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三角函数的图像与性质(一轮复习)


[备考方向要明了] 考什么

1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角 函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调 性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切
? π π? 函数在区间?-2 ,2 ?内的单调性. ? ?

怎么考
1.以选

择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周 期性及对称性.如2012年新课标全国T9等.

2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值
问题.如2012年湖南T6等. 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中.如2012年北 京T15等.

[归纳· 知识整合]
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

函数
定义域 值域

y=sin x R

y=cos x
R

y=tan x
? ? π ?x?x≠ +kπ,k∈Z } ? 2 ? ?

[-1,1]

[-1,1]

R

递增区间: ? π π? 递增区间: ? ? 递增区间: ?2kπ- ,2kπ+ ? 2 2? [2kπ-π,2kπ] ? ? π π? ? (k∈Z) 递减区间: ?kπ- ,kπ+ ? 单调性 (k∈Z) 2 2? ? ? 递减区间: ? π 3 ? [2kπ ,2kπ + ? ? (k∈Z) ?2kπ+ ,2kπ+ π? 2 2 ? ? π ] (k∈Z) (k∈Z)

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

x= 2kπ+π(k∈Z) x= 2kπ(k∈Z) 2 最 时,ymax=1 时,ymax=1 x= 值 无最值 π x= 2kπ- (k∈Z) 2kπ+π(k∈Z) 2 时,ymin=-1 时,ymin=-1

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

函数

y=sin x 对称中心

y=cos x 对称中心 ? π ? ?kπ+ ,0?, 2 ? ? k∈Z

y=tan x 对称中心
?kπ ? ? ,0?(k∈Z) ?2 ?

对称 性

(kπ,0),k∈Z

对称轴 l: 对称轴 l: π x=kπ+2,k∈Z x=kπ,k∈Z

无对称轴

周期





π

[探究] 1.正切函数y=tan x在定义域内是增函数吗?
提示:不是.正切函数 y=tan x 在每一个区间
? π π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不 2 2? ?

是单调函数,故不是增函数. 2.当函数y=Asin(ωx+φ)分别为奇函数和偶函数时,

φ的取值是什么?对于函数y=Acos(ωx+φ)呢?
提示:函数 y=Asin(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时是奇函数,当 π φ=kπ+2(k∈Z)时是偶函数;函数 y=Acos(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈ π Z)时是偶函数,当 φ=kπ+2(k∈Z)时是奇函数.

[自测· 牛刀小试]
1.(教材习题改编)设函数
? π? f(x)=sin?2x-2?,x∈R,则 ? ?

f(x)是 )

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数 ? π? 解析:∵f(x)=sin?2x-2?=-cos 2x, ? ?

(

∴f(x)是最小正周期为 π 的偶函数.
答案:B

2.(教材习题改编)函数 y=4sin x,x∈[-π,π]的单调性是(
A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数
? π π? ? ? π? ?π ?- , ?上是增函数,在?-π,- ?和? ,π?上都是减 B.在 2 2 2? ?2 ? ? ? ?

)

函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数
?π ? ? ? π π? π? ? ,π?∪?-π,- ?上是增函数,在?- , ?上是减函数 D.在 2 2? ? ? ? ? 2 2?

解析:由函数 y=4sin x,x∈[-π,π]的图象可知,该函数在
? π π? ? ? π? ?π ?- , ?上是增函数,在?-π,- ?和? ,π?上是减函数. 2? ?2 ? 2 2? ? ?

答案:B

3.函数 y=

1 cos x-2的定义域为

(

)

? π π? A.?-3,3? ? ? ? π π? B.?kπ-3,kπ+3?,k∈Z ? ? ? π π? C.?2kπ-3,2kπ+3?,k∈Z ? ?

D.R

1 1 解析:∵cosx-2≥0,得 cos x≥2, π π ∴2kπ-3≤x≤2kπ+3,k∈Z.

答案:C

4.(教材习题改编)函数 f(x)= 正周期为________.
解析:函数 f(x)= 2π T= 1 =4π. 2

?x π? 3sin?2-4?,x∈R ? ?

的最小

?x π? 3sin?2-4?的最小正周期为 ? ?

答案: 4π

5.函数

? π? y=3-2cos?x+4?的最大值为____________,此时 ? ?

x=____________.

解析:函数

? π? y=3-2cos?x+4?的最大值为 ? ?

3+2=5,此

π 3π 时 x+4=π+2kπ,即 x= 4 +2kπ(k∈Z). 3π 答案:5 4 +2kπ(k∈Z)

三角函数的定义域和值域
[例 1] 义域; (1)求函数 y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x的定

(2)求函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域.

[自主解答]

(1)要使函数有意义,必须有

1 ? ?2sin x-1>0, ?sin x>2, ? ? 即? ?1-2cos x≥0, ? ?cos x≤1, 2 ? 5π ?π +2kπ<x< 6 +2kπ, ?6 解得? ?π+2kπ≤x≤5π+2kπ 3 ?3

(k∈Z),

π 5π 即3+2kπ≤x< 6 +2kπ(k∈Z).
?π ? 5π 故所求函数的定义域为?3+2kπ, 6 +2kπ?(k∈Z). ? ?

(2)y=2cos2x+5sin x-4 =2(1-sin2x)+5sin x-4 =-2sin2x+5sin x-2
? =-2?sin ?

5?2 9 x-4? + . 8 ?

故当 sin x=1 时,ymax=1, 当 sin x=-1 时,ymin=-9, 故 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为[-9,1].

—————

————————————

1.三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常 借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2.三角函数值域的求法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:(1) 形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的 形式, 再求最值(值域); (2)形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数, 可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值域(最值);(3)形如 y =asin xcos x+b(sin x± x)+c 的三角函数, cos 可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值).
——————————————————————————

1.(1)求函数 y=

2+log 1 x+ tan x的定义域;
2

(2)设 a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos
? π? f ?-3 ?=f(0),求函数 ? ?

2?π

?

? -x?满足 2 ? ?

?π 11π? f(x)在 ?4, 24 ? 上的最大值和最小 ? ?

值.

解:(1)要使函数有意义 ?2+log 1 x≥0, ? 2 ? ?x>0, 则? ?tan x≥0, ? π ?x≠kπ+2?k∈Z?, ? 利用数轴可得:

?0<x≤4, ? 即? π ?kπ≤x<kπ+2?k∈Z?. ?

? ? π ? ? ?x|0<x< 或π≤x≤4?. 所以函数的定义域是? 2 ? ? ?

(2)f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos
2 2

2

?π ? ? -x? ?2 ?

a =asin xcos x-cos x+sin x=2sin 2x-cos 2x. 由于
? π? f?-3?=f(0), ? ?

? 2π? a ? 2π? ?- ?-cos?- ?=-1, 所以2· sin 3? 3? ? ?

3 1 即- 4 a+2=-1,得 a=2 3. 于是 f(x)= 3sin 2x-cos
? π? 2x=2sin?2x-6?. ? ?

由于

?π 11π? x∈?4, 24 ?,所以 ? ?

π ?π 3π? 2x-6∈?3, 4 ?, ? ?

?π? π π π 因此当 2x-6=2即 x=3时 f(x)取得最大值 f?3?=2, ? ? ?11π? π 3π 11π 当 2x-6= 4 即 x= 24 时 f(x)取得最小值 f? 24 ?= 2. ? ?

三角函数的单调性
[例 2] 求下列函数的单调递减区间:

? π? (1)y=2sin?x-4?; ? ?

?π ? (2)y=tan?3-2x?. ? ?

π π 3π [自主解答] (1)由 2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 ,k∈Z, 3π 7π 得 2kπ+ 4 ≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z. 故函数
? π? y=2sin?x-4?的单调减区间为 ? ?

? 3π 7π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 4 4? ?

(2)把函数

?π ? y=tan?3-2x?变为 ? ?

? π? y=-tan?2x-3 ?. ? ?

π π π 由 kπ- <2x- <kπ+ ,k∈Z, 2 3 2

π 5π 得 kπ-6<2x<kπ+ 6 ,k∈Z, kπ π kπ 5π 即 2 -12<x< 2 +12,k∈Z. 故函数
?π ? y=tan?3-2x?的单调减区间为 ? ?

?kπ π kπ 5π? ? - , + ?(k∈Z). 12 2 12? ?2

? ? π?? 若将本例(1)改为“y=2?sin?x-4??”,如何求解? ? ? ??

解:画出函数

? ? π? ? y=2?sin?x- 4??的图象,易知其单调递 ? ? ??

? 3π 5π? 减区间为?kπ+ 4 ,kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ?

—————

————————————

1.三角函数单调区间的求法 求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中 A≠0, ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解 答.列不等式的原则是:①把“ωx+φ(ω>0)”视为一个 “整体”; ②A>0(A<0)时, 所列不等式的方向与 y=sin x(x ∈R),y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同 (反).对于 y=Atan(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数),其周期 T=
? π π? π ,单调区间利用 ωx+φ∈?kπ-2,kπ+2 ?,解出 x 的取 |ω| ? ?

值范围,即为其单调区间. ————————————————————————

————— ———————————— 2.复合函数单调区间的求法
对于复合函数y=f(v),v=φ(x),其单调性判定方法 是:若y=f(v)和v=φ(x)同为增(减)函数时,y=f(φ(x))为增 函数;若y=f(v)和v=φ(x)一增一减时,y=f(φ(x))为减函 数. 3.含绝对值的三角函数单调区间的求法

求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要 画出图象,结合图象判定. ————————————————————————

2.若函数 f(x)=sin

? π? ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增,在 ? ?

?π π? 区间?3,2?上单调递减,则 ? ?

ω 等于

(

)

A.3 3 C.2

B.2 2 D.3

解析:∵y=sin ωx(ω>0)过原点, π π ∴当 0≤ωx≤2,即 0≤x≤2ω时. y=sin ωx 是增函数; π 3π π 3π 当2≤ωx≤ 2 ,即2ω≤x≤2ω时, y=sin ωx 是减函数. 由 y=sin
? π? ωx(ω>0)在?0,3?上单调递增, ? ?

?π π? π π ? , ?上单调递减知, 在3 2 2ω=3,故 ? ?

3 ω=2. 答案:C

三角函数的周期性、奇偶性与对称性
[例 3] (1)(2012· 福建高考)函数
? π? f(x)=sin?x-4?的图象的 ? ?

一条对称轴是
π A.x=4 π B.x=2 π C.x=-4

(

)

π (2)(2012· 新课标全国卷)已知 ω>0,0<φ<π, 直线 x=4和 x 5π = 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则 φ= ( )

π D.x=-2

π A.4

π B.3

π C.2

3π D. 4

x+φ (3)(2012· 大纲全国卷)若函数 f(x)=sin 3 (φ∈[0,2π]) 是偶函数,则 φ= ( )

π A.2
[自主解答]

2π B. 3

3π C. 2

5π D. 3

(1)法一:(图象特征)

∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点, π π 3π 故令 x-4=kπ+2,k∈Z,∴x=kπ+ 4 ,k∈Z.取 k=- π 1,则 x=-4.

法二:(验证法) ?π π? π π ? - ?=0,不合题意,排除 A;x= 时,y x= 4时,y=sin 4 4 2 ? ? ?π π? ? π π? 2 π ? - ?= ,不合题意,排除 B;x=- 时,y=sin?- - ? =sin 2 4 2 4 ? ? ? 4 4? ? π π? π =-1,符合题意,C 项正确;而 x=-2时,y=sin?-2-4?=- ? ? 2 2 ,不合题意,故 D 项也不正确. π 5π (2)由于直线 x=4和 x= 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条
相邻的对称轴,所以函数 f(x)的最小正周期 T=2π,所以 ω=1, π π 所以4+φ=kπ+2(k∈Z). π 又 0<φ<π,所以 φ=4.

(3)若f(x)为偶函数,则f(0)=± 1, 即sin φ φ π =± 1,∴ =kπ+ (k∈Z). 3 3 2

3π ∴φ=3kπ+ (k∈Z).只有C项符合. 2

[答案] (1)C

(2)A

(3)C

本例(1)中函数f(x)的对称中心是什么?
π π 提示:令 x-4=kπ,k∈Z,则 x=4+kπ,k∈Z. 故函数
? ?π ? π? f(x)=sin?x-4?的对称中心为?4+kπ,0?(k∈Z). ? ? ? ?

—————

————————————

函数f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性及对称性
(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x) 取得最大或最小值. 若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.

(2)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象 的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在 判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心 时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
——————————————————————————

3.(1)函数

? π? y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 ? ?

π x=12,则 φ

=________.

(2)函数 y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图 形,则 φ=________.

π 解析:(1)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+ 2 (k∈Z),即 π π π 3×12+φ=kπ+2(k∈Z),得 φ=kπ+4(k∈Z). π π 又|φ|<2,所以 k=0,故 φ=4.

π (2)由题意得,y=cos(3x+φ)是奇函数,故 φ=kπ+2,(k ∈Z).

π π 答案:(1)4 (2)kπ+2,k∈Z

?2个性质——周期性与奇偶性

(1)周期性 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 2π π ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω|
(2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx,而偶函数一般可化为 y=Acos ωx+b 的形式.

?3种方法——求三角函数值域(或最值)的方法

(1)利用sin x、cos x的有界性;

(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式
逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的 值域; (3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函 数在区间上的值域(最值)问题.
?4个注意点——研究三角函数性质应注意的问题

(1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质, 求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象.

(2)闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础 上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值

的影响.
(3)利用换元法求复合函数的单调性时,要注意x系 数的正负. (4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的 有界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|≤1),则y =(t-2)2+1≥1,解法错误.

创新交汇——与三角函数性质有关的交汇问题 1.高考对三角函数的图象与性质的考查不但有客观 题,还有主观题,客观题常以选择题的形式出现,往往结 合集合、数列、函数与导数等考查三角函数的相关性质; 解答题主要与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命 题. 2.解决此类交汇问题的关键有以下两点: (1)熟记三角函数的性质,主要为定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性、对称性等及有关结论. (2)要善于利用函数图象的形象性和直观性分析解决 问题.

[典例]

π 2π nπ (2012· 上海高考)若 Sn=sin7+sin 7 +?+sin 7 (n ( )

∈N*),则在 S1,S2,?,S100 中,正数的个数是

A.16
[解析]

B.72

C.86

D.100

πx ∵函数 f(x)=sin 7 的最小正周期为 T=14,

π 2 6 7 8 又 sin7>0,sin7π>0,?,sin7π>0,sin7π=0,sin7π<0,?, 13 14 sin 7 π<0,sin 7 π=0, ∴在 S1,S2,S3,?,S13,S14 中,只有 S13=S14=0,其余均大 于 0. 由周期性可知,在 S1,S2,?,S100 中共有 14 个 0,其余都大于 0,即共有 86 个正数. [答案] C

[名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)本题表面是考查数列求和问题,其实质考查了三角函 πx 数 f(x)=sin 7 的周期性. (2)本题巧妙将三角函数值的符号、三角函数的诱导公 式、三角函数的周期性及数列求和融为一体,考查了考生的 数据处理能力、 推理论证能力及转化与化归能力, 难度较大.

2.解决本题的关键有以下两点 πx (1)正确构造函数 f(x)=sin 7 ,并求得其周期; (2)正确利用诱导公式求出一个周期内 S1,S2,?,S14 中 是 0 的个数.

? ?π ? π? 1.(2013· 郑州模拟)已知曲线y=2sin ?x+4? cos ?4-x? 与直线 ? ? ? ?

[变式训练]

1 y= 相交,若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1, 2 ???? ? P2,P3,?,则| P1 P5 |等于 ( )
A.π B.2π C.3π D.4π

解析:注意到

? ? ? π? ?π π? 2 y=2sin?x+4?cos?4-x?=2sin ?x+4?=1-cos ? ? ? ? ? ?

? π? 2?x+4?=1+sin ? ?

2π 2x, 又函数 y=1+sin 2x 的最小正周期是 2 ???? ? =π,结合函数 y=1+sin 2x 的图象(如图所示)可知,| P1 P5 | =2π.

答案:B

2.若三角函数 f(x)的部分图象如图,则函数 f(x)的解析式,以及 S =f(1)+f(2)+?+f(2 012)的值分别为 ( )

1 πx A.f(x)=2sin 2 +1,S=2 012 1 πx B.f(x)=2cos 2 +1,S=2 012 1 πx C.f(x)=2sin 2 +1,S=2 012.5 1 πx D.f(x)=2cos 2 +1,S=2 012.5

解析: 根据已知图象, 可设 f(x)=Asin(ωx+φ)+1(ω>0, A>0). ∵ f?x?最大值-f?x?最小值 1.5-0.5 1 2π π 由 T=4 得 ω =4,∴ω= .A= = = ,又 2 2 2 2 1 f(0)= sin φ+1=1, 2 1 πx ∴sin φ=0 得,φ=0,∴f(x)= sin +1. 2 2 又 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.5+1+0.5+1=4, ∴S=f(1)+f(2)+?+f(2012)=503× [f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=503×4=2 012.

答案:A

1.求下列函数的定义域: (1)y=lg sin(cos x);(2)y= sin x-cos x.
解:(1)要使函数有意义,必须使sin(cos x)>0. ∵-1≤cos x≤1,∴0<cos x≤1. 利用单位圆中的余弦线OM, 依题意知0<OM≤1,∴OM只能在x轴的正半轴上,
? ? π ? π ?x?- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z ∴其定义域为 2 ? ? 2 ? ? ? ?. ? ?

(2)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0. 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的 图象,如图所示. π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为4, 5π 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π,所以定义域为
? ?π ? 5π ?x? +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z ?. 4 ? ?4 ?

2.写出下列函数的单调区间及周期:
? π? ?-2x+ ?;(2)y=|tan (1)y=sin 3? ?

x|.

? π? 解:(1)y=-sin?2x- 3?, ? ?

它的增区间是 它的减区间是

? π? y=sin?2x-3?的减区间, ? ? ? π? y=sin?2x-3?的增区间. ? ?

π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.

π π 3π 由 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+ 2 ,k∈Z, 5π 11π 得 kπ+12≤x≤kπ+ 12 ,k∈Z. ? π 5π? ?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z; 故所给函数的减区间为 12 12? ? ? 5π 11π? 增区间为?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z. ? ? 2π 最小正周期 T= 2 =π.

(2)观察图象可知,y=|tan

? π? x|的增区间是?kπ,kπ+2?,k∈Z, ? ?

? ? π 减区间是?kπ-2,kπ?,k∈Z.最小正周期:T=π. ? ?

3.求下列函数的值域: cos x+5 (1)y= ; (2)y=sin2x-4sin x+5. 2-cos x
cos x+5 2y-5 解:(1)由 y= ,得 cos x= . 2-cos x y+1 因为-1≤cos x≤1, 2y-5 4 所以-1≤ ≤1,解得3≤y≤6. y+1
?4 ? 因此,原函数的值域为?3,6?. ? ?

(2)y=sin2x-4sin x+5=(sinx-2)2+1. 因为-1≤sin x≤1,所以 2≤y≤10. 因此,原函数的值域为[2,10].

4.设函数

? π? f(x)=3sin?ωx+6?,ω>0,x∈(-∞,+∞),且 ? ?

π 以2为最小正周期.

(1)求 f(0);

(2)求 f(x)的解析式;

(3)已知

?α π? 9 f?4+12?=5,求 ? ?

sin α 的值.

π 3 解:(1)由题设可知 f(0)=3sin6=2. π (2)∵f(x)的最小正周期为2,
? π? 2π ∴ω= π =4.∴f(x)=3sin?4x+6?. ? ? 2

?α ? π? π π? (3)∵f?4+12?=3sin?α+3+6?=3cos ? ? ? ?

9 α=5,

3 4 2 ∴cos α=5,∴sin α=± 1-cos α=± . 5


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一轮复习三角函数的图象与性质(教室版)

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