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【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选过关检测3


过关检测(三) (时间:120 分钟 满分:160 分)

一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 2.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a2+a10=4,则 S11 的值为________. 3.(2011· 南京学情分析)若不等式 x2-2x

+3≤a2-2a-1 在 R 上的解集是?,则 实数 a 的取值范围是________. 4.已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是 ________. 5.已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(x· y)= xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足 an=f(2n)(n∈N*),且 a1=2.则数列的通项公式 an=________.
? 1? 6.若不等式 ax2+bx-2<0 的解集为?x|-2<x<4?,则 ab=________. ? ?

? ??3x-4y+3≥0, ? ? 7. (2011· 南京模拟)已知集合 P=??x,y? ?4x+3y-6≤0, ??y≥0,x≥0 ? ? ?
当 r 最大时,ab 的值是______.

? ? ? ? ?

, Q={(x, y)|(x

-a)2+(y-b)2≤r2,r>0}.若“点 M∈P”是“点 M∈Q”的必要条件,则

8.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?+x100=1,则 lg(x101+x102+?+x200)=________. 1? ? 1? ? 9.若 x,y 是正数,则?x+2y?2+?y+2x?2 的最小值是________. ? ? ? ? x2-5 10.(2011· 无锡模拟)已知 f(x)= 2x ,f(3+2sin θ)<m2+3m-2 对一切 θ∈R 恒 成立,则实数 m 的取值范围是________. 11.(2011· 南京模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2+pn,a7=11.若 ak+ak+1 >12,则正整数 k 的最小值为________. 12. 要挖一个面积为 432 m2 的矩形鱼池, 周围两侧分别留出宽分别为 3 m,4 m 的

堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为________,宽为________. 13.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n∈N*)且 a1=9,其前 n 项和为 Sn,则满足 1 不等式|Sn-n-6|<125的最小正整数 n 是________. 14.已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=2,b1=1, a2=b2,2a4=b3,且存在常数 α,β,使得 an=logαbn+β 对每一个正整数 n 时 成立,则 αβ=________. 二、解答题(本题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分)已知集合 A={x|x2-(3a+3)x+2(3a+1)<0,x∈R},集 ? ? x-a ? <0,x∈R ?. 合 B=?x? 2 ? ?x-?a +1? ? (1)当 4?B 时,求实数 a 的取值范围; (2)求使 B?A 的实数 a 的取值范围. 16.(本小题满分 14 分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 + (2)若 bn=anlog2an, n=b1+b2+?+bn, S 求使 Sn+n·n 1>50 成立的正整数 n 2 的最小值.
? ? ? ?1 ? 17.(本小题满分 14 分)已知集合 P=?x?2≤x≤2 ?,函数 y=log2(ax2-2x+2)的 ? ? ? ? ?

定义域为 Q. (1)若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范围; ?1 ? (2)若方程 log2(ax2-2x+2)=2 在?2,2?内有解,求实数 a 的取值范围. ? ? 18.(本小题满分 16 分)在数列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*),a1=-23. (1)求 an; (2)设 Sn 为{an}的前 n 项和,求 Sn 的最小值. 19.(本小题满分 16 分)已知在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双 1 曲线 y2-x2=1 上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)若 cn=an·n,求证:cn+1<cn. b 20.(本小题满分 16 分)(2011· 苏锡常镇扬调研)如图, △ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 CA 的长 为 3(百米),底 AB 的长为 4(百米).现决定在空地 内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计), 将该空地分成 一个四边形和一个三角形, 设分成的四边形和三角 形的周长相等,面积分别为 S1 和 S2. (1)若小路一端 E 为 AC 的中心,求此时小路的长度; S1 (2)求S 的最小值.
2

参考答案 过关检测(三)
1.解析 设公差为 d. 则 a5-a2=3d=6, ∴a6=a3+3d=7+6=13. 答案 13 11?a1+a11? 11?a2+a10? 11×4 2.解析 S11= = = 2 =22. 2 2 答案 22 3.解析 由题意,得 a2-2a-1<x2-2x+3=(x-1)2+2 恒成立,所以 a2-2a -3<0,解得-1<a<3. 答案 {a|-1<a<3} 4.解析 由 x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy,得 xy≥8,于是由 m-2≤xy 恒成 立,得 m-2≤8,m≤10,故 m 的最大值为 10. 答案 10 ?an? an+1 an 5.解析 由 an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf(2)=2an+2n+1,得 n+1=2n+1,所以?2n?是 2 ? ? an 首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以2n=n,an=n·n. 2 答案 n·n 2

6.解析

?-2=?-2?×1=-1, ?a 4 2 1 ∵-2,4是方程 ax2+bx-2=0 的两根,∴? b 7 ?-a=-4, ?

∴a=4,b=7.∴ab=28. 答案 28

7.解析 集合 P 所在区间如图阴影部分所示,由题 意,Q?P,且 AB⊥BC,所以当 r 最大时,圆(x -a)2+(y-b)2=r2 是四边形 OABC 的内切圆,从 |3a-4a+3| |4a+3a-6| 而 a=b=r,于是由 =a 且 5 5 1 1 =a,解得 a=b=2,所以 ab=4. 1 答案 4 xn+1 由 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*)得 lg xn+1-lg xn=1, x =10, ∴ ∴数列{xn} n 是公比为 10 的等比数列,∴xn+100=xn· 100,∴x101+x102+?+x200=10100(x1 10 100 +x2+x3+?+x100)=10 , ∴lg(x101+x102+?+x200)=lg 10100=100. 答案 100 1? ? 1? 1 1 1 1 ? 9.解析 由?x+2y?2+?y+2x?2≥x2+4x2+y2+4y2+2≥2 x2· 2+2 y2· 2 4x 4y ? ? ? ? 2 +2=4.当且仅当 x=y= 2 时取等号. 答案 4 10.解析 由题意 m2+3m-2>f(3+2sin θ)的最大值.设 x=3+2sin θ,则 x∈ x2-5 1? 5? ? [1,5]. 问题转化为求 f(x)= 2x =2?x-x?在 x∈[1,5]上的最大值, f(x)在[1,5] 由 ? 上单调增,得 f(x)max=f(5)=2.于是由 m2+3m-2>2,即 m2+3m-4>0 解得 m<-4 或 m>1. 答案 (-∞,-4)∪(1,+∞) 11. 解析 因为 a7=S7-S6=2×72+7p-2×62-6p=26+p=11, 所以 p=-15, Sn=2n2-15n,an=Sn-Sn-1=4n-17(n≥2),当 n=1 时也满足.于是由 ak+ 21 ak+1=8k-30>12,得 k> 4 >5.又 k∈N*,所以 k≥6,即 kmin=6. 答案 6 432 ?432 ? ? 12.解析 设鱼池的长、宽分别为 x m, x ,所以 S=(x+6)· x +8?=432+48 ? ? 2 592 2 592 432 + x +8x≥480+288=768,仅当 8x= x ,即 x=18, x =24 时等号成 立. 答案 24 m 18 m 13.解析 由 3an+1+an=4 得, 1 an+1-1=-3(an-1)(运用构造数列法),∴{an-1}是以 a1-1=8 为首项,以 1 -3为公比的等比数列, ? 1? ? 1? ? 所以 an-1=8·-3?n-1,所以 an=8×?-3?n-1+1. ? ? ? ? 8. 解析

? 1? 1-?-3?n ? ? ? ? 1? ? 1? ? 1? ? 所 以 Sn = 8 ?1+?-3?+?-3?2+?+?-3?n-1? + n = 8× 1 +n=6- ? ? ? ? ? ? ? ? 1+3 ? 1?n ?-3? ×6+n, ? ? ?? 1? ? 所以|Sn-n-6|=??-3?n×6? ?? ? ? 1?n 1 ? =?3? ×6<125,即 3n>750. ? ? 将 n=5,6,7 代入验证符合题意的最小正整数 n=7. 答案 7 ?a2=b2, - 14.解析 由题意,可设 an =2+(n-1)d,bn =qn 1 ,于是由 ? 得 ?2a4=b3, ?2+d=q, ?d=2?d≠0?, ? 解得? 所以 an=2n,n=22n-2, b 代入 an=logαbn 2 2?2+3d?=q , q=4, ? ? + β , 得 2n = (2n - 2)logα2 + β , 即 2n(1 - logα2) = β - 2logα2 , 所 以 ?logα2=1, ?α=2, ? 解得? ?β-2logα2=0, ?β=2. β 2 故 α =2 =4. 答案 4 4-a 15.解 (1)若 4∈B,则 <0?a<- 3或 3<a<4. 3-a2 ∴当 4?B 时,实数 a 的取值范围为[- 3, 3]∪[4,+∞). (2)∵A={x|(x-2)(x-3a-1)<0},B={x|a<x<a2+1}. 1 ①当 a<3时,A=(3a+1,2), ?a≥3a+1, 1 要使 B?A,必须? 2 此时-1≤a≤-2. ?a +1≤2, 1 ②当 a=3时,A=?,使 B?A 的 a 不存在. 1 ③当 a>3时,A=(2,3a+1), ?a≥2, 要使 B?A,必须? 2 此时 2≤a≤3. ?a +1≤3a+1, 1? ? 综上可知,使 B?A 的实数 a 的取值范围是[2,3]∪?-1,-2?. ? ? 16.(1)解 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+a3+a4=28, 可得 a3=8,∴a2+a4=20,所以

? 1 2 ?q= , ?a1q =8, ?q=2, ? 解之得? 或? 2 3 ?a1q+a1q =20, ?a1=2 ?a1=32. ? 又∵数列{an}单调递增,所以 q=2,a1=2, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n(n∈N*). 1 (2)因为 bn=2nlog22n=-n·n, 2 所以 Sn=-(1×2+2×22+?+n·n), 2 2 3 2Sn=-[1×2 +2×2 +?+(n-1)·n+n·n+1], 2 2 两式相减, 得 Sn=2+22+23+?+2n-n·n+1=2n+1-2-n·n+1. 2 2 n+1 n+1 n+1 要使 Sn+n· >50,即 2 -2>50,即 2 ≥52. 2 易知:当 n≤4 时,2n+1≤25=32<52,当 n≥5 时,2n+1≥26=64>52. 故使 Sn+n·n+1>50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 2 ?1 ? 17.解 (1)由已知 Q={x|ax2-2x+2>0},若 P∩Q≠?,则说明在?2,2?内至少 ? ? ?1 ? 有一个 x 值,使不等式 ax2-2x+2>0 成立,即在?2,2?内至少有一个 x 值, ? ? 2 2 使 a> x-x2成立, 2 2 ?1 1? 1 令 u= x-x2,则只需 a>umin.又 u=-2? x-2?2+2, ? ? 1 ? 1? 1 ?1 ? ? ? ∴当 x∈?2,2?时, x∈?2,2?.从而 u∈?-4,2?, ? ? ? ? ? ? ∴a>-4,∴a 的取值范围是{a|a>-4}. ?1 ? (2)方程 log2(ax2-2x+2)=2 在?2,2?内有解, ? ? ?1 ? 则方程 ax2-2x+2=4,即 ax2-2x-2=0 在?2,2?内有解,分离 a 与 x,得 a ? ? 2 2 =x2+ x, 2 2 ?1 ? 故在?2,2?内有 x 的值,使 a=x2+x 成立. ? ? 2 2 ?1 1? 1 ∵a=x2+x =2?x+2?2-2, ? ? 1 ? ? ?3 ? ∴当 x∈?2,2?时,a∈?2,12?, ? ? ? ? ?3 ? ∴a 的取值范围是?2,12?. ? ? 18.解 (1)由 an+1+an=2n-44(n∈N*), an+2+an+1=2(n+1)-44. ∴an+2-an=2,又 a2+a1=2-44,∴a2=-19. 同理得:a3=-21,a4=-17.故 a1,a3,a5,?是以 a1 为首项、2 为公差的 等差数列,a2,a4,a6,?是以 a2 为首项、2 为公差的等差数列.

?n-24?n为奇数?, 从而 an=? ?n-21?n为偶数?. (2)当 n 为偶数时, Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(an-1+an) =(2×1-44)+(2×3-44)+?+[2×(n-1)-44] n n2 =2[1+3+?+(n-1)]-2· 44= 2 -22n, 故当 n=22 时,Sn 取得最小值-242. 当 n 为奇数时, Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+?+(an-1+an)=a1+(2×2-44)+?+[2×(n- 1)-44] n-1 =a1+2[2+4+?+(n-1)]+ 2 · (-44) ?n+1??n-1? =-23+ -22(n-1) 2 n2 3 = 2 -22n-2. 故当 n=21 或 n=23 时,Sn 取得最小值-243. 综上所述:当 n 为偶数时,Sn 取得最小值为-242;当 n 为奇数时,Sn 取最小 值为-243. 19.(1)解 由已知点 An 在 y2-x2=1 上知,an+1-an=1,∴数列{an}是一个以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列, ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. 1 (2)证明 ∵点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上, 1 ∴Tn=-2bn+1,① 1 ∴Tn-1=-2bn-1+1(n≥2),② 1 1 ①②两式相减得 bn=-2bn+2bn-1(n≥2), 3 1 1 ∴2bn=2bn-1,∴bn=3bn-1. 1 2 令 n=1,得 b1=-2b1+1,∴b1=3, 2 1 ∴{bn}是一个以3为首项,以3为公比的等比数列. 2 ?1? 2 ? (3)证明 由(2)可知 bn=3·3?n-1=3n. ? ? 2 2 2 ∴cn=an·n=(n+1)·n,∴cn+1-cn=(n+2)·n+1-(n+1)·n b 3 3 3 2 = n+1[(n+2)-3(n+1)] 3 2 = n+1(-2n-1)<0, 3 ∴cn+1<cn. 20.解 (1)因为 E 为 AC 的中点,

3 所以 AE=CE=2. 3 3 因为2+3<2+4, 所以点 F 不在 BC 上. 若点 F 在 AB 上,则 AE+AF=3-AE+4-AF+3. 3 所以 AE+AF=5,AE=2. 7 所以 AF=2<4. 2 在△ABC 中,cos A=3. 9 49 3 7 2 15 在△AEF 中,EF2=AE2+AF2-2AE· AFcos A= + -2× × × = , 4 4 2 2 3 2 30 所以 EF= 2 . 30 即小路一端 E 为 AC 的中点时小路的长度为 2 (百米). (2)若小道的端点 E、F 都在两腰上,如图,设 CE=x,CF=y,则 x+y=5. S1 S△CAB-S△CEF S△CAB = -1 S2= S△CEF S△CEF 1 CBsin C 2CA· =1 -1 CE· CFsin C 2 9 9 =xy-1≥ -1 ?x+y?2 ? ? ? 2 ? 11 5 =25(当 x=y=2时取等号). 若小道的端点 E、F 分别在一腰(不妨设腰 AC)上和底上, 设 AE=x,AF=y,则 x+y=5. S1 S△ABC-S△AEF S△ABC = -1 S2= S△AEF S△AEF 12 12 23 5 = xy -1≥ -1=25(当 x=y=2时取等号). ?x+y?2 ? ? ? 2 ? 11 故最小值是25.


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