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2009年全国高中数学联赛辽宁省试题及答案


年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题 2009 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题 答案及评分标准
(7 月 5 日上午 8:30—11:00) 考生注意:本试卷共三道大题, 考生注意:本试卷共三道大题,16 道小题满分 150 分。 选择题( 一. 选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 道小题,每小题给出了( ( ( ( 四个结论,其中只有一个是正确的。 (B (C (D 本题共有 6 道小题,每小题给出了(A) B) C) D)四个结论,其中只有一个是正确的。 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。 不选、 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得 5 分,不选、选错或选出的 代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内) ,一律得 代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内) 一律得 0 分。 , 1.已知集合 M={x|x∈R,5-|2x-3|∈N+},则 M 的所有非空真子集的个数是( ) A.254 B.255 C. 510 D. 511 [答]( C )
?x ≥ 2 ? 的点(x,y)形成的区域为 D,区域 D 关于直线 y=2x 2.平面上满足约束条件 ? x + y ≤ 0 ? x ? y ? 10 ≤ 0 ?

对称的区域为 E,则区域 D 和区域 E 中距离最近的两面三刀点的距离为 A.
6 5 5

B.

12 5 5

C.

8 3 5

D.

16 3 5

[答]( B



3.已知△ABC 的三边 a,b,c 成等比数列,a,b,c 所对的角依次为 A,B,C.则 sinB+cosB 的取值范围是 A.(1,1+
3 ] 2

B.[ D.[

3 1 ,1+ ] 2 2 1 , 2] 2

C. (1, 2 ]

[答]( C



4.设 M 是正方体各条棱的中点的集合,则过且公过 M 中 3 个点的平面的个数是 A.56B。81C。136D。145[答]( ) 5. an=2 , n=n, 设 b (n=1, 3,。) An、 n 分别为数列{an}、 n}的前 n 项和。 cn=anBn+bnAn 2, 。。, B {b 记 —anbn,则数列{cn}的前 10 项和为 10 11 A.2 +53 B.2 +53 9 10 C.110×(2 -1) D.110×(2 -1) [答]( D ) 6.将一些半径为 1 的小圆放入半径为 11 的大圆内,使每个小圆都与大圆相内切,且这些小 圆无重叠部分,则最多可以放入的小圆的个数是 A.30 B.31 C.32 D.33 [答]( B ) 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) o 7. 正四面体 ABCD 的外接球球心为 O, 为 BC 中点, E 则二面角 A—BO—E 的大小为___120 ____. 8.函数 f(x)=
x ? x3 1+ 2x + x
2 4
n

的最大值与最小值的乘积是_______-

1 __________. 16 1 _______. 4

9.把长为 1 的铁丝截成三段,则这三段恰能围成三角形的概率为_____

10.设 a(0<a<1)是给定的常数,f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)上递减。 若 f(
1 1 )=0,f(logax)>0,那么 x 的变化范围是____ x > 或 a < x < 1 _____. 2 a

1

11.数列{an}满足 an = 1 +

1 n
2

+

1 (n + 1)
2

-1,则 a1+a 2+a 3+。。+a n =______ 。

2009 _________ 2010

12.已知点 P 是双曲线 则

y2 x2 - =1 上的动点,F、F 分别是其左、右焦点,O 为坐标原点, 4 8

| PF1 | + | PF2 | 的取值范围_________ (2, 6] ________. | OP |

三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13. (本小题满分 20 分)已知函数 f(x)=2x+alnx (1)若 a<0,证明:对于任意两个正数 x1,x2,总有
f ( x1 ) + f ( x 2 ) x +x ≥f( 1 2 )成立; 2 2

(2)若对任意 x∈[1,e],不等式 f(x)≤(a+3)x-

1 2 x 恒成立,求 a 的取值范围。 2

14. (本小题满分 20 分)已知椭圆

x2 a
2

+

y2 b
2

=1(a>b>0)的离心率 e=

6 ,过点 A(0,-b) 3

和 B(a,0)的直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(-2,0) ,直线 y=kx+t 与椭圆交于 C、D 两点,证明:对任意的 t>0,都 存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.

15.(本小题满分 25 分)如图。△ABC 中,AB>AC,AE 是其外接圆的切线,D 为 AB 上的点, 且 AD=AC=AE.求证:直线 DE 过△ABC 的内心. A

E D D B

16.(本小题满分 25 分)已知数列{an}中的相邻两项 a2k-1,a2k 是关于 x 的方程 x -(3k+2 ) k x+3k×2 =0 的两个根. (1)求数列{an}的前 2n 项和 S2n.

2

k

2

(2)记 f(n)=

f f f f | sin n | 1 ( - 1) ( 2) ( - 1) (3) ( - 1) ( 4) ( - 1) ( n +1) ( +3) n= ,T + + +…+ , 2 a1 a 2 a3 a 4 a5 a6 a 2 n ?1 a 2 n sin n

求证:

1 5 ≤Tn≤ (n∈N+) 24 6

说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档,其它各 题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2.如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,评卷时可参照本 评分标准适当划分档次评分,可以 5 分为一个档次,不要再增加其它中间档次。 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 选择题 1. (C) . 2. (B) . 3. . (C) (A) . 5. (D) . (B) . . . 4. . 6. . 填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 二.填空题 7. .

2π 1 2009 1 1 . 8. x 或 a < x < 1 . 11. 11. . 12. (2, 6] . ? . 9. . 10. > . . . . 16 3 4 a 2010

三.解答题 13(本小题满分 20 分) 解: I) ( .

f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x 2 x + a ln x1 + 2 x2 + a ln x2 x +x x +x ? f( 1 2) = 1 ? 2 1 2 ? a ln 1 2 2 2 2 2 2 = a ln x1 x2 ? a ln

2 x1 x2 2 x1 + x2 ) = a ln = a ln( x1 x2 × ………(5 分) 2 x1 + x2 x1 + x2
所以

因为 x1 + x2 ≥ 2 x1 x2

2 x1 x2 ≤1, x1 + x2

ln

2 x1 x2 ≤0, x1 + x2

又 a < 0 , 故 a ln

2 x1 x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x ≥ 0 ,所以, ≥ f ( 1 2 ) ; …(10 分) x1 + x2 2 2

1 2 x 对 x ∈ [1, e] 恒成立, 2 1 2 1 故 2 x + a ln x ≤ ( a + 3) x ? x , a ( x ? ln x) ≥ x 2 ? x , 2 2 1 2 x ?x 2 因为 x ∈ [1, e] ,所以 x ? ln x > 0 ,因而 a ≥ ,……………………(15 分) x ? lnx 1 2 x ?x 设 g ( x) = 2 x ∈ [1, e] x ? lnx
(Ⅱ)因为 f ( x ) ≤ ( a + 3) x ?

1 1 1 ( x ? 1)( x ? ln x) ? (1 ? )( x 2 ? x) ( x ? 1)( x + 1 ? ln x) x 2 2 因为 g ′( x) = = , ( x ? ln x) 2 ( x ? ln x) 2

3

当 x ∈ (1, e) 时, x ? 1 > 0 ,

1 x + 1 ? ln x > 0 ,所以 g ′( x) > 0 , 2

又因为 g ( x ) 在 x = 1 和 x = e 处连续 ,所以 g ( x ) 在 x ∈ [1, e] 时为增函数,

1 2 e ?e e 2 ? 2e 所以 a ≥ g (e) = 2 = e ?1 2(e ? 1)
14, 14 (本小题满分 20 分)

………………………………(20 分)

解: (I)直线 AB 的方程为 bx ? ay ? ab = 0 , 依题意得

?c 6 , ? = 3 ?a ? 3 ? ab = . ? a2 + b2 2 ?

解得 a =

3, b = 1 , 所以,椭圆方程为

x2 + y 2 = 1 .……………………………(5 分) 3

(Ⅱ)将 y = kx + t 代入椭圆方程,得 (1 + 3k 2 ) x 2 + 6ktx + 3t 2 ? 3 = 0 , 由直线与椭圆有两个交点,

∴? = (6kt ) 2 ? 12(1 + 3k 2 )(t 2 ? 1) > 0 , k 2 >

t 2 ?1 ,……(1) …………(10 分) 3

设 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = ?

6kt 3(t 2 ? 1) , x1 i x2 = ,……(2) 1 + 3k 2 1 + 3k 2

∵ 以 CD 为直径的圆过 E 点,∴ EC ? ED = 0 ,即 ( x1 + 1)( x2 + 1) + y1 y2=0 ,
而 y1 i y2=(kx1 + t ) kx2 + t )=k x1 x2 + tk ( x1 + x2 ) + t , (
2 2

∴ (k 2 + 1) x1 x2 + (tk + 1)( x1 + x2 ) + t 2 + 1 = 0 ,将(2)代入,

(k 2 + 1)

3(t 2 ? 1) 6kt 2t 2 ? 1 ? (tk + 1) + t 2 + 1 = 0 ,解得 k= ,…………(15 分) 1 + 3k 2 1 + 3k 2 3t

k 2=

4t 4 ? 4t 2 + 1 4t 4 ? 4t 2 + 1 t 2 ? 1 (t 2 ? 1) 2 + t 2 2t 2 ? 1 , ? = > 0 , k= 即 满足 (1) , 9t 2 9t 2 3 9t 2 3t

所以,对任意的 t > 0 ,都存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.……(20 分) 15. (本小题满分 25 分) 证明:设角 C 的内角平分线与 DE 交于点 I ,

A

连接 AI , IC , CE ,由于 AE 是 ?ABC 外接圆的切线,故

D

I

E
4

∠ACB = 180 ? ∠DAE ,……(5 分)

B

C

又 AD = AE ,故

180 ? ∠DAE = ∠ADE + ∠AED = 2∠AED ,
故 ∠ACI =

………………………(10 分) ……(15 分)

1 ∠ACB = ∠AED ,所以 A、E、I、C 四点共圆. 2 ∠IAC = ∠IEC = ∠AEC ? ∠AED

=

180 ? ∠CAE 180 ? ∠DAE ? 2 2

………………………………(20 分)

1 1 (∠DAE ? ∠CAE ) = ∠A ,故 AI 为角 A 的角平分线, 2 2 I 为 ?ABC 的内心. ………………………………(25 分)
16. (本小题满分 25 分)
2 k k (I)解:方程 x ? (3k + 2 ) x + 3k i2 = 0 的两个根为

x1 = 3k , x2 = 2k ,

………………………………(5 分)

S 2 n = a1 + a2 + ? + a2 n = (3 + 6 + ? + 3n) + (2 + 22 + ? + 2n )

=

3n 2 + 3n + 2 n +1 ? 2 . 2

………………………………(10 分)

1 1 1 (?1) f ( n +1) (Ⅱ) 证明: Tn = + ? +? + , a1a2 a3 a4 a5 a6 a2 n ?1a2 n
所以 T1 =

1 1 1 1 5 = , T2 = + = . a1a2 6 a1a2 a3 a4 24

………………………………(15 分)

当 n ≥ 3 时,

Tn =

? 1 1 1 1 ? 1 1 1 (?1) f ( n +1) + ? +? + ≥ + ?? +? + ? 6 a3 a4 a5 a6 6 a3 a4 ? a5 a6 a2 n ?1a2 n a2 n ?1a2 n ?

1 1 1 1 1? 1 1 ? 1 > , ………………………………(20 分) ≥ + ? ? 3 +? + n ? = + n 2 6 6 6i 2 6 ? 2 2 ? 6 6i 2
同时, Tn =

? 1 5 1 1 ? 5 1 1 (?1) f ( n +1) ? ? +? + ≤ ? +? +? + ? 24 a5 a6 ? a7 a8 24 a5 a6 a7 a8 a2 n ?1a2 n a2 n ?1a2 n ?



1 5 5 1 1? 1 1 ? 5 ? < . ? + ? 1 +? + n ? = n 3 24 24 9i2 9 ? 2 2 ? 24 9i2
5

综上,当 n ∈ N + 时,

1 5 ≤ Tn ≤ . 6 24

………………………………(25 分)

6


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