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第十八届竞赛试题丙组试题与解答


第十八届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题与解答
(2007 年 10 月 14 日 一、 下午 2:30--5:00) 填空题(每题 3 分,共 30 分) m 1. 设当 x ? 1时, 1 ? 是 x ? 1的等价无穷小 , 则 m ? ______ . 1 ? x ? ? ? x m?1 解 m ? 3.

2. 设 f ( x) ? 解

( x ? 1)( x ? 2)?( x ? n) , 则 f ?(1) ? ________ . ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? n) (?1) n?1 f ?(1) ? . n(n ? 1)

1 3. 已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1,0) 处的切线在 y 轴上的截距为 ? 1, 则 lim [1 ? f (1 ? )]n ? _____ . n?? n 1 n 解 lim [1 ? f (1 ? )] ? e. n?? n

4. 设在 [0,1]上 f ??( x) ? 0, 则 f ?(0), f ?(1), f (1) ? f (0) 从小到大的顺序是 __________ ____ .解 f ?(0), f (1) ? f (0), f ?(1).

5. lim 解

n ??

?
k ?1

n

k en

n?

1 k

? ______ .

原式 ? e ? 1.
π 2 π ? 2

x ? sin 2 x d x ? _________ . (1 ? cos x) 2 解 原式 ? 4 ? π. 6.

?

7. 设函数 y ( x)由方程 sin( xy ) ? 切线方程为 __________ _ . 解 切线方程为 y ? 2 x ? 1.

1 ? 1 所确定, 则在曲线 y ? y ( x)上对应于 x ? 0的点处的 y?x

8. 设函数 z ? f ( x, y ) 在点 (0, 1) 的某邻域内可微,且 f ( x, y ? 1) ? 1 ? 2 x ? 3 y ? o( ? ),其中 dy ? ? x 2 ? y 2,则由方程 f ( x, y ) ? 1 所确定的函数在 x ? 0 处的导数 x ?0 ? _______ . dx dy 2 解 x ?0 ? ? . dx 3

|

|

9. 设 f ( x, y ) 为连续函数 , 且 f ( x, y ) ? y 2 ? x
2

x ? y 2 ?a 2

?? f ( x, y) dxdy, 则 f ( x, y) ? _____ .



f ( x, y ) ?

a π x ? y2. 4
4

10. 设 y ? e 2 x ? (1 ? x) e x 是二阶常系数线性微分 方程 y?? ? ? y? ? ? y ? ? e x的一个特解 , 则

? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? _______ .
解 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 14.

二、10分) 设二元函数 f ( x, y) ?| x ? y |? ( x, y), 其中? ( x, y) 在点 (0,0) 的一个邻域内连续 . ( 试证明函数 f ( x, y)在点 (0,0) 处可微的充分必要条件 是 ? (0,0) ? 0.
解 (必要性 )设f ( x, y )在 (0,0) 点处可微 , 则 f x? (0,0), f y? (0,0)存在. f ( x,0) ? f (0,0) | x |? ( x,0) 由于 f x? (0,0) ? lim ? lim , x?0 x?0 x x | x |? ( x,0) | x |? ( x,0) ? ? (0,0), lim? ? ?? (0,0), 故有? (0,0) ? 0. x?0 x?0 x x (充分性 ) 若? (0,0) ? 0, 则可知 f x? (0,0) ? 0, f y? (0,0) ? 0. 因为 f ( x, y ) ? f (0,0) ? f x? (0,0) x ? f y? (0,0) y | x ? y |? ( x, y ) ? , x2 ? y2 x2 ? y2 |x? y| | x| | y| 又 ? ? ? 2, 2 2 2 2 x ?y x ?y x2 ? y2 | x ? y |? ( x, y ) 所以 lim ? 0. 由定义 f ( x, y )在 (0,0) 点处可微 . x?0 x2 ? y2 且 lim?

三、10分) 求积分 I ? (
解 交换积分顺序得 I?

?

π 2

0

1 dx x

?

π 2 x 1?

dy (tan y 2 )
2

.

?

π 2

dy

0 2

?

y2

0

1 dx ? x 1 ? (tan y 2 ) 1
2

2 π 2

?

?

π 2

2y 1 ? (tan y 2 )
2 π 2

dy (tan u )
2 2

0

u?y ? I?

?

π 2 π 2

0

1 ? (tan u ) du ? π . 4

du ?

?

1 1 ? (cot u )
2

du ?

0

?

0

1 ? (tan u )

du,

1 2

?

0

?x2x , x ? 0 四、10分) 设 f ( x) ? ? ( ,求 f ( x)的极值. ?x ? 1 , x ? 0

解 ? lim? f ( x) ? lim? x 2 x ? 1, lim? f ( x) ? 1,? f ( x)在x ? 0处连续. ?2(ln x ? 1) x 2 x , x ? 0 f ?( x) ? ? , 驻点 x ? e ?1. 1, x?0 ? 当0 ? x ? e ?1时,f ?( x) ? 0, 当x ? e ?1时,f ?( x) ? 0, 所以 x ? e ?1是极小值点 . 又当x ? 0 时, f ?( x) ? 0, 所以 x ? 0是极大值点 . 极小值 f (e ?1 ) ? e ? 2e ,
?1

x ?0

x ?0

x ?0

极大值 f (0) ? 1.

五、10分) 设 f ( x) 在区间[?1, 1]上三次可微 , 证明 存在实数 ? ? (?1,1), 使得 ( f ???(? ) f (1) ? f (?1) ? ? f ?(0) . 6 2 f ??(0) f ???(?1 ) 证 f (1) ? f (0) ? f ?(0) ? ? , 2! 3! f ??(0) f ???(? 2 ) f (?1) ? f (0) ? f ?(0) ? ? , 2! 3! 1 f (1) ? f (?1) ? 2 f ?(0) ? [ f ???(?1 ) ? f ???(? 2 )]. 6 1 由导数的介值性知存在 实数 ? ? (?1 , ? 2 ), 使得 f ???(? ) ? [ f ???(?1 ) ? f ???(? 2 )]. 于是 2 f ???(? ) f (1) ? f (?1) ? ? f ?(0) . 6 2

六、10分) 设正项级数 ( (1) lim

?a
n ?1

?

n

收敛, 且和为 S . 试求:

a1 ? 2a2 ? ? ? na n ; (2) n?? n

?
n ?1

?

a1 ? 2a2 ? ? ? na n . n (n ? 1)

a1 ? 2a2 ? ? ? na n S n ? S n ? S1 ? S n ? S 2 ? ? ? S n ? S n?1 ? n n S1 ? S 2 ? ? ? S n?1 S1 ? S 2 ? ? ? S n?1 n ? 1 ? Sn ? ? Sn ? ? , n n ?1 n a ? 2a2 ? ? ? na n ? lim 1 ? S ? S ? 0; n?? n a ? 2a2 ? ? ? na n a1 ? 2a2 ? ? ? na n a1 ? 2a2 ? ? ? na n ( 2) 1 ? ? n (n ? 1) n n ?1 a ? 2a2 ? ? ? na n a1 ? 2a2 ? ? ? na n ? (n ? 1)an?1 ? 1 ? ? an?1. n n ?1 a ? 2a2 ? ? ? na n a ? 2a2 ? ? ? na n 记 bn ? 1 ,则 1 ? bn ? bn?1 ? an?1 n n (n ? 1) ? ? ? a1 ? 2a2 ? ? ? na n ? ? b1 ? an?1 ? an ? S . n (n ? 1) n ?1 n ?1 n?1 解 (1)

?

?

?

七、10分) 证明 :当 0 ? x ? (
证 设 f ( x) ? (sin x)
? ?2

π 4 时 , (sin x) ? 2 ? x ? 2 ? 1 ? 2 . 2 π
sin 3 x ? x 3 cos x . x 3 sin 3 x

? x , f ?( x) ? ?2 sin ? 3 x cos x ? 2 x ? 3 ? 2

?2

令 ? ( x) ? sin x cos 则 ? ?( x) ? cos

1 3

x ? x,
4

? 1 x ? sin x cos 3 x ? 1 3 2 4 4 4 ? ? 3 2 3 x ? 1 cos 3 x ? 1 ? 3 x cos 3 x ? 1 ? 0. ? cos cos 3 3

1 ? x cos 3

π 时 , ? ( x) ? 0. 2 π 4 于是 f ?( x) ? 0, 从而 f ( x)单调增加且 f ( ) ? 1 ? 2 , 2 π π 4 ?2 ?2 ? 当 0 ? x ? 时 , (sin x) ? x ? 1 ? 2 . 2 π ?? ( x)单调增加且 ? (0) ? 0, 故当 0 ? x ?
八、 分) 证明sin1 是无理数 (10 .
p , p, q是互素的正整数 . q p 1 1 1 (?1) n?1 (?1) n 根据 sin x的展开式有 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? cos ? (2n ? 1 ? q ). q 3! 5! 7! (2n ? 1)! (2n ? 1)! p 1 1 1 (?1) n?1 (?1) n 由 (2n ? 1)! ? (2n ? 1)![1 ? ? ? ? ? ? ]? cos ? 知, q 3! 5! 7! (2n ? 1)! 2n(2n ? 1) (?1) n cos ? 是整数 (两个整数之差仍是整数 ). 2n(2n ? 1) (?1) n cos ? 然而 | cos ? |? 1, 2n ? 1, 故 不可能是整数 , 矛盾. 2n(2n ? 1) 所以 sin 1 是无理数 . 证 设 sin 1 是有理数,则 sin 1 ?


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