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上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014年高三联合高考模拟考数学试卷(理科)


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上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014 学年联合高考模拟考试 理科数学试卷
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2014.4 一、填空题 (本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结

果,每个 空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.二阶行列式

1? i 0 1? i 1? i

的值是

. (其中 i 为虚数单位)

2. 已知 i , j 是方向分别与 x 轴和 y 轴正方向相同的两个基本单位向量,则平面向量 i ? j 的模等 于 . 3.二项式 ( x ? 1) 7 的展开式中含 x 3 项的系数值为_______________. 4.已知圆锥的母线长为 5 ,侧面积为 15? ,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留 ? ) 5.已知集合 A ? y y ? sin x, x ? R , B ? x x ? 2n ? 1, n ? Z ,则 A

? ?

?

?

?

?

B?

.

理 6 文 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上存在 A , B 两点,且弦 AB 的中点为

P(1, 2) ,则直线 AB 的方程为

.

理 7 文 8.已知 log2 x ? log2 y ? 1 ,则 x ? y 的最小值为_____________. 理 8 文 10. 已知首项 a1 ? 3 的无穷等比数列 ?an ? (n ? N * ) 的各项和等于 4,则这个数列 ?an ? 的公比 是 .

9. (理)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 点,M 为 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹 为曲线 C2 .则 C2 的参数方程为 .

? x ? 2 cos? , ( ? 为参数) , O 为坐标原 ? y ? 2 sin ? ,
开始

x ? 1, y ? 1

10. 阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 为 . 11. (理)从 5 男和 3 女 8 位志愿者中任选 3 人参加冬奥会 火炬接力活动, 若随机变量ξ 表示所选 3 人中女志愿者的人 数,则ξ 的数学期望是 . 12. (理)设各项均不为零的数列 ?cn ? 中,所有满足

z ? x? y z ? 20
是 否 输出

x? y y?z
第 10 题 图

y x

结束

ci ? ci ?1 ? 0 的正整数 i 的个数称为这个数列 ?cn ? 的变号数.
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已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 4n ? 4 , bn ? 1 ? 为 .

4 (n? N *) ,则数列 ?bn ? 的变号数 an

13. (理) 已知定义在 ?0,??? 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 3 f ( x ? 2) .当 x ? ?0,2? 时 f ( x) ? ? x 2 ? 2x .

i l Sn ? 设 f ( x) 在 ?2n ? 2,2n? 上的最大值为 an , 且数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 则m
n??

. (其

中n? N *) 14. (理)正方形 S1 和 S 2 内接于同一个直角三角形 ABC 中,如图所示,设 ?A ? ? ,若 S1 ? 441,

S 2 ? 440 ,则 sin 2? ?
A

. A

?
F F S1 C

?
D F M E B C F

Q P S2 B N

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (理)在实数集 R 上定义运算 ? : x ? y ? x ? (1 ? y ) .若关于 x 的不等式 x ? ( x ? a) ? 0 的解集 是集合 {x | ?1 ? x ? 1} 的子集,则实数 a 的取值范围是???????( ).

( A) [0, 2]

( B ) [?2, ?1) (?1,0]

(C ) [0,1) (1, 2]

( D) [? 2 , 0 ]
).

2 2 16. “ ? ? 1”是“函数 f ( x) ? sin ?x ? cos ?x 的最小正周期为 ? ”的????(

( A) 充分必要条件 (C ) 必要不充分条件

( B ) 充分不必要条件 ( D) 既不充分又必要条件

17. 若 圆 柱 的 底 面 直 径 和 高 都 与 球 的 直 径 相 等 , 圆 柱 、 球 的 表 面 积 分 别 记 为 S1 、 S 2 , 则

S1 : S 2 =????????????????????????(
( A) 1:1 ( B ) 2:1 (C ) 3:2 ( D) 4:1

).

? x, 0 ? x ? 1, ? 18.(理)函数 f ( x) 的定义域为实数集 R , f ( x) ? ? 1 x 对于任意的 x ? R 都有 ( ) ? 1, ? 1 ? x ? 0. ? ? 2 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) .若在区间 [?1,3] 上函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 恰有四个不同的零点,则实数 m 的取值范围是????????????????( ).
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? 1? ( A) ?0, ? ? 2?

? 1? ( B ) ?0, ? ? 4?

? 1? (C ) ? 0, ? ? 2?

? 1? ( D) ? 0, ? ? 4?

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 19. (本题满分 12 分) (理)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?CAD ? 90? , PA ? 平面

ABCD , PA ? BC ? 1 , AB ? 2 , F 是 BC
P

的中点. (1) 求证: DA ? 平面 PAC ; (2)若以 A 为坐标原点,射线 AC 、 AD 、 AP 分别是 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直 角坐标系, 已经计算得 n ? (1,1,1) 是平面 PCD 的
C F 法向量, 求平面 PAF 与平面 PCD 所成锐二面角 B 的余弦值. 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 某公司承建扇环面形状的花坛如图所示, 该扇环面花坛是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧 AD 、 A D

弧 BC 以及两条线段 AB 和 CD 围成的封闭图形.花坛设计周 长为 30 米,其中大圆弧 AD 所在圆的半径为 10 米.设小圆弧 ,圆心角为 ? 弧度. BC 所在圆的半径为 x 米( 0 ? x ? 10 ) (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)在对花坛的边缘进行装饰时,已知两条线段的装饰费 用为 4 元/米,两条弧线部分的装饰费用为 9 元/米.设花 坛的面积与装饰总费用的比为 y ,当 x 为何值时, y 取得最 大值? 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分, 第 2 小题满分 9 分 (理)已知椭圆 C : A B D

?
O (第 20 题图)

C

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,短轴的端点分别为 B1, B2 ,且 a 2 b2

FB1 ? FB2 ? ?a .
(1)求椭圆 C 的方程;

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(2)过点 F 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,弦 MN 的垂直平分线与 x 轴相交于点

D .设弦 MN 的中点为 P ,试求

DP MN

的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 (理)设函数 g ( x) ? 3 x , h( x) ? 9 x . (1) 解方程: x ? log3 (2g ( x) ? 8) ? log3 (h( x) ? 9) ; (2)令 p( x) ?

g ( x) g ( x) ? 3

, q( x) ?

3 ,求证: h( x ) ? 3

p(

1 2 2012 2013 1 2 2012 2013 ) ? p( ) ? ? ? p( ) ? p( ) ? q( ) ? q( ) ? ? ? q( ) ? q( ) (3) 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014

若 f ( x) ?

g ( x ? 1) ? a 是实数集 R 上的奇函数,且 f (h( x) ? 1) ? f (2 ? k ? g ( x)) ? 0 对任意实数 x g ( x) ? b

恒成立,求实数 k 的取值范围. 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 (理)设各项都是正整数的无穷数列 ?an ? 满足:对任意 n ? N ,有 an ? a n ?1 .记 bn ? aan .
*

(1)若数列 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 2 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 bn ? 3n ,证明: a1 ? 2 ; (3)若数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , c n ? aa n ?1 , ?cn ? 是公差为 1 的等差数列.记 d n ? ?2 n ? an ,
n?1 问: 使 S n ? n ? 2 ? 50 成立的最小正整数 n 是否存在?并说明理由. Sn ? d1 ? d2 ? ? ? dn ?1 ? dn ,

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四区 2013 学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答
参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的 精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考 生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的 概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 理 1.2; 3.35; 2. 2 4. 12? 2014.04

5. ??1,1? ;6. x ? y ? 3 ? 0 7. 2 2 ; 8. 9. ?

1 4

? x ? 4 cos? , 13 ( ? 为参数) ;10. 8 ? y ? 4 sin ? ,
10 30 15 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 56 56 56 56 8

11. E? ? 0 ? 12.3. 13.

3 2 1 10 4. 12?

14. sin 2? ? 3.35;

5. ??1,1? ;6. {?

5? ? ? ? ,? , , } 6 2 6 2

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7. x ? y ? 3 ? 0 ; 8. 2 2 9.

7 ; 3
2

10.

1 4

1 2 C5 C3 15 y2 ? 1; 12. 3 ? 11. x ? C8 56 3

? a?c ? ? 2? ? a?c ? 13.当 ac ? ?1 时, ? 2 ? ? ? ? lim? 2 ? ?0; 2 ? n?? a ? c 2 ?a ?c ? ?6? ? ?
当 ac ? 1 时, a ? c 舍去. 14. (0, ] 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的 相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.D;16.B;17.C;18.理 D; 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤 . 19. (理) A(0, 0, 0), C (1, 0, 0), B(1, ?1, 0), D(0,1, 0), F (1, ? , 0), P(0, 0,1) . (1) 证明方法一:Q 四

n

n

n

1 4

1 2

边形是平行四边形, Q PA ? 平面 ABCD ? PA ? DA ,又 AC ? DA , AC I PA ? A ,
? DA ? 平面 PAC . uuu r 方法二:证得 DA 是平面 PAC 的一个法向量,? DA ? 平面 PAC .

(2) 通 过 平 面 几 何 图 形 性 质 或 者 解 线 性 方 程 组 , 计 算 得 平 面 PAF 一 个 法 向 量 为 u r , m ? (1, 2, 0 ) u r r u r r r | m?n | 15 r r ? 又平面 PCD 法向量为 n ? (1,1,1) ,所以 cos ? m, n ?? u 5 | m || n |
? 所求二面角的余弦值为
15 . 5

20.(1)设扇环的圆心角为 ?,则 30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) , 所以 ? ?
10 ? 2 x , 10 ? x

(2) 花坛的面积为
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1 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) . 2

装饰总费用为 9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10x , 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y = 令 t ? 17 ? x ,则 y ? 此时 x ? 1,? ?
12 . 11
? x 2 ? 5 x ? 50 x 2 ? 5 x ? 50 =? , 170 ? 10 x 10(17 ? x)

39 1 324 3 ? (t ? ) ≤ ,当且仅当 t=18 时取等号, 10 10 t 10

答:当 x ? 1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 21.理(1)依题意不妨设 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) ,则 FB1 ? (?1, ?b) , FB2 ? (?1, b) . 由 FB1 ? FB2 ? ?a ,得 1 ? b 2 ? ?a .
2 2 又因为 a ? b ? 1,

解得 a ? 2, b ? 3 . 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(2)依题意直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? ? 4 3
8k 2 4k 2 ? 12 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
所以弦 MN 的中点为

P(

4k 2 ?3k , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
2

所以 MN ?

64k 4 4(4k 2 ? 12) ? (k ? 1)[ ? ] (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2

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?

12(k 2 ? 1) . 4k 2 ? 3
3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ), 4k 2 ? 3 k 4k 2 ? 3

直线 PD 的方程为 y ?

由 y ? 0 ,得 x ?

k2 k2 D ( ,0) , ,则 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

所以 DP ?

3 k 2 (k 2 ? 1) . 4k 2 ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) DP k2 1 1 4k 2 ? 3 ? 1 ? 所以 . ? 1? 2 2 2 12(k ? 1) MN 4 k ?1 4 k ?1 4k 2 ? 3
2 又因为 k ? 1 ? 1,所以 0 ?

1 ?1. k ?1
2

所以 0 ?

1 1 1 1? 2 ? . 4 k ?1 4
的取值范围是 (0, ) .

所以

DP MN

1 4

x 22.理(1) 3 x ? (2 ? 3 x ? 8) ? 9 x ? 9 , 3 ? 9 , x ? 2

(2) p(

1007 1 3 1 1007 1 3 1 ) ? q( ) ? ? . ) ? p( ) ? ? , q( 2014 2 6 2 2014 2 2 3 2

因为 p( x) ? p(1 ? x) ?

3x 3x ? 3

?

31? x 31? x ? 3

?

3x 3x ? 3

?

3 3x ? 3

? 1,

q( x) ? q(1 ? x) ?
所以, p (

9x 91? x 9x 3 ? ? ? x ?1 x 1? x x 9 ?3 9 ?3 9 ?3 9 ?3

1 2 2013 1 ) ? p( ) ? ? ? p( ) ? 1006 ? , 2014 2014 2014 2 1 2 2013 1 q( ) ? q( ) ? ? ? q( ) ? 1006 ? . 2014 2014 2014 2
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p(

1 2 2013 1 2 2013 ) ? p( ) ? ? ? p( ) = q( ) ? q( ) ? ? ? q( ). 2014 2014 2014 2014 2014 2014

(3)因为 f ( x) ?

? ( x ? 1) ? a 是实数集上的奇函数,所以 a ? ?3, b ? 1 . ? ( x) ? b

f ( x) ? 3(1 ?

2 ) , f ( x) 在实数集上单调递增. 3 ?1
x

由 f (h( x) ? 1) ? f (2 ? k ? g ( x)) ? 0 得 f (h( x) ? 1) ? ? f (2 ? k ? g ( x)) ,又因为 f ( x) 是实数集上的奇函 数,所以, f (h( x) ? 1) ? f (k ? g ( x) ? 2) , 又因为 f ( x) 在实数集上单调递增,所以 h( x) ? 1 ? k ? g ( x) ? 2 即3
2x

? 1 ? k ? 3 x ? 2 对任意的 x ? R 都成立,

x 即k ? 3 ?

1 对任意的 x ? R 都成立, k ? 2 . 3x

23.理(1) b1 ? aa1 ? a1 ? 1 ,

bn ? a an ? a 2n ?1 ? 2

2 n ?1 ?1

4 n?1 ? ; 2

(2)根据反证法排除 a1 ? 1 和 a1 ? 3 (a1 ? N * ) 证明:假设 a1 ? 2 ,又 an ? N * ,所以 a1 ? 1 或 a1 ? 3 (a1 ? N * ) ①当 a1 ? 1 时, b1 ? aa1 ? a1 ? 1 与 b1 ? 3 矛盾,所以 a1 ? 1 ; ②当 a1 ? 3 (a1 ? N * ) 时, 即 a1 ? 3 ? b1 ? aa1 , 即 a1 ? aa1 , 又 an ? a n ?1 , 所以 a1 ? 1 与 a1 ? 3 (a1 ? N * ) 矛盾; 由①②可知 a1 ? 2 . (3)首先 ?an ? 是公差为 1 的等差数列, 证明如下:

an?1 ? an ? n ? 2, n ? N * 时 an ? an?1 ,
所以 an ? an?1 ? 1 ? an ? am ? (n ? m) , (m ? n , m、n ? N * )

? aan?1 ?1 ? aan ?1 ? [an?1 ? 1 ? (an ? 1)] 即 cn?1 ? cn ? an?1 ? an
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由题设 1 ? an?1 ? an 又 an?1 ? an ? 1 ? an?1 ? an ? 1 即 ?an ? 是等差数列.又 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,所以 an ? n , S n ? ?(2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ) , 对此式两边乘以 2,得

2S n ? ?22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1
两式相减得 S n ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? n ? 2 n?1 ? 2

S n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 , S n ? n ? 2 n?1 ? 50 即 2 n?1 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2 n?1 ? 64 ? 52 ,即存在最
小正整数 5 使得 S n ? n ? 2 n?1 ? 50 成立. 注:也可以归纳猜想后用数学归纳法证明 an ? n .

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