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山西省太原五中2014届高三4月月考数学理试题 Word版含答案


太 高 三

原 数



中 学(理)

5.定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 s 值, 则 ? 2cos

2013—2014 学年度第二学期月考(4 月)

? ?

5? ? ? 5? ? ? ? ? 2 tan ? 的值为 3 ? ? 4 ?

A.4 B.3 C.2 D.―1 6. 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? x x 2 ? x ? 6 ? 0 ,集合 B 为函数 y ?

c ? 4 2,B ? 45? ,面积 S ? 2 ,则 b 等于( 113 A. B.5 C. 41 2
7. 若将函数 f ( x) ? x 5 表示为

) D.25

?

?

1 x ?1

错误! 未找到引用源。 的定

f ( x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) 2 ? ? ? a5 (1 ? x) 5 ,其中 a0 , a1 , a2 ,?, a5 为实数,则 ). a3 ? (
A. 15 B.5 C. 10 D.20

义域,则 A ? B ? 错误!未找到引用源。 ( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 引用源。 D.错误!未找到引用源。 2.若复数 z 满足: iz ? 3 ? 4i ,则 z ? ( A.1 3.将函数 y ? sin( x ? B.2

C.错误!未找到


C. 5 D.5

?
6

)( x ? R ) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把图象上 4


? ?|sin x|,x∈[-π,π], 8. 已知函数 f(x)=? x1,x2,x3,x4,x5 是方程 f(x)=m 的五个不等 ?lg x,x>π, ? 的实数根,则 x1+x2+x3+x4+x5 的取值范围是 ( )

A.(0,π) C.(lg π,1) 9.

B.(-π,π) D.(π,10)

各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象的解析式为( A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ?

x ? )( x ? R) 2 12

5? )( x ? R) 12

B. y ? sin( ?

x 5? )( x ? R ) 2 12 x 5? )( x ? R ) D. y ? sin( ? 2 24

4.下列命题中正确命题的个数是( ) 2 2 (1)对于命题 p : ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ; ( 2 ) m ? 3 是直线 (m ? 3) x ? m y ? 2 ? 0 与直线 m x ? 6 y ? 5 ? 0 互相垂直的充要条 件;

1 1 若数列{an}满足 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已 an+1 an 1 知正项数列{ }为“调和数列”,且 b1+b2+?+b9=90,则 b4· b6 的最大值是 ( ) bn A.10 B.100 C.200 D.400

? (3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 y =1.23x+0.08
(4) 曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积是 S ?
2

10.已知双曲线 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 5 ,抛物线 y ? x 2 ? 1 与双 2 16 a b
)

曲线 C 的渐近线相切,则双曲线 C 的方程为(

? ( x ? x )dx
2 0

1

A.2

B.3

C.4

D.1

x y ? ?1 8 2 x2 ? y2 ? 1 C. 4
A.

2

2

x y ? ?1 2 8 y2 2 ?1 D. x ? 4
B.

2

2

11. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果,且从这周的第二天开始, 每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少 一个” ,那么,小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( ) A.50 种 B.51 种 C.140 种 D.141 种 12. 如图所示, 正方体 ABCD ? A?B?C ?D ? 的棱长为 1, E , F 分别是棱 AA? ,CC ? 的中点, 过直线 E , F 的平面分别与棱 BB? 、 DD? 交于 M , N ,设 BM ? x , x ? [0,1] ,给出以下 四个命题: D' ①平面 MENF ? 平面 BDD?B? ;

15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为



1 ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; 2 MENF ③四边形 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; ④四棱锥 C ? ? MENF 的体积 V ? h( x ) 为常函数;
以上命题中假命题 的序号为( ... A.①④ B.② C.③ D.③④ )
E

C'

N A' B' F

16. 如图,在平行四边形 ABCD 中, BH ? CD 于点 H , BH 交 AC 于点 E ,
D M B C

已知 BE ? 3 , AB ? AC ? AB ? CB ? AE ? 15,则

2

AE EC

? __________.

A

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答,第 22-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知等比数列 { an } 的前 n 项和为 S n , an ? 0, a1 ?

2 ,且 3

3 1 1 , , 成等差数列。 a2 a3 a4 (I)求数列{ an }的通项公式; ?
(II)设数列{ bn }满足 bn log3 (1 ? Sn?1 ) ? 1 ,求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ? 1 ? 正整数 n 的值。 18. (本小题满分 12 分)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量,使用时间越长, 表明质量越好,且使用时间大于或等于 6 千小时的产品为优质品.现用 A, B 两种不同型 号的节能灯做实验,各随机抽取部分产品作为样本,得到实验结果的频率直方图如下图 所示:

1 3 2 13.在区间[-2,3]上任取一个数 a,则函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 2) x 有极值的概率 3
为 .

25 的 51

? x ? y ? 5 ? 0, ? 14.若不等式组 ? y ? kx ? 5, 表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数 k 的取值范 ?0 ? x ? 2 ?
是 . [

2 2 (II)已知圆 M: x ? y ?

2 的切线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,那么以 AB 为直径的圆 3

是否经过定点,如果是,求出定点的坐标,如果不是,请说明理由。 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x ? 2a ? 2(其中a ? 2) (1)求函数 f ( x) 的单调区间; 若以上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率. (I)现从大量的 A, B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的 概率; (II)已知 A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于 6 千小时的节能灯实行“三包”.通 过 多 年 统 计 发 现 , A 型 节 能 灯 每 件 产 品 的 利 润 y 单位:元 与 使 用 时 间 (2)若函数 f ( x) 在错误!未找到引用源。上有且只有一个零点,求实数 a 的取值范围; 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做 答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,?ABC 是直角三角形,?ABC ? 90? , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E , A 点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆;

? 的关系式如下表: t ?单位:千小时 t<4 t?6 4 ? t<6 使用时间 t (单位:千小时) 每件产品的利润 y(单位: 元) -20 20 40 若从大量的 A 型节能灯中随机抽取 2 件,其利润之和记为 X (单位:元) ,求 X 的

?

?

分布列及数学期望.

E

2 (2)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB

O M D

19. (本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, 四边形 BDEF 是矩形, 平面 BDEF⊥平面 ABCD, ?BAD ? 60 ,
?

B
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? (Ⅰ)当 ? =

C

BF=3, H 是 CF 的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求二面角 H ? BD ? C 的大小.

? x ? 1 ? t cos ? . ? x ? cos ? , (t 为参数) ,圆 C2 : ? ( ? 为参数), ? y ? t sin ? , ? y ? sin ? ,

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A , P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨

x2 y 2 2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,左右 a b 2
焦点分别为 F1,F2,抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点. (I)求椭圆 C 的方程;

迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

已知函数 f ( x ) ?| x ? a | 。 (1)若 f ( x ) ? m 的解集为 { x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a, m 的值。 (2)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? t ? f ( x ? 2) 。

高三数学(理科)答案 一、选择题 题号 1 2 3 答案 D D B 二、填空题 13. .2/5 14 (-1,0) 15

4 A

5 A

6 B

7 C

8 D

9 B

10 C

11 D

12 C

19 ? 19 2

16.3/2

三、解答题 17、

19、
又因为

AC ? 平面 ABCD ,所以 ED ? AC .

因为

ED

BD ? D ,所以 AC ? 平面 BDEF .

1 3 3 BH ? (? , , ) 2 2 2 , DB ? (2,0,0) .设平面 BDH 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , (2)解:由(Ⅱ) ,得
? ?n ? BH ? 0, ? ?n ? DB ? 0, 所以 ?
由 ED

? ? x1 ? 3 y1 ? 3 z1 ? 0, ? ? ? z ? 1, n?( 0 , ?3 , 1 ) ? 2 x1 ? 0, 即 令 1 得

.

? 平面 ABCD ,得平面 BCD 的法向量为 ED ? (0,0, ?3) ,

cos ? n, ED ??
则 知二面角 H

n ? ED n ED

?

0 ? 0 ? (? 3) ? 0 ? 1? (?3) 1 ?? 2?3 2
. . 由图可

? BD ? C 为锐角,所以二面角 H ? BD ? C 的大小为 60

20、

22.证明:22.证明: (1)连接 又 是 BC 的中点,所以



,则

又 所以



所以 所以 、 、 、

.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 四点共圆 。 。 。 。 。 。 。5 分

(2)延长

交圆

于点

因为

.。 。 。 。 。7 分 所以

所以 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

23. 【规范解答】 (I)当

时,C1 的普通方程为

,C2 的普通方程为

.

联立方程组

解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) , . ,故当 变化时, 点轨迹的参数方程为

(II)C1 的普通方程为 点坐标为



为参数)

点轨迹的普通方程为



点是圆心为

,半径为

的圆.


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