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选修2-2——生活中的优化问题举例


1.4 生活中的优化问题举例

1.问题导航 (1)生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题? (2)解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么? (3)求解优化问题的方法有多种多样,但较简捷的方法是什么? 2.例题导读 通过 P34~35 例 1、例 2、例 3 的学习,应体会以下几方面的内容: (1)研究优化问题的实质就是研究函数的最值问题; (2)求解优化

问题最简捷的方法就是利用导数作为工具进行求解; (3)解决优化问题的过程是典型的数学建模过程; (4)掌握利用导数解决优化问题的一般步骤.

1.优化问题 生活中经常遇到的求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题,导数 是求函数最大(小)值的有力工具. 2.利用导数解决优化问题的基本思路 优化问题
F 建立数学模型

― ― →

用函数表示数学问题

优化问题的答案

解决数学模型 作 答

― ― →

― ― →

用导数解决数学问题

3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,即写出实际问题中变 量之间的函数关系 y=f(x),注明定义域; (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)写出答案.

1.下列不属于优化问题的是( ) A.汽油的使用效率何时最高 B.磁盘的最大存储量问题 C.求某长方体容器的容积 D.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 答案:C 2.有一长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为( ) A.32 m2 B.14 m2 C.16 m2 D.18 m2 解析:选 C.设矩形的长为 x m,则宽为(8-x)m,矩形面积为 S=x(8-x)(x>0),令 S′=8 -2x=0,得 x=4,此时 Smax=42=16(m2). 3.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱体的高为( )

2 3 A. R 3 6 C. R 3 解析:选 A.

3 R 3 3 D. R 2 B.

作轴截面如图所示,设圆柱高为 2h,则底面半径为 R2-h2,圆柱体体积为 V=π·(R2 3 2 3 -h2)· 2h=2πR2h-2πh3.令 V′=2πR2-6πh2=0,∴h= R.即当 2h= R 时,圆柱体的 3 3 体积最大. 1 000v2 4.一艘船从 A 地到 B 地,其燃料费 w 与船速 v 的关系为 w(v)= (18≤v≤30), v-8 则燃料费最低时的船速 v=________. 2 000v(v-8)-1 000v2 1 000v(v-16) 解析:w′(v)= = >0,所以 w(v)在[18,30]上 (v-8)2 (v-8)2 单调递增,所以当 v=18 时,w(v)有最小值. 答案:18 1.解决优化问题的常用方法 解决优化问题的方法很多,如:判别式法,基本不等式法,线性规划法及利用二次函数 的性质及导数法等.不少优化问题,可以化为求函数的最值问题.一般来说,导数方法是解 决这类问题的有效工具. 2.解决生活中的优化问题应当注意的问题 (1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应 舍去. (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点满足 f′(x)=0 的情形.如果函数 在这点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还 应确定出函数关系式中自变量的定义区间.

几何中的最值问题 (1)圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S,要使它的容积最大,它的高 h 与底面半 径 R 的比应为________. S-2πR2 [解析] 因为 S=2πRh+2πR2,所以 h= , 2πR S-2πR2 所以 V(R)= πR2, 2πR 1 1 = (S-2πR2)R= SR-πR3. 2 2

1 由 V′(R)= S-3πR2=0,得 S=6πR2, 2 所以当 S=6πR2 时,容积最大, 此时 6πR2=2πRh+2πR2. 即 h∶R=2∶1. [答案] 2∶1 (2)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于 图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 两点在 AB 上,是被切去的一个 等腰直角三角形斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm).

①某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? ②某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大, 试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底 面边长的比值. 60-2x [解] 设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm).由已知得,a= 2x,h= = 2 2 (30-x),0<x<30. ①S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. ②V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0,得 x=0(舍去)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时 = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2 解决面积、体积的最值问题,要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,结合 实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值. 1 1.(1)如图所示,等腰梯形 ABCD 的三边 AB,BC,CD 分别与函数 y=- x2+2,x∈[- 2 2,2]的图象切于点 P,Q,R.求梯形 ABCD 面积的最小值.

1 t,- t2+2?(0<t≤2).由题意得,点 Q 解:设梯形 ABCD 的面积为 S,点 P 的坐标为? 2 ? ? 1 的坐标为(0,2),直线 BC 的方程为 y=2.因为 y=- x2+2,所以 y′=-x,所以 y′|x=t=-t, 2 1 2 ? 所以直线 AB 的方程为 y-? ?-2t +2?=-t(x-t), t2+4 t2+4 ? 1 即 y=-tx+ t2+2,令 y=0,得 x= ,所以 A? 2 2t ? 2t ,0?. 1 1 ? 令 y=2,得 x= t,所以 B? ?2t,2?, 2

2 1 1 t +4? 4 4 所以 S= ×? t+ ×2×2=2t+ ,S′=2- 2, 2 ?2 t t 2t ? 令 S′=0,得 t= 2.故当 t= 2时,S 有最小值为 4 2. 所以梯形 ABCD 的面积的最小值为 4 2. (2)从长为 32 cm,宽为 20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形,做一个无盖 的箱子,问剪去的正方形边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 解: 设剪去的正方形的边长为 x cm, 则箱子的容积 V(x)=x(32-2x)(20-2x)=4x3-104x2 +640x,(0<x<10) V′(x)=12x2-208x+640 =4(3x2-52x+160) =4(3x-40)(x-4). 40 令 V′(x)=0,得 x1= (舍去),x2=4. 3 当 0<x<4 时,V′(x)>0, 当 4<x<10 时,V′(x)<0, 所以 V(x)在(0,4)内为增函数, 在(4,10)内为减函数. 因此 V(x)在(0,10)内有唯一的极大值 V(4),且该极大值即为函数 V(x)的最大值,其最 大值 V(4)=4×(32-8)×(20-8)=1 152(cm3). 故当剪去的正方形边长为 4 cm 时,箱子的容积最大,最大容积为 1 152 cm3.

用料、费用最省问题 如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在 海的同侧,乙厂位于离海岸 40 km 的 B 处,乙厂到海岸的垂足 D 与 A 相距 50 km.两厂要在 此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元,则供水站 C 建在何处才能使水管费用最省?

[解] 法一:设 C 点距 D 点 x km(0<x<50),则 BD=40 km,AC=(50-x)km, ∴BC= BD2+CD2= 402+x2(km). 又设总的水管费用为 y 元, 依题意,得 y=3a(50-x)+5a x2+402(0<x<50). 5ax y′=-3a+ 2 ,令 y′=0,解得 x=30. x +402 当 x∈(0,30)时,y′<0;当 x∈(30,50)时,y′>0, ∴当 x=30 时函数取得最小值, 此时 AC=50-x=20(km). 即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省. 40 法二:设∠BCD=θ,则 BC= , sin θ π 40 ? CD= 0<θ< ?. 2? tan θ? 40 ∴AC=50- . tan θ 设总的水管费用为 f(θ)元, 40 40 依题意有 f(θ)=3a(50- )+5a· tan θ sin θ

5-3cos θ =150a+40a· . sin θ 3sin θ·sin θ-(5-3cos θ)· cos θ ∴f′(θ)=40a· 2 sin θ 3-5cos θ =40a· . sin2θ 3 令 f′(θ)=0,得 cos θ= . 5 3 根据问题的实际意义,当 cos θ= 时,函数取得最小值, 5 4 4 此时 sin θ= .∴tan θ= . 5 3 40 ∴AC=50- =20(km). tan θ 即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省. (1)选取合适的量作为自变量(如法一取 C、D 之间的距离 x 为自变量,法二取∠BCD=θ 为自变量),并确定其取值范围. (2)正确列出函数关系式; (3)利用导数求最值; (4)回归到原实际问题. 其中,正确列出函数关系式是解题的关键. 2.(1)(教材例 1 变式题)一报刊图文应占 S cm2,上、下边各空 a cm,左右边各空 b cm, 若只注意节约用纸,问这种报刊的长、宽各为多少? S 解:设图文所占区域的长为 x,则宽为 ,报刊的面积为 y,如图所示. x

S 2bS ? 则 y=(x+2b)? ?x+2a?=2ax+ x +S+4ab(x>0), 2bS 求导得 y′=2a- 2 . x bS bS 令 y′=0,解得 x= 或 x=- (舍去). a a bS? bS ? 当 x∈?0, ,y′<0,当 x∈? ,+∞ ,y′>0, a? a ? ? ? bS ∴当 x= 时,y 取得最小值. a bS aS 即报刊长为 +2b,宽为 +2a 时,报刊用纸最省. a b (2)某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+ 48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? 购地总费用 (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积 2 160×10 000 解:设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,则 f(x)=(560+48x)+ 2 000x

10 800 =560+48x+ (x≥10,x∈N*), x 10 800 f′(x)=48- 2 , x 令 f′(x)=0,得 x=15 或 x=-15(舍去), 当 x>15 时,f′(x)>0; 当 10≤x<15 时,f′(x)<0, 因此当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2 000. 故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 15 层. 利润最大问题 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y(单位: 千克)与销售价格 a 2 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6) ,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售价格为 x-3 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. [解] (1)因为 x=5 时,y=11, a 所以 +10=11,所以 a=2. 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获 x-3 得的利润 2 2 f(x)=(x-3)?x-3+10(x-6) ? ? ? 2 =2+10(x-3)(x-6) (3<x<6). 从而 f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 4 (3,4) (4,6) f′(x) 0 + - f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以,当 x =4 时,函数 f(x)取得最大值,最大值为 42. 故当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. (1)经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢, 以产量或单价为自变量很容易 建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. (2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润=收入-成本. ②利润=每件产品的利润×销售件数. 3. 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销, 在一年内, 预计年销量 Q(万 3x+1 件)与年广告费 x(万元)之间的函数关系为 Q= (x≥0),已知生产此产品的年固定投入为 x+1 3 万元,每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和. (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数,如果年广告费投入 100 万元,企

业是亏损还是盈利? (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大? 解: (1)由题意, 每年销售 Q 万件, 共计成本为(32Q+3)万元, 销售收入是(32Q+3)· 150% +x· 50%, 1 1 所 以 年 利 润 y = ( 年 收 入 ) - ( 年 成 本 ) - ( 年 广 告 费 ) = · (32Q + 3 - x) = 2 2 3 x + 1 ?32× +3-x? ? ? x+1 ? ? -x2+98x+35 = (x≥0), 2(x+1) -x2+98x+35 所以所求的函数关系式为 y= (x≥0). 2(x+1) 当 x=100 时,y<0,即当年广告费投入 100 万元时,企业亏损. -x2+98x+35 (2)由 y=f(x)= (x≥0),可得 2(x+1) (-2x+98)· 2(x+1)-2(-x2+98x+35) f′(x)= 4(x+1)2 2 -x -2x+63 = . 2(x+1)2 令 f′(x)=0,则 x2+2x-63=0. 所以 x=-9(舍去)或 x=7. 又 x∈(0,7)时,f′(x)>0;x∈(7,+∞)时,f′(x)<0, 所以 f(x)极大值=f(7)=42. 又因为在(0,+∞)上只有一个极值点, 所以 f(x)max=f(x)极大值=f(7)=42. 故当年广告费投入 7 万元时,企业年利润最大. 易错警示 因忽视讨论 f′(x0)=0 中 x0 的范围而致误

甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时, 已知汽车每小时的运输成本(元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的 平方成正比,比例系数为 b(b>0);固定部分为 a 元. (1)把全部运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? S S [解] (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 v,全程运输成本为 y=a· v+ S a bv2·v=S(v+bv), a 所求函数及其定义域为 y=S?v+bv?,v∈(0,c]. ? ? a a (2)令 y′=S?-v2+b?=0,得 v= , b ? ? a a ①若 ≤c,则当 v= 时,全程运输成本 y 最小; b b a ②若 >c,则 v∈(0,c]时 y′<0,即 y 在(0,c]上为减函数. b 所以当 v=c 时,y 最小. 综上可知,为使全程运输成本 y 最小, a a 当 ≤c 时,行驶速度 v= ; b b

a >c 时,行驶速度 v=c. b [错因与防范] (1)一方面在运用导数解决实际问题的过程中,忽略实际问题中函数的定义域造成求解 a 错误;另一方面由于忽视了对 v= 是否在区间(0,c]内的讨论,致使答案错误. b (2)在解决与实际问题有关的最值问题时,应先将实际问题转化为求函数的最值问题, 并且注意自变量的取值范围.根据定义域,观察取最值的点是否在定义域内,易因忽视定义 域而出错. 当 4.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12- x)2 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 解: (1)分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式为: L=(x-3-a)(12 -x)2,x∈[9,11]. (2)由(1)知 L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11], 则 L′=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 2 令 L′=0 解得 x=6+ a 或 x=12(舍去). 3 2 28 ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ . 3 3 2 在 x=6+ a 两侧 L′的值由正变负, 3 2 9 ∴①当 8≤6+ a<9,即 3≤a< 时, 3 2 Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). 2 28 9 ②当 9≤6+ a≤ ,即 ≤a≤5 时, 3 3 2 2 2 2 Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)[12-(6+ a)]2 3 3 3 1 3 =4(3- a) , 3 9 9(6-a),3≤a< 2 ∴Q(a)= . 1 9 4(3- a)3, ≤a≤5 3 2 9 即若 3≤a< ,则当每件销售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6 2 9 2 -a)(万元);若 ≤a≤5,则当每件销售价为(6+ a)元时,分公司一年的利润 L 最大,最大 2 3 1 3 值 Q(a)=4(3- a) (万元). 3

? ? ?

1.某产品的销售收入 y1(万元)是产品 x(千台)的函数,y1=17x2;生产总成本 y2(万元) 也是产品 x(千台)的函数,y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产( ) A.9 千台 B.8 千台 C.6 千台 D.3 千台 解析:选 C.构造利润函数 y=y1-y2=18x2-2x3(x>0),求导得 y′=36x-6x2=0?x=6(x

=0 舍去). 2.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π 且用料最省,则圆柱的底面半径为 ( ) A.5 B .6 C.3 D.2 解析:选 C.设圆柱的底面半径为 R,母线长为 l, 27 则 V=πR2l=27π,∴l= 2 . R 要使用料最省,只需使水桶的表面积最小, 54π 而 S 表=πR2+2πRl=πR2+ , R 54π 令 S′表=2πR- 2 =0,解得 R=3,即当 R=3 时,S 表最小.故选 C. R 3.如图,内接于抛物线 y=1-x2 的矩形 ABCD,其中 A,B 在抛物线上运动,C,D 在 x 轴上运动,则此矩形的面积 S 最大值是________.

x x 2 x ,0?,点 B 的坐标为? ,1-? ? ?. 解析:设 CD=x(0<x<2),则点 C 的坐标为? ?2 ? ?2? ? ?2 2 x ?1-? ? ? ∴矩形 ABCD 的面积 S=f(x)=x· ? ?2? ? x3 =- +x,x∈(0,2). 4 3 由 f′(x)=- x2+1=0, 4 2 2 得 x1=- (舍去),x2= , 3 3 2 ∴当 x∈?0, ?时,f′(x)>0,f(x)是递增的, 3? ? 2 当 x∈? ,2?时,f′(x)<0,f(x)是递减的, ? 3 ? 2 4 3 当 x= 时,f(x)取得最大值 . 9 3 4 3 答案: 9

[A.基础达标] 1.将 8 分为两数之和,使其立方之和为最小,则分法为( ) A.2 和 6 B .4 和 4 C.3 和 5 D.以上都不对 解析:选 B.设一个数为 x,则另一个数为 8-x,则 y=x3+(8-x)3,0≤x≤8,y′=3x2 -3(8-x)2,令 y′=0,即 3x2-3(8-x)2=0,解得 x=4.当 0≤x<4 时,y′<0;当 4<x≤8 时, y′>0.∴当 x=4 时,y 最小.
3

2.设函数 ht(x)=3tx-2t2,若有且仅有一个正实数 x0,使得 h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数 t 都成立,则 x0=( ) A.5 B. 5

C.3 D. 7 解析:选 D.∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数 t 都成立, ∴h7(x0)≥ht(x0)max.记 g(t)=ht(x0)=3tx0-2t2,则 g′(t)=3x0-3t2,令 g′(t)=0,得 t=x2 0, 2 3 3 易得 ht(x0)max=g(x0)=x0,∴21x0-14 7≥x0,将选项代入检验可知选 D. 3.要建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的无盖长方体蓄水池,已知池壁的造价为 100 元 2 /m ,池底的造价为 300 元/m2,则总造价最低为( ) A.400 元 B.1 200 元 C.1 600 元 D.2 800 元 解析:选 D.设总造价为 y 元,池底的一边长为 x m.由题意知池底的面积为 4 m2,则池 4? 2 4? 4 ? 4? 底的另一边长为 m, 池壁的面积为 4? 有 y=1 200+100×4? ?x+x?m , ?x+x?=400?x+x?+1 x 4 1- 2?,令 y′=0,得 x=2,由 y′>0,得 x>2,由 y′<0,得 0<x<2,所以 200(x>0).y′=400? x ? ? 当 x=2 时,y 取得最小值,且 ymin=2 800,故选 D. 4.如图, 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 P 从顶点 A 沿着 A→B 的方向向顶点 B 运动, 速度为 2,同时,点 Q 从顶点 B 沿着 B→C 的方向向顶点 C 运动,速度为 1,则|PQ|的最小 值为( )
3 1

A.0 C. 2 2

B.

5 5

D.1

解析:选 B.设点 P,点 Q 运动的时间为 t,则|PQ|= |BP|2+|BQ|2= (1-2t)2+t2 1 2 (0≤t≤ ),令 f(t)=|PQ|2=(1-2t)2+t2=5t2-4t+1,则 f′(t)=10t-4,令 f′(t)=0,得 t= . 2 5 2 2 1 2 当 0≤t< 时,f′(t)<0,f(t)单调递减;当 <t≤ 时,f′(t)>0,f(t)单调递增.所以当 t= 时, 5 5 2 5 5 f(t)取得极小值,也是最小值,此时|PQ|也取得最小值,即有|PQ|min= f(t)min= ,故选 5 B. 5.某商品的进价为 3 元/件,根据以往经验,当售价为 8 元/件时,可卖出 30 件,市场 调查表明, 每当售价下降 1 元时, 销量可增加 10 件, 且售价下降 x 元时, 获得的利润为 L(x) 元,则 L(x)的最大值为( ) A.220 元 B.200 元 C.180 元 D.160 元 解析: 选 D.当售价下降 x 元时, 每件的利润为(5-x)元, 此时销量为(30+10x)件, ∴L(x) 2 =(5-x)(30+10x)=10(5-x)(3+x)=10(-x +2x+15)(0≤x≤5),∴L′(x)=10(-2x+2)= 20(-x+1),令 L′(x)=0,得 x=1;令 L′(x)>0,得 0≤x<1,∴L(x)在区间[0,1]上单调递增; 令 L′(x)<0,得 1<x≤5,∴L(x)在区间(1,5]上单调递减,∴当 x=1 时,L(x)取得极大值,也 是最大值,最大值为 160.故选 D. 2 6. 某厂生产 x 件产品的总成本为 C 万元, 产品单价为 P 万元, 且满足 C=1 200+ x3, 75 500 P= ,则当 x=________时,总利润最高. x 500 2 2 解析:设总利润为 L(x)万元,则由题意得 L(x)=x· -1 200- x3=- x3+500 x- 75 75 x

2 250 1 200(x>0). 由 L′(x)=- x2+ =0, 得 x=25.令 L′(x)>0, 得 0<x<25; 令 L′(x)<0, 得 x>25, 25 x 得 L(x)在区间(0,25)上单调递增,在区间(25,+∞)上单调递减,所以当 x=25 时,总利润 最高. 答案:25 7.某工厂要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场,其中一边可以利用原有的墙壁,其 他三边需要砌新的墙壁.当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________. 512 解析: 要求材料最省, 则要求新砌的墙壁总长最短, 设堆料场地宽为 x m, 则长为 m, x 512 512 因此新墙总长为 L=2x+ (x>0),则 L′=2- 2 ,令 L′=0,得 x=± 16, x x 又 x>0,∴x=16, 512 则当 x=16 时,Lmin=64,长为 =32 (m). 16 答案:32 m,16 m 8.已知正三角形 ABC 的边长为 2,点 D 是边 BC 上一动点,点 D 到 AB,AC 的距离分 别为 x,y,则 xy 的最大值为________. 1 1 1 解析:由 S△ABD+S△ACD=S△ABC 且△ABC 是边长为 2 的正三角形,得 ×2x+ ×2y= × 2 2 2 2 2× 3,即 x+y= 3,令 f(x)=xy=x( 3-x)=-x + 3x(0≤x≤ 3),f′(x)=-2x+ 3, 3 3 3 3 由 f′(x)=0,得 x= .令 f′(x)>0,得 0≤x< ,f(x)在区间?0, ?上递增;令 f′(x)<0,得 2 2 2 2? ? 3 3 3 <x≤ 3,f(x)在区间? , 3?上递减,所以 f(x)max=f? ?= . ?2 ? ?2? 4 3 答案: 4 9.甲、乙两地相距 400 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100 km/h,已 1 1 知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(km/h)的函数关系是 P= v4- v3+15v. 19 200 160 (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值. 1 1 3 400 4 ? 400 解:(1)Q=P·v =? ?19 200v -160v +15v?· v 1 1 2 3 ? =? ?19 200v -160v +15?·400 v3 5 = - v2+6 000(0<v≤100). 48 2 v2 (2)Q′= -5v, 16 令 Q′=0,则 v=0(舍去)或 v=80, 当 0<v<80 时,Q′<0; 当 80<v≤100 时,Q′>0, ∴v=80 km/h 时,全程运输成本取得极小值,即最小值. 2 000 从而 Qmin=Q(80)= (元). 3 π 10.假如你是一名糖果设计师,现需要设计一种体积为 的圆锥形巧克力,那么将巧克 3 力的底面半径设计为多少时,可使其侧面积最小? 1 解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,底面圆周长为 c,母线长为 l,体积为 V,则 V= 3 π 1 πr2h= ,得 h= 2. 3 r

1 1 1 1 记圆锥的侧面积为 S,则 S= cl= ×2πr× r2+h2=πr r2+ 4=π r4+ 2,r>0. 2 2 r r 2(2r6-1) 1 - 令 f(r)=r4+ 2,则 f′(r)=4r3-2r 3= , r r3 1 1 1 令 f′(r)=0,得 r= ,由 f′(r)>0,得 r> ,由 f′(r)<0,得 0<r< , 6 6 6 2 2 2 1 ? ,+∞? 1 ∴f(r)在(0, )上单调递减,在? 6 ?上单调递增, 6 2 ? ? 2 1 ∴当 r= 时,f(r)取得最小值,此时 S 也取得最小值. 6 2 1 即将巧克力的底面半径设计为 时,可使其侧面积最小. 6 2 [B.能力提升] 1.如图,将直径为 d 的圆木锯成长方体横梁,其断面为矩形,横梁的强度同它的断面高 的平方与宽 x 的积成正比(强度系数为 k,k>0).要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁, 断面的宽 x 应为( )

d A. 3 C.

d B. 2

3 2 d D. d 3 2 解析:选 C.设断面高为 h,则 h2=d2-x2.设横梁的强度为 f(x),则 f(x)=k· xh2=k· x(d2- 3 3 3 x2)(0<x<d). 令 f′(x)=k(d2-3x2)=0, 解得 x= d(x=- d 舍去). 当 0<x< d 时, f′(x)>0, 3 3 3 3 3 3 f(x)在区间?0, d?上单调递增; 当 d<x<d 时, f′(x)<0, f(x)在区间? d,d?上单调递减. 所 3 3 ? ? ?3 ? 3 3 以函数 f(x)在定义域(0,d)内只有一个极大值点 x= d.所以当 x= d 时,f(x)有最大值,故 3 3 选 C. 2.某工厂有一段旧墙长 14 m,现准备利用这段旧墙建造一个平面图形为矩形,面积为 a 126 m2 的厂房,工程条件是:①建 1 m 新墙的费用为 a 元;②修 1 m 旧墙的费用为 元;③ 4 a 拆去 1 m 旧墙,用可得的建材建 1 m 新墙的费用为 元.若利用旧墙中长为 x m 的一段 2 (0<x≤14)为矩形的一边,则建墙总费用最少为( ) A.35a 元 B.35 元 C.12a 元 D.12 元 a(14-x) ax 解析:选 A.修旧墙的费用为 元,拆旧墙造新墙的费用为 元,其余新墙的 4 2 x 36 ? 2×126 费用为?2x+ -14? a 元,记总费用为 y 元,则 y= 7a? ?4+ x -1? (0<x≤14),y′= x ? ? 1 36? 7a? ?4- x2 ?,令 y′=0,得 x=12,令 y′>0,得 12<x≤14,令 y′<0,得 0<x<12,所以当 x=12 时,ymin=35a,即建墙总费用最少为 35a 元,故选 A. 3.如图,已知点 A(1,1),B(2,0),O 为坐标原点,设△OAB 被直线 x=t 与 x=t+1 所

3 夹部分的面积为 S,则当 ≤t≤1 时,S 的最大值为________. 4

1? 1 1 1 1 解析: 由题意得 S= ×2×1- t2- [2-(t+1)]2=-t2+t+ , S′=-2t+1=-2? ?t-2?, 2 2 2 2 3 1 3 11 当 ≤t≤1 时,S′<0,S=-t2+t+ 单调递减,所以当 t= 时,S 取得最大值,且 Smax= . 4 2 4 16 11 答案: 16 4.(2015· 银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书 15 万册,欲分几次订货,如果 每次订货要付手续费 30 元,每千册书存放一年要库存费 40 元,并假设该书均匀投放市场, 则此书店分________次进货、每次进________册,可使所付的手续费与库存费之和最少. 解析:设每次进书 x 千册(0<x<150),手续费与库存费之和为 y 元,由于该书均匀投放 x 150 x 4 500 市场,则平均库存量为批量之半,即 ,故有 y = ×30 + × 40 , y ′=- 2 + 20 = 2 x 2 x 20(x+15)(x-15) , x2 令 y′=0,得 x=15.列表如下: x 15 (0,15) (15,150) y′ 0 - + y ↘ 极小值 ↗ 150 所以当 x=15 时,y 取得极小值,故当 x=15 时,y 取得最小值,此时进货次数为 = 15 10(次). 即该书店分 10 次进货,每次进 15 000 册书,所付手续费与库存费之和最少. 答案:10 15 000 5.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图如图所 示).如果池四周围墙建造单价为 400 元/m2,中间两道隔墙建造单价为 248 元/m2,池底建 造单价为 80 元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计. ?(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 m.试设计污水池的长和宽,使总造 价最低,并求出最低总造价. 200 解:(1)设污水处理池的长为 x m,则宽为 m,再设总造价为 y 元,则有 y=2x×400 x 200 200 259 200 + ×2×400+248×2× +80×200=800x+ +16 000 x x x 259 200 ≥2 800x· +16 000 x =2×800×18+16 000=44 800, 259 200 当且仅当 800x= , x 即 x=18 m 时,y 取得最小值. 100 ∴当污水池的长为 18 m,宽为 m 时总造价最低,为 44 800 元. 9 200 (2)∵0<x≤16,0< ≤16,∴12.5≤x≤16,x≠18, x 324? y′=φ′(x)=800? ?1- x2 ?, 当 12.5≤x≤16 时,

x2-324 y′=800· 2 <0, x ∴φ(x)在[12.5,16]上为减函数. 从而 φ(x)≥φ(16)=45 000. 所以,当该池的长为 16 m,宽为 12.5 m 时,总造价最低,最低总造价为 45 000 元. 6.某园林公司计划在一块以 O 为圆心, R(R 为常数)为半径的半圆形(如图所示)地上种植 花草树木,其中弓形 CMD 区域用于观察样板地,△OCD 区域用于种植花木出售.其余区 域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米 2 元,花木地的利润是每平方米 8 元,草皮地的利润是每平方米 3 元.

(1)设∠COD=θ,弧 CMD 的长为 l,分别用 θ,l 表示弓形 CMD 的面积 S 弓=f(θ),S 弓 =g(l); (2)园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?(参考公式:扇形面积公式 S 1 2 1 = R θ = Rl) 2 2 1 1 1 解:(1)S 扇形 OCD= R2θ,S△OCD= R2sin θ,S 弓=f(θ)= R2(θ-sin θ). 2 2 2 l 1 l 1 2 l 1 l-Rsin ?. 又∵S 扇形 OCD= Rl,∴θ= ,S△OCD= R sin ,∴S 弓=g(l)= R? R? 2 R 2 R 2 ? (2)设总利润为 y 元,草皮地的利润为 y1 元,花木地的利润为 y2 元,观察样板地成本为 1 1 2 ? 1 2 1 2 2 y3 元,y1=3? ?2πR -2R θ?,y2=2R sin θ·8,y3=2R (θ-sin θ)·2,∴y=y1+y2-y3= 1 1 2 1 2 1 2 ? 1 2 3? 2= R2[3π-(5θ-10sin θ)]. ?2πR -2R θ?+2R sin θ·8-2R (θ-sin θ)· 2 设 g(θ)=5θ-10sin θ,θ∈(0,π), 1 则 g′(θ)=5-10cos θ,令 g′(θ)<0,得 cos θ> , 2 π 1 ∴g(θ)在?0, ?上为减函数;令 g′(θ)>0,得 cos θ< , 2 3? ? π ∴g(θ)在? ,π?上为增函数. ?3 ? π ∴当 θ= 时,g(θ)取到最小值,此时总利润最大, 3 π ∴当园林公司把扇形的圆心角 θ 设计成 时,总利润最大. 3


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