ? 1) 2

B. an ? n(n ? 1)

C. an ? n ?1

D. an ? 2n ? 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 若向量 a ? (?2,3) , b ? (4, m) , a // b ,则实数 m ?
2 2

.

14. 已知双曲线

x y 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点 F 到一条渐近线的距离为 | OF | ,点 O 2 a b 2
.

为坐标原点,则此双曲线的离心率为 15. 在 ?ABC 中, AB ? 1 , AC ? 2 , S ?ABC ?

1 ,则 BC ? 2

.

16. 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 32 ? 1 ? 3 ? 5 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 52 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9

23 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 53 ? 21? 23 ? 25 ? 27 ? 29
.

根据上述分解规律,若 m3 (m ? N * ) 的分解中最小的数是 73,则 m 的值为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin(? x ?

) ? sin(? x ? ) ? 3 cos ? x (其中 ? >0),且函数 f(x)图象的 3 3 ? 两条相邻的对称轴间的距离为 . 2
(1)求 ω 的值; (2)将函数 y ? f (x) 的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

?

?

? y ? g (x) 的图象,求函数 g (x) 在区间 [0, ] 的最大值和最小值. 2
18. (本小题满分 12 分) 为了宣传今年 10 月在济南市举行的“第十届中国艺术节”, “十艺节”筹委会举办了“十艺节” 知识有奖问答活动,随机对市民 15~65 岁的人群抽样 n 人,回答问题统计结果如下图表所示:

(1)分别求出 a,x 的值;

-3-

(2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,“十艺节”筹委会决定 在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖 的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧面 AA1C1C ? 底 面 ABC, 底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形, 侧面 AA1C1C 是菱形, ?A1 AC ? 60? ,E、F 分别是 A1C1 、AB 的中点. 求证: (1) EC ? 平面ABC ; (2)求三棱锥 A1 ? EFC 的体积. A F B
第 19 题图

A1

E B1

C1

C

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? 2 . (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 ? (?1) n 1 ? ( ?1) n an ? bn ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2n . 2 2

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? (a ? 2) x ? c 的图象如右图所示. 3

(1)求函数 y ? f (x) 的解析式; (2)若 g ?x ? ?

kf ? ?x ? ? 2ln x 在其定义域内为增函数,求实数 x
第 21 题图

k 的取值范围.

22. (本小题满分 13 分) 已知点 F1 (? 3,0) 和 F2 ( 3,0) 是椭圆 M: 经过点 ( 3 , ) . (1)求椭圆 M 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 和椭圆 M 交于 A、B 两点,且 PB ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,且椭圆 M a2 b2

1 2

3 PA ,求直线 l 的方程; 5

(3)过点 P(0,2)的直线和椭圆 M 交于 A、B 两点,点 A 关于 y 轴的对称点 C,求证:直线 CB 必过 y 轴上的定点,并求出此定点坐标.

-4-

2013 年 4 月济南市高三巩固性训练文科数学参考答案
1.D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.A 8. C 9.B 10. A 11.B 13. ? 6 14.2 15. 1 或 5 16.9 12.C

17.解: (1) f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x = 2sin(? x ? ∵函数 f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为 ∴T ?

?
3

) . ………………………………3 分

2?

? , 2
………………………………5 分 ………………………………6 分

∴? ? 2 .

?

?? .

(2)由(1)得 f ( x) ? 2sin(2 x ? ∴ g ( x) ? 2sin( x ? 由 x ? [0, ∴当 x ?

?
3

),
………………………………8 分

?
3

). ? x?

?
2

] 可得 =

?

?

? ? ? 时, g ( x) 取得最大值 g ( ) ? 2sin ? 2 ; 3 2 6 2 6 ? 5? ? ? 5? ? 1 . …………12 分 当x? = ,即 x= 时, g ( x) 取得最小值 g ( ) ? 2sin 3 6 2 6 2 5 ? 10 , 18. 解: (1)由频率表中第 1 组数据可知,第 1 组总人数为 0.5 10 ? 100 . ………………………………2 分 再结合频率分布直方图可知 n ? 0.01 ? 10

?

?

3

5 ? ?, 3 6

……………………………10 分

,即 x=

∴a=100× 0.020× 0.9=18, 10×

………………………………4 分

x?

27 ? 0.9 , 100 ? 0.03 ? 10

………………………………6 分

(2)第 2,3,4 组中回答正确的共有 54 人. ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:第 2 组: 组:

6 ? 18 ? 2 人,第 3 54

6 6 ? 27 ? 3 人,第 4 组: ? 9 ? 1 人. 54 54

………………………………8 分

设第 2 组的 2 人为 A 、 A2 ,第 3 组的 3 人为 B1 、 B2 、B3,第 4 组的 1 人为 C ,则从 6 1 人中抽 2 人所有可能的结果有:? A , A2 ? ,? A , B1 ? ,? A , B2 ? ,? A , B3 ? ,? A1 , C ? ,? A2 , B1 ? , 1 1 1 1

? A2 , B2 ? ,? A2 , B3 ? ,? A2 , C ? ,? B1, B2 ? ,? B1, B3 ? ,? B1 , C ? ,? B2 , B3 ? ,? B2 , C ? ,? B3 , C ? ,
共 15 个基本事件, ………………………………10 分 其中第 2 组至少有 1 人被抽中的有 ? A , A2 ? , A , B1 ? , A , B2 ? , A , B3 ? , A1 , C ? , A2 , B1 ? , ? 1 ? 1 ? ? ? 1 1

-5-

? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C ? 这 9 个基本事件.
∴ 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为 第

9 3 ? . ………………………………12 分 15 5

19. 证明: (1) 在平面 AA1C1C 内,作 AO ? AC ,O 为垂足. 1 因为 ?A1 AC ? 600 ,所以 AO ?

1 1 AA1 ? AC ,即 O 为 AC 的中点,所以 OC ∥ A1 E .……3 分 2 2

因而 EC ∥ AO .因为侧面 AA1C1C ⊥ 底面 ABC,交线 1 为 AC, AO ? AC ,所以 AO ? 底面 ABC. 1 1 所以 EC ? 底面 ABC. ……6 分

(2)F 到平面 A1 EC 的距离等于 B 点到平面 A1 EC 距离 BO 的一半,而 BO= 3 . ……8 分

1 1 1 1 3 1 1 3 1 所以 VA1 ? EFC ? VF ? A1EC ? SV A1EC g BO ? g A1 E gEC g ? g g 3 g ? . ……12 分 3 2 3 2 2 3 2 2 4 20.解: (1)当 n ? 1 , a1 ? 2 ; …………………………1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,∴ an ? 2an?1 . ∴{an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴an ? 2n . 由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公差为 2. 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1. (2) cn ? ?

……………2 分 ………3 分

……………………4 分 ………………………………6 分 ……………………8 分

?

2n

n为奇数

??(2n ? 1) n为偶数
n(? 4 1) ]

3 2 T2n ? 2 ? 2 ? ? ? 2n? 1? [? ? ? ? 3 7

……………10 分

?

22 n?1 ? 2 ? 2n 2 ? n . 3
2

……………………………12 分 …………………………………………2 分

21.解: (1)∵ f ? ? x ? ? ax ? a ? 2 ,

由图可知函数 f (x) 的图象过点 ? 0,3? ,且 f ? ?1? ? 0 . 得?

? c?3 , ?2a ? 2 ? 0

即?

?c ? 3 . ?a ? 1

………………………………………………4 分

∴ f ( x) ?

1 3 x ? x?3. 3

………………………………………………5 分

-6-

(2)∵g ? x ? ?

kf ? ? x ? k ? 2ln x ? kx ? ? 2ln x , ………………………………6 分 x x

k 2 kx 2 ? k ? 2 x ∴ g? ? x? ? k ? 2 ? ? . …………………………………………8 分 x x x2
∵ 函数 y ? g ( x) 的定义域为 (0,??) , …………………………………………9 分 ∴ 若函数 y ? g ( x) 在其定义域内为单调增函数,则函数 g ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 即 kx ? k ? 2 x ? 0 在区间 (0,??) 上恒成立.
2

……………………………10 分

即k ?

2x 在区间 (0,??) 上恒成立. x ?1
2

令 h( x ) ? 则 h( x) ?

2x , x ? (0,??) , x ?1
2

2x 2 ? ? 1 (当且仅当 x ? 1 时取等号). x ?1 x ? 1 x
2

…………………12 分

∴ k ? 1.

…………………………………………………………………………13 分

22.解: (1)由条件得:c= 3 ,设椭圆的方程

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ,将 ( 3 , ) 代入得 2 2 a a ?3

x2 3 1 ? y 2 ? 1 . --------4 分 ? ? 1 ,解得 a 2 ? 4 ,所以椭圆方程为 2 2 4 a 4(a ? 3)
(2)斜率不存在时, PB ?

1 PA 不适合条件;----------------------5 分 3

设直线 l 的方程 y ? kx ? 2 ,点 B(x1,y1), 点 A(x2,y2), 代入椭圆 M 的方程并整理得: (1 ? 4k ) x ? 16kx ? 12 ? 0 .
2 2

? ? (16k ) 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,得 k 2 ?
且 x1 ? x 2 ? ?

3 . 4

12 . -------------------7 分 4k 2 ? 1 3 3 3 因为 PB ? PA ,即 ( x1 , y1 ? 2) ? ( x 2 , y 2 ? 2) ,所以 x1 ? x 2 . 5 5 5 10 k 20 2 , x2 ? 2 代入上式得 x 2 ? ? ,解得 k ? ?1 , 2 4k ? 1 4k ? 1 x1 x 2 ?
所以所求直线 l 的方程: y ? ? x ? 2 . --------------------9 分

16 k , 4k 2 ? 1

(3)设过点 P(0,2)的直线 AB 方程为: y ? kx ? 2 ,点 B(x1,y1), 点 A(x2,y2), C(-x2,y2).

-7-

将直线 AB 方程代入椭圆 M:

x2 ? y 2 ? 1 ,并整理得: 4

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , ? ? (16k ) 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,得 k 2 ?
且 x1 ? x 2 ? ?

3 . 4

16 k , 4k 2 ? 1

x1 x 2 ?

12 . 4k 2 ? 1

设直线 CB 的方程为: y ? y 2 ?

y 2 ? y1 ( x ? x2 ) , ? x2 ? x1

令 x=0 得: y ? y2 ? 将 x1 ? x 2 ? ?

y2 x2 ? x2 y1 x2 y1 ? x1 y2 2kx1 x2 ? ? ? 2 .----------11 分 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
x1 x 2 ? 12 代入上式得: 4k 2 ? 1

16 k , 4k 2 ? 1

12 4k 2 ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 1 . y? ? 16k 2 2 2 4k ? 1 2k
所以直线 CB 必过 y 轴上的定点,且此定点坐标为 (0, ) . 当直线斜率不存在时,也满足过定点的条件。---------13 分

1 2

---------12 分

-8-


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