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【数学】2.2.2《双曲线的简单几何性质(2)》课件(人教A版选修1-1)


2.2.2 双曲线的 简单几何性质(2)

复习

双 曲 线
2 2

性 质 图象
y
o

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x y ? 2 ?1

2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a
x

x ? ?a
y?a




y o x

y ? ?a

b c 关于 (? a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 ? a 2 ? b2 ) 称 (0,? a) y ? ? x b

a2 0 l 的 例1 点 M ( x,y )与定点F (c,)的距离和它到定直线 : x ? c c 距离的比是常数 (c ? a ? 0),求点M的轨迹 . a l 解: d是点M到直线l的距离,则 l' y 设 d .M | MF | c 由题意知 ? d a
即 ( x ? c) 2 ? y 2 c ? . 2 a a | x? | c
F’

.

O

.

F

x

化简 (c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ) .

x2 y2 设 c 2 ? a 2 ? b2 ,则 方程化为 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) a b

? 点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、b的双曲线. 2

双曲线的第二定义:
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e ? (e ? 1),则这个点的轨迹是椭圆 . l' y a 定点是双曲线的焦点, 定直线叫做双曲线的
准线,常数e是双曲线的离心率.
x y 对于双曲线 2 ? 2 ? 1, a b a2 右焦点F2 (c,),对应的右准线方程是x ? 0 . c a2 左焦点F1 (?c,)对应的左准线方程是x ? ? . 0 c a2 焦点在y轴上的双曲线的准线方 程是:y ? ? c
2 2

l d .M

F’

.

O

.

F

x

x2 y 2 例2 已知双曲线 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的焦点F1 ? c,0)F2 (c,0), ( a b | 1 P( x0 , y0 )是双曲线右支上任意点 ,求证: PF |? a ? ex0 ,

证明: 双曲线的左准线为 ? ? ? x

| PF2 |? ?a ? ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c

l

P.

| PF1 | c ? ?由双曲线的第二定义得: 2 a a x0 ? c

F1

.

O

.F

2

x

整理得 :| PF1 |? ex0 ? a
| PF |min ? c ? a 1

由双曲线的第一定义得:|PF2 |?| PF1 | ?2a ? ex0 ? a

说明:|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径,此公式称为焦半径公式

双曲线第二定义的应用 P(x0,y0)是双曲线 (a>0, b>0)上的一点,F1,F2是左、右焦点, 则∣PF1∣=?∣PF2∣=?
当P在右支上时,∣PF1∣=ex0+a, ∣PF2∣=ex0-a 当P在左支上时,∣PF1∣=-ex0-a, ∣PF2∣=-ex0+a

y 2 x2 例3.已知双曲线 - ? 1上支有不同的三点A(x1 ,y1 ),B(x0 ,6), 12 13 C(x2 ,y2 )与焦点F1 0,5)的距离成等差数列,(1)求y1 +y2的值; ( (2)求证:线段AC的中垂线经过某一定点,并求出这个点的坐标.
解 : (2) AC的中垂线方程 : y ? 6 ?

解 : (1) y1 ? y2 ? 12

x1 ? x2 x ?x (x ? 1 2 ) y2 ? y1 2

2 x1 ? x2 x12 ? x2 即: y ? 6 ? x? (1) y2 ? y1 2( y2 ? y1 )

? y12 x12 ? - ?1 13 ? 12 13 2 2 又? 2 ,? x12 ? x2 ? ( y12 ? y2 ), 又y1 ? y2 ? 13, 2 12 y2 x2 ? - ?1 ? 12 13 ? 2 x12 ? x2 x1 ? x2 13 ? ? 13(2), 把(2)代入(1)得,y ? 6 ? x? y1 ? y2 y2 ? y1 2 25 x1 ? x2 25 即y- ? x, 则AC的中垂线恒过点(0, ). 2 y2 ? y1 2

例4.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能 沿AP,BP运到P处,PA=100m,PB=150m?APB=60? , 试证明怎样运土才能最省工.
解 : 设M是沿AP,BP到P 同样近的点. ? MA ? AP ? MB ? BP
A O B M

? MA ? MB ? BP ? AP ? 50, P
又 AB ? AP
2

? BP

2

? 2 AP BP cos 60? ? 50

7

则 M A ? MB < AB ,分界线是以A,B为焦点双曲线 x2 y2 的右支, 分界线方程是 ? ? ? 1( x ? 25), 625 3750

运土时,将双曲线左侧的土沿AP运到P处,将 双曲线右侧的土沿BP运到P处。

作业:
P : 5题,6题,测试反馈10 56


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