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济南市 山东省济南市2013届高三一模数学试题(文)


山东省济南市 2013 届高三高考模拟考试 文科数学试题 (2013 济南一模)
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 考试时间 120 分钟,满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷

每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能 使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 1.锥体的体积公式: V ? 2.方差 s ?
2

1 3

S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高;
2 2

1 n

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ], 其中 x 为 x 1 , x 2 , ? , x n 的平均数.
2

第 I 卷(选择题
项是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一

1. 已知全集 U ? { 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ,集合 A ? {1, 2} , B ? { 0 , 2 , 5 } ,则集合 ( C U A ) ? B ? A.{3,4,6} B.{3,5} C.{0,5} D.{0,2,4}

2. 设复数 z ? ( 3 ? 4 i )( 1 ? 2 i ) ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 A. ? 2 3. 若 a ? 3
0 .6

B. 2
3 , b ? log 3 0 . 2 , c ? 0 . 6 ,则

C. ? 2 i

D. 2 i

A. a ? c ? b
2

B. a ? b ? c

C. c ? b ? a

D. b ? c ? a

4. 设 x ? R ,则“ x ? 3 x ? 0 ”是“ x ? 4 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A.2 B.3 C.4 D.5

第 1 页 共 10 页

6. 已知两条直线 l1 : ( a ? 1 ) x ? 2 y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? ay ? 3 ? 0 平行,则 a ? A.-1 C.0 或-2
2

B.2 D.-1 或 2

7. 若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则该抛物线的准线方程为 A. x ? ? 2 B. x ? 4
y ? ?4

C. x ? ? 8

D.

8. 等差数列 { a n } 中, a 2 ? a 8 ? 4 ,则它的前 9 项和 S 9 ? A.9 D.72 9. 已 知 函 数 f ( x ) ? 2 sin( ? x ?
? ,则 f ( x ) 的单调递增区间

B.18
?
6

C



36

)( ? ? 0 ) 的 最 小 正 周 期 为

A. [ k ? ? C. [ k ? ?

?
3

, k? ? , k? ?
1

5? 6

]( k ? Z )

B. [ 2 k ? ? D. [ k ? ?
?

?
6

,2 k ? ?

?
3

]( k ? Z )

?
3

?
6

]( k ? Z )

, k? ?

?
3

]( k ? Z )

6

10. 函数 y ? x ? x 3 的图象大致为

11. 一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为 A.
20 3

B.

40 3

C. 20

D. 40 12. 若函数 f ( x ) ? 2 sin(
?
6 x?

?
3

)( ? 2 ? x ? 10 ) 的图

象与 x 轴交于点 A, 过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、 两点, C 则
( OB ? OC ) ? OA ?
第 11 题图

A.-32 D.32

B.-16

C.16

第 2 页 共 10 页

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 为了均衡教育资源, 加大对偏远地区的教育投入, 调查了某地若干户家庭的年收入 x (单 位:万元)和年教育支出 y(单位:万元) ,调查显示年收入 x 与年教育支出 y 具有线
? 性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y ? 0 . 15 x ? 0 . 2 .由回归直线

方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年教育支出平均增加____________万元.
?x ? y ? 5 ? 0 ? 14. 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值是 ?x ? 3 ?

.

15. 下列命题正确的序号为

.

①函数 y ? ln( 3 ? x ) 的定义域为 ( ?? , 3 ] ; ②定义在 [ a , b ] 上的偶函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 5 ) x ? b 最小值为 5 ;
2

③若命题 p : 对 ? x ? R ,都有 x ? x ? 2 ? 0 ,则命题 ? p : ? x ? R ,有 x ? x ? 2 ? 0 ;
2 2

④若 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 4 ,则
x
2

1 a

?

1 b

的最小值为 1 .

16. 若双曲线

?

y

2

? 1 渐近线上的一个动点 P 总在平面区域 ( x ? m )

2

? y

2

? 16 内,则

9

16

实数 m 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中, a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边, 边 且满足 b c o s C ? (3 a ? c ) c o s B . (1)求 cos B ; (2)若 B C ? B A ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值.
???? ??? ?

第 3 页 共 10 页

18. (本小题满分 12 分) 以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 A 学习 的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书馆 B 学习的次数. 乙 组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表示. (1)如果 x =7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数 和方差; (2)如果 x =9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选 出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数 和大于 20 的概率.

甲组 9 1 2 0 1
第 18 题图

乙组 x 8 2 9

19. (本小题满分 12 分) 正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a 4 ? 16 ,且 a 2 , a 3 的等差中项为 S 2 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 b n ?
n a 2 n ?1

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 12 分) 已知在如图的多面体中, A E ⊥底面 B E F C , A D // E F // B C , A
BE ? AD ? EF ? 1 2 B C , G 是 B C 的中点.
D

(1)求证: A B // 平面 D E G ;
F

(2)求证: E G ? 平面 B D F .
B

E
C

G

第 20 题图

第 4 页 共 10 页

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F1 和 F2, 4 个点 M(-a,b)、 由 N(a,b)、

F2 和 F1 组成了一个高为 3 ,面积为 3 3 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1 的直线和椭圆交于两点 A、B,求 ? F2AB 面积的最大值.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ( a x ? x ? 1) e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(1)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1 )) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (3)若 a ? ? 1 ,函数 f ( x ) 的图象与函数 g ( x ) ? 交点,求实数 m 的取值范围.
1 3 x ?
3

1 2

x ? m 的图象有 3 个不同的
2

第 5 页 共 10 页

2013 年 3 月济南市高考模拟考试文科数学参考答案
1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D 13.0.15 14. ? 21 15.②③④ 16. ( ?? , ? 5 ] ? [ 5 , ?? )

17. 解: (1)由正弦定理和 b c o s C ? (3 a ? c ) c o s B ,得
s in B c o s C ? (3 s in A ? s in C ) c o s B ,

…………………2 分

化简,得 sin B c o s C ? sin C c o s B ? 3 sin A c o s B 即 sin B ? C )? 3 sin A co s B , ( 故 sin A ? 3 sin A c o s B . 所以 c o s B =
1

…………………4 分

.

…………………6 分 所以 BC ? BA ? | BC | ? | BA | ? cos B ? 4 (1) …………………8 分

3 ???? ??? ? (2)因为 B C ? B A ? 4 ,
???? ??? ?

所以 B C ? B A ? 1 2 ,即 a c ? 1 2 .
a ? c ?b
2 2 2

又因为 c o s B =

?

1 3

,

2ac

整理得, a ? c ? 4 0 .
2 2

(2)
2

…………………10 分

?a ? c ? 40 ?a ? 2 ?a ? 6 联立(1) (2) ? ,解得 ? 或? . ?c ? 6 ?c ? 2 ?ac ? 12
2

…………………12 分

18. 解(1)当 x=7 时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:7,8,9,12,所以 平均数为 x ? 方差为 s ?
2

7 ? 8 ? 9 ? 12 4

? 9;
2 2 2

…………………3 分
7 2 .

1 4

[( 7 ? 9 ) ? ( 8 ? 9 ) ? ( 9 ? 9 ) ? (12 ? 9 ) ] ?
2

……………6 分

(2)记甲组 3 名同学为 A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数依次为 9,12,11;乙 组 4 名同学为 B1,B2,B3,B4,他们去图书馆学习次数依次为 9,8,9,12;从 学习次数大于 8 的学生中人选两名学生,所有可能的结果有 15 个,它们是: A1A2,A1A3,A1B1,A1B3,A1B4,A2A3,A2B1,A2B3,A2B4,A3B1,A3B3,A3B4, B1 B3,B1B4,B3B4. …………………9 分

用 C 表示: “选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20”这一事件, 则 C 中的结果有 5 个,它们是:A1B4,A2B4,A2B3,A2B1,A3B4, 故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 概率为

第 6 页 共 10 页

P (C ) ?

5 15

?

1 3

.

…………………12 分

19. 解: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ( q ? 0 ) ,
? a 1 q ? 16 ? a1 ? 2 ? 由题意,得 ? ,解得 ? . 2 ? a1q ? a1q ? 2 ( a1 ? a1q ) ?q ? 2 ?
3

…………………4 分

所以 an ? 2 n . (2)因为 b n ?
1 2
n a 2 n ?1 ? 2 n
2 n ?1

…………………5 分


n 2 ?? ? 1
2 n ?1

…………………6 分

所以 T n ?
1 4 Tn ? 3 4

?

2 2
3

? ? 1 2
3

3 2
5

? ? 1 2
5

4 2
7

?? ?


? 2 ? 2 n
2 n ?1

1 2 1 2 ?
3

2 2 ?
5

3 2 ?
7

n ?1 2
2 n ?1



…………………8 分

所以 T n ?

2

7

?? ? 2
2 3

1
2 n ?1

n
2 n ?1

1 ? 2

(1 ? 1?

1 4 1 4
n

) ? 2

n
2 n ?1

?

?

4 ? 3n 3?2
2 n ?1

…………………11 分

9?2 20. 证明: (1)∵ A D / / E F , E F / / B C , 9

故Tn ?

8

?

16 ? 12n
2 n ?1

.

…………………12 分

∴ AD / / BC .

………………1 分
A
D

又∵ B C ? 2 A D , G 是 B C 的中点, ∴ A D / /B G , ………………2 分

∴四边形 A D G B 是平行四边形,
F

∴ AB / / DG .

………………4 分
B

E
C

∵ A B ? 平面 D E G , D G ? 平面 D E G , ∴ A B / / 平面 D E G . ………5 分

G

(2)连结 G F ,四边形 A D F E 是矩形, ∵ D F // A E , A E ⊥底面 B E F C , ∴ D F ? 平面 B C F E , E G ? 平面 B C F E , ∴ D F ? E G .…………8 分 ∵ E F // B G , E F ? B E , ∴四边形 B G F E 为菱形,∴ B F ? E G , …………………11 分

又 B F I D F ? F , B F ? 平面 B F D , D F ? 平面 B F D , ∴ E G ? 平面 B D F .
第 7 页 共 10 页

…………………12 分

21. 解: (1)由条件,得 b= 3 ,且 所以 a+c=3. 又a ? c
2 2

2a ? 2c 2

3 ? 3 3 ,

…………………2 分

? 3 ,解得 a=2,c=1.
2 2

所以椭圆的方程

x

?

y

? 1.

…………………4 分

4

3

(2)显然,直线的斜率不能为 0,设直线方程为 x=my-1,直线与椭圆交于 A(x1,y1), B(x2,y2).
?x y ? ?1 ? 3 ? 4 ?x ? my ?1 ?
2 2

联立方程

,消去 x 得,

(3 m

2

? 4) y

2

? 6 my ? 9 ? 0 ,

因为直线过椭圆内的点,无论 m 为何值,直线和椭圆总相交.
? y1 ? y 2 ?
S ?F

6m 3m
2

? 4

, y1 y 2 ? ?

9 3m
2

? 4

.

…………………6 分 ……………………8 分
m (m
2 2

2

AB

=

1 2

F1 F 2 y 1 ? y 2 ? y 1 ? y 2
2 2

?

( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ? 12
2

m (3 m

?1 ? 4)
2

? 4

?1 1 3 )
2

?1?

? 4 m
2

1 ?1? 2 3
2

? 9(m

1
2

, ? 1)
1 9t

…………………10 分

令 t ? m ? 1 ? 1 ,设 y ? t ? 调递增 所以
S ?F

,易知 t ? ( 0 , ) 时,函数单调递减, t ? ( , ?? ) 函数单
3 3

1

1

当 t= m ? 1 =1 即 m=0 时, y min ?
2

10 9

2

AB

取最大值 3.
2 x

…………………12 分

22. 解: (1)因为 f ( x ) ? ( x ? x ? 1 ) e ,
2 x 2 x x 所以 f ? ( x ) ? ( 2 x ? 1 ) e ? ( x ? x ? 1 ) e ? ( x ? 3 x ) e ,

………………1 分 ………………2 分

所以曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1 )) 处的切线斜率为 k ? f ? (1 ) ? 4 e .

第 8 页 共 10 页

又因为 f (1 ) ? e , 所以所求切线方程为 y ? e ? 4 e ( x ? 1 ) ,即 4 ex ? y ? 3 e ? 0 .
x (2) f ? ( x ) ? ( 2 ax ? 1 ) e ? ( ax 2 ? x ? 1 ) e x ? [ ax 2 ? ( 2 a ? 1 ) x ] e x ,

………………3 分

①若 ?

1 2

? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 2a ? 1 a

2a ? 1 a

时, f ? ( x ) ? 0 ;

当0 ? x ? ?

时, f ? ( x ) ? 0 .
2a ? 1 a , ?? ) ;

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?? , 0 ] , [ ? 单调递增区间为 [ 0 , ? ②若 a ? ?
1 2

2a ? 1 a

].
2 x

…………………5 分
? 0 ,所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?? , ?? ) .

, f ?( x ) ? ?

1 2

x e

…………………6 分 ③若 a ? ? 当?
2a ? 1 a
1 2

,当 x ? ?

2a ? 1 a

或 x ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 ;

? x ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 .
2a ? 1 a ] , [ 0 , ?? ) ;

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?? , ? 单调递增区间为 [ ?
2a ? 1 a ,0 ] .
2

…………………8 分
x

(3)由(2)知, f ( x ) ? ( ? x ? x ? 1) e 在 ( ?? , ? 1 ] 上单调递减,在 [ ? 1 , 0 ] 单调递增, 在 [ 0 , ?? ) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极小值 f ( ? 1 ) ? ?
3 e

,在 x ? 0 处取得极大值 f ( 0 ) ? ? 1 . …………………10 分

由 g (x) ?

1 3

x ?
3

1 2

x ? m ,得 g ? ( x ) ? x ? x .
2
2

当 x ? ? 1 或 x ? 0 时, g ? ( x ) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 时, g ? ( x ) ? 0 . 所以 g ( x ) 在 ( ?? , ? 1 ] 上单调递增,在 [ ? 1 , 0 ] 单调递减,在 [ 0 , ?? ) 上单调递增. 故 g ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极大值 g ( ? 1 ) ?
1 6 ? m ,在 x ? 0 处取得极小值 g ( 0 ) ? m .

…………………12 分 因为函数 f ( x ) 与函数 g ( x ) 的图象有 3 个不同的交点,

第 9 页 共 10 页

1 ? 3 ? m ? f ( ? 1) ? g ( ? 1) ?? ? 所以 ? ,即 ? e 6 . ? f (0 ) ? g (0 ) ?? 1 ? m ?

所以 ?

3 e

?

1 6

? m ? ? 1 .…………14 分

第 10 页 共 10 页


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