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2014-2015学年甘肃省张掖市民乐一中高二(下)第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年甘肃省张掖市民乐一中高二(下)第一次月考数 学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 A. 的共轭复数为( B. ) C. D.

2.若 f′(x0)=2,则 A. 2 B. 1

=(



C.

r />D. 无法确定

3.在 100 件产品中,有 3 件是次品,现从中任意抽取 5 件,其中至少有 2 件次品的取法种 数为( ) A. C. B. D.

4.在数学归纳法的递推性证明中由假设 n=k 时成立推导 n=k+1 时成立时 f(n) =1+ + +…+ A. 1 增加的项数是( B. 2 +1
k

) C. 2 ﹣1
k

D. 2

k

5. (理) 有 5 个人排成一排, 其中甲与乙不相邻, 而丙与丁相邻, 则不同的排法种数为 ( A. 72 B. 48 C. 24 D. 60 6. 展开式中的常数项为( A. 第 5 项
2 3 4



) C. 第 5 项或第 6 项
12

B. 第 6 项
2

D. 不存在

7.设(1+x+x +x ) =a0+a1x+a2x +…+a12x ,则 a0=( ) A. 256 B. 0 C. ﹣1

D. 1

8.假设洗小水壶需一分钟,烧开水需 15 分钟,洗茶杯需 3 分钟,取放茶叶需 2 分钟,泡茶 需 1 分钟则上述“喝茶问题”中至少需多少分钟才可以喝上茶?( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

9.定积分 A.



﹣x)dx 等于( B. ﹣1
7

) C.
8 3

D.

10.在(1﹣x) +(1﹣x) +(1﹣x) +(1﹣x) 的展开式中,含 x 的项的系数是( A. 74 B. 121 C. ﹣74 D. ﹣121 11.在曲线 y=x (x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 这个切线方程是. ( A. y=﹣2x﹣1
3 2

5

6



,则

) B. y=﹣2x+1
2

C. y=2x﹣1

D. y=2x+1 )

12.已知函数 f(x)=x ﹣px ﹣qx 的图象与 x 轴切于点(1,0) ,则 f(x)的极值为( A. 极大值为 C. 极小值为﹣ ,极小值为 0 ,极大值为 0 B. 极大值为 0,极小值为 D. 极大值为﹣ ,极小值为 0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若(a﹣2i)i=b﹣i,其中 a,b∈R,i 使虚数单位,则 a +b = 14. (x +2x+1)dx=
2 2 2





15.二项式 开式有理项的项数是

(n∈N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展 .

16.如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两 个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有 种(用 数字作答) .

三、解答题: (17 题 10 分,18~22 每题 12 分,共 70 分) 17.如图,阴影部分区域是由函数 y=cosx 的图象,直线 y=1,x=π 围成,求这阴影部分区 域面积.

18.已知

的二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512,

(1)求展开式的所有有理项(指数为整数) . 3 4 n 2 (2)求(1﹣x) +(1﹣x) +…+(1﹣x) 展开式中 x 项的系数. 19.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x +1) (x+a) . (1)若 f′(﹣1)=0,求函数 y=f(x)在[﹣ ,1]上的极大值和极小值; (2)若函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围. 20.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字: (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的五位数? (3)能组成多少个无重复数字且比 1325 大的四位数?(以上各问均用数字作答) 21.数列{an}满足 Sn=2n﹣an(n∈N) (Ⅰ)计算 a1,a2,a3,a4; (Ⅱ)猜想通项公式 an,并用数学归纳法证明. 22.已知函数 在 x=1 处取得极值 2.
2

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(m,2m+1)上是单调函数,求实数 m 的取值范围.

2014-2015 学年甘肃省张掖市民乐一中高二(下)第一次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 A. 的共轭复数为( B. ) C. D.

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:先利用两个复数的除法法则求出复数 其共轭复数. 解答: 解: 复数 复数为﹣ ﹣ i, 故选 B. 点评:本题考查两个复数代数形式的乘除法, 两个复数相除, 分子和分母同时除以分母的共 轭复数. = = =﹣ + i, ∴复数 的共轭 的最简形式, 再利用共轭复数的定义求出

2.若 f′(x0)=2,则 A. 2 B. 1

=(



C.

D. 无法确定

考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据导数的定义将进行进行转化即可. 解答: 解: = = f′(x0)

=



故选:B 点评:本题主要考查导数的计算,根据导数的极限定义是解决本题的关键.

3.在 100 件产品中,有 3 件是次品,现从中任意抽取 5 件,其中至少有 2 件次品的取法种 数为( ) A. C. B. D.

考点:排列、组合的实际应用. 专题:计算题. 分析:根据题意,“至少有 2 件次品”可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两种情况,由组合 数公式分别求得两种情况下的抽法数,进而相加可得答案. 解答: 解:根据题意,“至少有 2 件次品”可分为“有 2 件次品”与“有 3 件次品”两种情况, “有 2 件次品”的抽取方法有 C3 C97 种, 3 2 “有 3 件次品”的抽取方法有 C3 C97 种, 2 3 3 2 则共有 C3 C97 +C3 C97 种不同的抽取方法, 故选 B. 点评:本题考查组合数公式的运用,解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类 讨论. 4.在数学归纳法的递推性证明中由假设 n=k 时成立推导 n=k+1 时成立时 f(n) =1+ + +…+ A. 1 增加的项数是( B. 2 +1
k 2 3

) C. 2 ﹣1
k

D. 2

k

考点:数学归纳法. 专题:证明题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析:当 n=k 成立,f(k)=1+ + +…+ ,当 n=k+1 时,f(k)

=1+ + +…+

+

+…+

,观察计算即可.

解答: 解:假设 n=k 时成立,即 f(k)=1+ + +…+



则 n=k+1 成立时,有 f(k)=1+ + +…+
k k k

+
k

+…+



∴左边增加的项数是(2 +2 ﹣1)﹣(2 ﹣1)=2 . 故选:D. 点评:本题考查数学归纳法,考查 n=k 到 n=k+1 成立时左边项数的变化情况,考查理解与 应用的能力,属于中档题.

5. (理) 有 5 个人排成一排, 其中甲与乙不相邻, 而丙与丁相邻, 则不同的排法种数为 ( A. 72 B. 48 C. 24 D. 60



考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题. 分析:首先丙丁采取捆绑法看做一个人,排法有 24 种,丙丁顺序不同,所以现在是 48 种排 法.因为有甲乙相邻的情况在里面,利用相同的方法求出甲乙相邻的情况,所以可得答案. 解答: 解:首先丙丁采取捆绑法,看做一个人,排法有 4×3×2×1=24 种,丙丁顺序不同, 再乘以 2,所以现在是 2×24=48 种排法. 又因为有甲乙相邻的情况在里面,所以把甲乙也看成一个,这就剩三人排了共有 3×2×1=6 中排法,再考虑甲乙顺序、丙丁顺序则共有 3×2×1×2×2=24 中排法. 所以最后作差可得不同的排法种数为 24 种. 故选 C. 点评:解决此类问题的关键是特殊元素优先考虑, 不同的问题利用不同的方法解决如相邻问 题用捆绑,不相邻问题用插空等方法.

6.

展开式中的常数项为( A. 第 5 项 B. 第 6 项

) C. 第 5 项或第 6 项 D. 不存在

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题. 分析:根据题意,写出 由项数与 r 的关系,可得答案. 解答: 解:根据题意,
10﹣2r

展开式中的通项为 Tr+1,令 x 的指数为 0,可得 r 的值,

展开式中的通项为 Tr+1=C10 (x)

r

10﹣r

( ) =C10 (x)

r

r

, 令 10﹣2r=0,可得 r=5; 则其常数项为第 5+1=6 项; 故选 B. 点评:本题考查二项式系数的性质, 解题的关键是正确应用二项式定理, 写出二项式展开式, 其次注意项数值与 r 的关系. 7.设(1+x+x +x ) =a0+a1x+a2x +…+a12x ,则 a0=( ) A. 256 B. 0 C. ﹣1 考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:利用赋值法,令 x=0 即可得到结论. 2 3 4 2 12 解答: 解:∵(1+x+x +x ) =a0+a1x+a2x +…+a12x , ∴令 x=0 得 1=a0, 即 a0=1, 故选:D
2 3 4 2 12

D. 1

点评:本题主要考查二项式定理的应用,利用赋值法是解决本题的关键. 8.假设洗小水壶需一分钟,烧开水需 15 分钟,洗茶杯需 3 分钟,取放茶叶需 2 分钟,泡茶 需 1 分钟则上述“喝茶问题”中至少需多少分钟才可以喝上茶?( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 考点:流程图的作用. 专题:算法和程序框图. 分析:根据统筹安排,在烧水的过程中,洗茶杯需 3 分钟,取放茶叶需 2 分钟,即可得到结 论. 解答: 解:洗小水壶需 1 分钟,烧开水需 15 分钟, (在烧水的过程中,可以洗茶杯,取放 茶叶) , 烧开水后泡茶需 1 分钟, 则共相应 1+15+1=17 分钟, 故选:B 点评:本题主要考查统筹安排,比较基础. 9.定积分 A. ( ﹣x)dx 等于( B. ﹣1 ) C. D.

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:先利用定积分的几何意义计算 决. 解答: 解:由定积分的几何意义知 的圆的一半, 故 (﹣x)dx= ∴ ( dx= , = ﹣x)dx= , = . dx 即是以(1,0)为圆心,以 1 为半径 dx,再求出 (﹣x)dx,问题得以解

故选:D 点评:本题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识,考查考查数形结合 思想.属于基础题. 10.在(1﹣x) +(1﹣x) +(1﹣x) +(1﹣x) 的展开式中,含 x 的项的系数是( A. 74 B. 121 C. ﹣74 D. ﹣121 考点:二项式系数的性质.
5 6 7 8 3



专题:计算题. 分析:;利用二项展开式的通项公式,分别求出的四部分中含 x 的项的系数,再求出它们 的和. 5 6 7 8 3 解答: 解: (1﹣x) +(1﹣x) +(1﹣x) +(1﹣x) 的展开式中,含 x 的项的系数
3

=﹣10+(﹣20)+(﹣35)+(﹣56) =﹣121 故选 D 点评:本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题属于基础题.
2

11.在曲线 y=x (x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 这个切线方程是. ( A. y=﹣2x﹣1 ) B. y=﹣2x+1

,则

C. y=2x﹣1

D. y=2x+1

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 2 分析:先求切点 A 的坐标,设点 A 的坐标为(a,a ) ,故先利用导数求出在切点处的导函 数值, 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率, 从而得到切线的方程进而求得面积的表 达式.建立关于 a 的方程解之即得.最后求出其斜率的值即可,即导数值即可求出切线的斜 率.从而问题解决. 解答: 解:设点 A 的坐标为(a,a ) , 过点 A 的切线的斜率为 k=y'|x=a=2a, 2 故过点 A 的切线 l 的方程为 y﹣a =2a(x﹣a) , 即 y=2ax﹣a ,令 y=0,得 x= , 则 S=S△ ABO﹣S△ ABC=﹣( ? ?a ﹣ ∴a=1, ∴切点 A 的坐标为(1,1) ,k=2, ∴过切点 A 的切线方程是 y=2x﹣1. 故选 C.
2 2 2

x dx)=

2



=

=



点评:本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、 定积分的应用、 直线的方程等基础 知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题. 12.已知函数 f(x)=x ﹣px ﹣qx 的图象与 x 轴切于点(1,0) ,则 f(x)的极值为( A. 极大值为 ,极小值为 0 B. 极大值为 0,极小值为
3 2



C. 极小值为﹣

,极大值为 0

D. 极大值为﹣

,极小值为 0

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的概念及应用. 分析:因为 f(x)与 x 轴相切且切点为(1,0)则(1,0)代入到 f(x)中得到 p+q=1; 又因为相切时函数与 x 轴只有一个交点即根的判别式=0 得 p +4q=0,解出 p、q 的值确定出 f(x) ,求出导数找出驻点分区间讨论函数的增减性找出函数的极值即可. 2 解答: 解:f′(x)=3x ﹣2px﹣q, 由函数 f(x)的图象与 x 轴切于点(1,0)得: 2 p+q=1,∴q=1﹣p①,p +4q=0②, 2 将①代入②中得:p ﹣4p+4=0, 解出 p=2,q=﹣1, 3 2 则函数 f(x)=x ﹣2x +x 则 f′(x)=3x ﹣4x+1 令其=0 得到:x=1 或 x= , ①当 x≤ 时,f′(x)<0,f(x)单调减,极值=f( )= ,
2 2

②当 x≥1 时,f′(x)>0,f(x)函数单调增,极值为 f(1)=0 故比较大小得:f(x)的极大值为 ,极小值为 0.

故选:A. 点评:考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,考查学生利用导数研究函数的极 值的能力. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 2 13.若(a﹣2i)i=b﹣i,其中 a,b∈R,i 使虚数单位,则 a +b = 考点:复数相等的充要条件. 专题:计算题. 分析:由题意可得 2+ai=b﹣i,故有 ,由此求得 a +b 的值. ,∴a +b =5,
2 2 2 2

5 .

解答: 解:∵(a﹣2i)i=b﹣i,即 2+ai=b﹣i,∴

故答案为 5. 点评:本题主要考查两个复数相等的充要条件,属于基础题.
2

14.

(x +2x+1)dx=



考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据微积分基本定理计算即可

解答: 解: dx= 故答案为: .

(x +2x+1) = = .

2

点评:本题主要考查了微积分基本定理,关键是找到原函数,属于基础题.

15.二项式 开式有理项的项数是 3 . 考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:由条件可得 2 ?2

(n∈N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展

n﹣1

=

?2 +

n

?2

n﹣2

,求得 n 的值,在

的展开

式的通项公式中,令 x 的幂指数为整数,求得 r 的值,可得此展开式有理项的项数. 解答: 解:由题意可得 即2 ?2
n﹣1

?2 、
n﹣2

n

?2

n﹣1


2

?2

n﹣2

成等差数列,

=

?2 +

n

?2

,化简可得 n ﹣9n+8=0,

解得 n=8,或 n=1(舍去) . 故二项式 = 的展开式的通项公式为 Tr+1= ?2
8﹣

r

?

, 为整数,可得 r=0,4,8,



故此展开式有理项的项数是 3, 故答案为:3. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属 于基础题. 16.如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两 个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有 630 种(用数字 作答) .

考点:排列、组合的实际应用.

专题:计算题;压轴题;分类讨论. 分析:根据题意, 要求相邻的两个格子颜色不同, 故用到颜色最少为 2 种, 则分用 2 种颜色、 3 种颜色、4 种颜色 3 种情况讨论,分析计算各种情况下的情况数目,由分类计数原理计算 可得答案. 解答: 解:根据题意,分为三类: 2 2 第一类是只用两种颜色则为:C6 A2 =30 种, 3 1 1 1 第二类是用三种颜色则为:C6 C3 C2 C2 =240 种, 4 4 第三类是用四种颜色则为:C6 A4 =360 种, 由分类计数原理,共计为 30+240+360=630 种, 故答案为 630. 点评:本题考查组合、排列的综合应用与分类计数原理的运用,注意分类时,明确分类的标 准,做到不重不漏. 三、解答题: (17 题 10 分,18~22 每题 12 分,共 70 分) 17.如图,阴影部分区域是由函数 y=cosx 的图象,直线 y=1,x=π 围成,求这阴影部分区 域面积.

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析:由题意,所求阴影部分的面积为 ,计算即可.

解答: 解:所求图形面积由 f(x)=cosx,y=1,x=π 围成的, 所以 S= =(x﹣sinx)| =π.

点评:本题考查了利用定积分求曲线围成的面积; 关键是正确利用定积分表示出面积, 然后 计算.

18.已知

的二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512,

(1)求展开式的所有有理项(指数为整数) . 3 4 n 2 (2)求(1﹣x) +(1﹣x) +…+(1﹣x) 展开式中 x 项的系数. 考点:二项式定理;二项式系数的性质. 专题:计算题.

分析: (1)根据二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512,写出所有系数的和的表示 形式,得到 n=10,写出通项式,使得通项式中 x 的指数等于整数,求出所有的项. (2)根据二项式系数的性质,变形整理把一项移项,写出展开式中 x 项的系数,把系数写 成两项的差,依次相加得到结果. 解答: 解: (1)Cn +Cn +…=2 ∴n﹣1=9,n=10
0 2 n﹣1 2

=512=2

9

= ∵5﹣ Z,∴r=0,6
0 5 6 4 4

(r=0,1,10)

有理项为 T1=C10 x ,T7=C10 x =210x r r﹣1 r (2)∵Cn +Cn =Cn+1 , 2 2 2 2 3 3 3 3 ∴x 项的系数为 C3 +C4 +…+C10 =(C4 ﹣C3 )+…+(C11 ﹣C10 ) 3 3 =C11 ﹣C3 =164 点评:本题考查二项式定理, 解题的关键是对于二项式性质的变形应用, 然后依次合并同类 项,得到最简结果. 19.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x +1) (x+a) . (1)若 f′(﹣1)=0,求函数 y=f(x)在[﹣ ,1]上的极大值和极小值; (2)若函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先对函数进行求导,f′(﹣1)=0,即可求出 a 的值,再利用导数求出函数的 单调区间,继而得到函数 y=f(x)在[﹣ ,1]上的极大值和极小值; (2)由于函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,得到 f′(x)=0 有实数解,再由△ ≥0, 即可求出 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵f′(﹣1)=0,∴3﹣2a+1=0,即 a=2, ∴f′(x)=3x +4x+1=3(x+ ) (x+1) , 由 f′(x)>0,得 x<﹣1 或 x>﹣ , 由 f′(x)<0,得:﹣1<x<﹣ , 因此,函数 f(x)的单调增区间为(﹣ ,﹣1) , (﹣ ,1) ;单调减区间为(﹣1,﹣ ) , f(x)在 x=﹣1 取得极大值为 f(﹣1)=2;f(x)在 x=﹣ 取得极小值为 f(﹣ )= (Ⅱ)∵f(x)=x +ax +x+a,∴f′(x)=3x +2ax+1, ∵函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,∴f′(x)=0 有实数解, 2 ∴△=4a ﹣12≥0,∴a> 或 a<﹣ ,
3 2 2 2 2



因此,所求实数 a 的取值范围是(﹣∞,0 ]∪[ ,+∞) . 点评:本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义, 以及利用导数解决函数 在闭区间上的最值问题,属于中档题. 20.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字: (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的五位数? (3)能组成多少个无重复数字且比 1325 大的四位数?(以上各问均用数字作答) 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题;分类讨论;分类法. 分析: (1)由题意符合要求的四位偶数可分为三类:0 在个位,2 在个位,4 在个位,对 每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数; (2)符合要求的数可分为两类:个位数上的数字是 0 的五位数与个位数字是 5 的五位数, 分类计数再求它们的和; (3)由题意,符合要求的比 1325 大的四位数可分为三类,第一类,首位比 1 大的数,第二 类首位是 1,第二位比三大的数,第三类是前两位是 13,第三位比 2 大的数,分类计数再求 和. 解答: 解: (1)符合要求的四位偶数可分为三类: 3 第一类:0 在个位时有 A5 个; 1 第二类:2 在个位时,首位从 1,3,4,5 中选定 1 个(有 A4 种) ,十位和百位从余下的数 字中选(有 A4 种) ,于是有
2

个; 个. 个.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

第三类:4 在个位时,与第二类同理,也有 由分类加法计数原理知,共有四位偶数:

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) 4 (2)符合要求的数可分为两类:个位数上的数字是 0 的五位数有 A5 个;个位数上的数字 是 5 的五位数有 个.故满足条件的五位数的个数共有 个.﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) (3)符合要求的比 1325 大的四位数可分为三类: 第一类:形如 2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共 第二类:形如 14□□,15□□,共有 第三类:形如 134□,135□,共有 个; 个; 个;

由分类加法计数原理知,无重复数字且比 1325 大的四位数共有: 个.﹣﹣﹣(12 分)

点评:本题考查分类计数及简单计数问题, 解题的关键是理解所研究的事件, 对计数问题分 类计数,本题考查了分类讨论的思想,以及运用排列组合数公式进行计算的能力,本题是计 数问题中运算量较大的题,要注意准确运用分类原理与分步原理计数 21.数列{an}满足 Sn=2n﹣an(n∈N) (Ⅰ)计算 a1,a2,a3,a4; (Ⅱ)猜想通项公式 an,并用数学归纳法证明. 考点:数学归纳法. 专题:计算题;证明题. 分析: (I)根据 Sn=2n﹣an,利用递推公式,求出 a1,a2,a3,a4. (II)总结出规律求出 an,然后利用归纳法进行证明,检验 n=1 时等式成立,假设 n=k 时命 题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 解答: 解: (Ⅰ)由 a1=2﹣a1,得 a1=1, 由 a1+a2=2×2﹣a2,得 a2= , 由 a1+a2+a3=2×3﹣a3,得 a3= , 由 a1+a2+a3+a4=2×4﹣a4,得 a4= ,

猜想 an= (Ⅱ)证明: (1)当 n=1,由上面计算可知猜想成立, (2)假设 n=k 时猜想成立,即 ak= ,

此时 Sk=2k﹣ak=2k﹣



当 n=k+1 时,S k+1=2(k+1)﹣a k+1,得 Sk+ak+1=2(k+1)﹣ak+1, 因此 ak+1= [2(k+1)﹣Sk]=k+1﹣ (2k﹣ ∴当 n=k+1 时也成立, ∴an= (n∈N ) .
+

)=



点评:此题主要考查归纳法的证明,归纳法一般三个步骤: (1)验证 n=1 成立; (2)假设 n=k 成立; (3)利用已知条件证明 n=k+1 也成立,从而求证,这是数列的通项一种常用求解 的方法. 22.已知函数 在 x=1 处取得极值 2.

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(m,2m+1)上是单调函数,求实数 m 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:分类讨论;方程思想;转化思想. 分析: (I)由题意对函数求导,然后利用极值的概念列出 a,b 的方程,在求解即可 (II)由题意应该先求具体函数的单调区间,然后利用已知的条件及集合的思想,建立的 m 取值范围的不等式組求解即可 解答: 解:求导, 又 f(x)在 x=1 处取得极值 2, ,

所以





解得 所以 .

(Ⅱ)因为



又 f(x)的定义域是 R,所以由 f'(x)>0, 得﹣1<x<1.所以 f(x)在[﹣1,1]上单调递增, 在(﹣∞,﹣1]和[1,+∞)上单调递减. (1) 当 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增,



解得﹣1<m≤0;

(2)当 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递减, 则 或 解得 m≥1.

综上,实数 m 的取值范围是﹣1<m≤0 或 m≥1. 点评: (I)考查了函数的求导及极值的概念,还考查了利用方程求解的思想. (II)考查了利用导函数函数求其单调区间,及由题意把所求问题等价转化为集合中两个集 合子集的关系,还考查了数学中常用的分类讨论的思想.


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