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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《3.1.2回归分析的基本思想及其初步应用》导学案


3.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用 课前预习学案 一、预习目标 1 了解相关系数 r 和相关指数 R2 2 了解残差分析 3 了解随机误差产生的原因 二、预习内容 1 相关系数 r

①r ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

/>? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

2

②r>0 表明两个变量 ;r<0 表明两个变量 ;r 的绝对值越接近 1,表明 两个变量相关性 , 的绝对值越接近 0,表示两个变量之间 r 当 r 的绝对值大 于 认为两个变量具有很强的相关性关系。 2 随机误差 ①在线性回归模型: y ? bx ? a ? e 中,a 和 b 为模型的 之间的 差 D(e)= ?
2

,e 是 y 与 ? ? bx ? a y ,方

,通常 e 为随机变量,称为随机误差,它的均值 E(e)= 0

②线性回归模型的完整表达式为 ?

? y ? bx ? a ? e ? E (e) ? 0, D(e) ? ?
2

随机误差 e 的方差 ? 越小,通过回
2

归直线 ? ? bx ? a 预报真实值 y 的精确度 y 3 残差分析 ①残差对于样本点 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ),?,( xn , yn ). 而言,相应于它们的随机误差为

ei =

= =

(i=1,2,3,…,n) (i=1,2,3,…,n). 称为相应于点 ( xi , yi )

? 其估算值为 ei =
的残差。

? ②残差平方和:类比样本方差估计总体方差的思想,可以用 ? =

2

=

2 ? ? ? (n>2)作为 ? 的估计量,其中 a ? y ? bx , b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? ? , Q(a, b) 称为残差

2

? ? 平方和,可以用 ? 衡量回归方程的预报精度, ? 越小,预报精度
③用图形来分析残差特性:用

2

2

R2 ? 1 ?

来刻画回归的效果。

三、提出问题 1 随机误差产生的原因是什么? 2 如何建立模型拟合效果最好? 课内探究学习 一、学习目标 1 了解相关系数和相关指数的关系. 2 理解随机误差产生的原因.3 3 会进行简单的残差分析 二、学习重难点 学习重点 1 相关系数 r 2 相关指数 R2 3 随机误差 学习难点 残差分析的应用 三、学习过程 1 相关系数 r= 2 r 的性质: 3 随机误差的定义: 4 相关指数 R2= 5 R2 的性质: 6 残差分析的步骤:

四、典型例题 例 随着我国经济的快速发展,城乡居民的审核水平不断提高,为研究某市家庭平均收入与 月平均生活支出的关系,该市统计部门随机调查 10 个家庭,得数据如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 家庭编号 x 收入(千元) y 支出千元 0.8 0.7 1.1 1.0 1.3 1.2 1.5 1.0 1.5 1.3 1.8 1.5 2.0 1.3 2.2 1.7 2.4 2.0 2.8 2.5

(1) 判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关? (2) 若二者线性相关,求回归直线方程。 思路点拨:利用散点图观察收入 x 和支出 y 是否线性相关,若呈现线性相关关系,可利用公 式来求出回归系数,然后获得回归直线方程。

解:作散点图

y 月支/千元 3 2.5 2 1.5 1 0.5

O

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 平均收入/千元

观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近,所以二者呈现线性相关关系。 (2) x ?

1 (0.8 ? 1.1 ? 1.3 ? 1.5 ? 1.5 ? 1.8 ? 2.0 ? 2.2 ? 2.4 ? 2.8) ? 1.74, 10

y?

1 (0.7 ? 1.0 ? 1.2 ? 1.0 ? 1.3 ? 1.5 ? 1.3 ? 1.7 ? 2.0 ? 2.5) ? 1.42, 10

?b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

? xi 2 ? nx
i ?1

? 0.8136, a ? 1.42 ? 1.74 ? 0.0043.

2

所以回归方程 ? ? 0.8136x ? 0.0043 y 五、当堂练习 1 山东鲁洁棉业公式的可按人员在 7 块并排形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行 施化肥量 x 对产量 y 影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg) 施化肥量 x 产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

(1) 画出散点图; (2) 判断是否具有相关关系 思路点拨 (1)散点图如图所示

y 棉花产量

500 450 400 350 300

O

10

20

30

40

50

施化肥量

x

(2)由散点图可知,各组数据对应点大致都在一条直线附近,所以施化肥量 x 与产量 y 具 有线性相关关系. 六、课后练习与提高 1 在对两个变量 x、y 进行线性回归分析时有下列步骤: ①对所求出的回归方程作出解释;②收集数据 ( xi , yi ), i ? 1, 2,?, n ;③求线性回归方程;④ 求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点图。如果根据可靠性要求能够作出变量 x、y 具 有线性相关结论,则在下列操作顺序中正确的是( ) A ①②⑤③④ B ③②④⑤① C ②④③①⑤ D ②⑤④③① 2 三点(3,10)(7,20),(11,24)的线性回归方程为( , ) A ? ? 1.75x ? 5.75 y B ? ? 1.75x ? 5.75 C ? ? ?1.75x ? 5.75 y y D ? ? ?1.75x ? 5.75 y )

3 对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程 ? ? a ? bx 中,回归系数 b ( y A.可以大于 0 B 大于 0 C 能等于 0 D 只能小于 0

4 废品率 x 0 0 和每吨生铁成本 y(元)之间的回归直线方程为 ? ? 256 ? 2x ,表明( y



A 废品率每增加 1 0 0 ,生铁成本增加 258 元; B 废品率每增加 1 0 0 ,生铁成本增加 2 元; C 废品率每增加 1 0 0 ,生铁成本每吨增加 2 元;D 废品率不变,生铁成本增加 256 元;


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