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第28讲 2008年全国高中数学联赛试题及详细解析


受中国数学会委托,2008 年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及 工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。 2008 年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部 2000 年《全日制普通高级中学数 学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对 基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。全卷包括 6 道选择题、6 道 填

空题和 3 道大题,满分 150 分。答卷时间为 100 分钟。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括 3 道大题,其中一道平面几何题,试卷满分 150 分。答卷时问为 120 分钟。 一 试

4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm ,则这三个正方体 的体积之和为 (
3

2

) 。
3

(A)764 cm 或 586 cm (C)586 cm 或 564 cm
3

(B) 764 cm (D) 586 cm
3

3

3

? x ? y ? z ? 0, 5.方程组 ? 的有理数解 ( x, y, z ) 的个数为 ( ) 。 ? xyz ? z ? 0, ? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

6.设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 成等比数列,则

sin A cot C ? cos A 的取值范围是( ) 。 sin B cot C ? cos B
(A) (0, ??) (B) (0,

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
(C) (

5 ?1 ) 2 5 ?1 (D) ( , ??) 2

11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2 x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2 x ,则 f (2008 ) =

.

12. 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四 面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远 不可能接触到的容器内壁的面积是 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 13.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx 的最大值为 ? ,求证: .

(k ? 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标

cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4?
14.解不等式

log 2 ( x12 ? 3x10 ? 5 x8 ? 3x 6 ? 1) ? 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) .

[来源:学科网][来源:Z*xx*k.Com]





一、 (本题满分 50 分) 如 图 , 给 定 凸 四 边 形 ABCD , ?B ? ?D ? 180? , P 是 平 面 上 的 动 点 , 令

f ( P) ? PA ? BC ? PD ? CA ? PC ? AB .
(1)求证:当 f ( P) 达到最小值时, P、A、B、C 四点共圆;

BC AE 3 (2)设 E 是 ?ABC 外接圆 O 的 ? , AB 上一点,满足: ? ? 3 ?1 , AB 2 EC
?ECB ? 1 ?ECA ,又 DA, DC 是 ? O 的切线, AC ? 2 ,求 f ( P) 的最小值. 2
答一图 1 二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x) 的周期且 0 ? T ? 1.证明: (1)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

1 是 f ( x) 的周期; p

( 2 ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 {an } 满 足 1 ? an ? an ?1 ? 0

(n ? 1, 2, ???) ,且每个 an

(n ? 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.

三、 (本题满分 5 0 分) 设 ak ? 0 ,k ? 1, 2,?, 2008 . 证明: 当且仅当 ? ak ? 1 时, 存在数列 { xn } 满足以下条件:
k ?1 2008

(1) 0 ? x0 ? xn ? xn ?1 , n ? 1, 2,3,? ;

(2) lim xn 存在;
n ??

(3) xn ? xn ?1 ? ? ak xn ? k ? ? ak ?1 xn ? k , n ? 1, 2,3,? .
k ?1 k ?0

2008

2007

[来源:学科网]

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一试解答

1. 【答案】C 【 解 析 】 当

x?2





2? x ? 0







f ( x) ?

1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2? x
2? x

? 2 ,当且仅当 1 ? 2 ? x 时取等号.而此方程有解 x ? 1? (??, 2) ,因此 f ( x) 在 (??, 2) 上
的最小值为 2.故选 C.

3.【答案】B

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )

2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81
P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )

2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81 5 20 16 266 因此 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? .故选 B。 9 81 81 81

4. 【答案】A

5. 【答案】 B

6.【答案】C 【解析】设 a、b、c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq 2 ,而

sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C sin( A ? C ) sin(? ? B) sin B b ? ? ? ? ? q. sin( B ? C ) sin(? ? A) sin A a
因此, 只需求 q 的取值范围. 因为 a、b、c 成等比数列, 最大边只能是 a 或 c , 因此 a、b、c 要构成三角形的三边,必须且只需 a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组 ?
2 ? ? a ? aq ? aq , 即 2 aq ? aq ? a ? ?

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ? q ? q ? 1 ? 0, 5 ?1 5 ?1 ? ? 2 2 ?q? 解得 ? 从而 ,因此所求的取 ? 2 2 2 ? ? q ? q ? 1 ? 0. ? q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2
2

值范围是 (

5 ?1 5 ?1 , ) .故选 C。 2 2

9. 【答案】222 【解析】方法一:用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如

| ???? | ??? | ?? |
表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额.若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为 一个位置, 由于左右两端必须是“|”, 故 不同的分配方法相当于 24 ? 2 ? 26 (个)位置 (两 端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”.“每校至少有一个名额的分法”相当于 在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“|”, 故有 C2 (种). 又在“每 23 ? 253 校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种.综上 知,满足条件的分配方法共有 253-31=222(种). 方法二:设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1、x2、x3 ,则每校至少 有一个名额的分法 数为不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 24 的正整数解的个数,即方程 x1 ? x2 ? x3 ? 21 的非负整数解的个

21 2 数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合: H3 .又在“每校至 ? C21 23 ? C23 ? 253

少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种.综上知, 满足条件的分配方法共有 253-31=222(种) .

11. 【答案】 2

2008

? 2007

12.【答案】 72 3

【解析】 如图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A 1 B1C1 // 平 面 ABC , 与 小 球 相 切 于 点 D , 则 小 球 球 心 O 为 正 四 面 体 P ? A 1 B1C1 的 中 心 ,

PO ? 面A1B1C1 , 垂 足 D 为 A 1 B1C1 的 中 心 . 因

1 1 VP ? A1B1C1 ? S?A1B1C1 ? PD ? 4 ?VO ? A1B1C1 ? 4 ? ? S?A1B1C1 ? OD , 3 3
故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记 此 时 小 球 与 面 PAB 的 切 点 为 P1 , 连 接 OP ,则 1
2 2 PP (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 ? PO ? OP 1 ?

考虑小球与正四面体的一个面 ( 不妨取为 PAB ) 相切时的情 况,易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角
(第 12 题图 1)

形,记为 P ,如图 2.记正四面体的棱长为 a ,过 P1 作 PM ? PA 于 M .因 ?MPP 1 EF 1 1 ? 有 PM ? PP 1 ? cos MPP 1 ? 2 2r ?

? ,
6

3 ? 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 2

PE ? PA ? 2 PM ? a ? 2 6r .小球与面 PAB 不能接触到的部分的 1
面 积 为 ( 如 图 2 中 阴 影 部 分 )

S?PAB ? S?P1EF ?

3 2 2 (a ? (a ? 2 6r ) 2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4
第 12 题图 2)

又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以 S?PAB ? S?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 .由对称性,且正四面体共 4 个 面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 .

14. 【解析】方法一:由 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故 原不等式等价于 x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 . 即 x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 2 x4 ? 1 ? 0 . 分组分解

x12 ? x10 ? x8 ?2 x10 ? 2 x8 ? 2 x6 ?4 x8 ? 4 x6 ? 4 x4 ? x6 ? x 4 ? x 2 ? x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

( x8 ? 2 x6 ? 4 x 4 ? x 2 ? 1)( x 4 ? x 2 ? 1) ? 0 ,

15. 【解析】设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C (0, c) ,不妨设 b ? c .直线 PB 的方程: y ? b ? 化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 .又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,
2 2 2 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2 x0b( y0 ? b) ? x0 b

y0 ? b x, x0
? 1 ,故

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

, 易 知

x0 ? 2

, 上 式 化 简 得

同理有 ( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,

? x0 ?2 y0 ,bc ? , x0 ? 2 x0 ? 2

则 (b ? c) 2 ?

2 2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0 4 x0 2 2 . 因 是抛物线上的点, 有 , 则 , y ? 2 x P ( x , y ) ( b ? c ) ? 0 0 0 0 ( x0 ? 2) 2 ( x0 ? 2) 2

b?c ?

2 x0 x 1 4 . 所以 S?PBC ? (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ? 4 ? 2 4 ? 4 ? 8 .当 x0 ? 2 2 x0 ? 2 x0 ? 2

( x0 ? 2)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 .因此 S ?PBC 的最小值为 8.

解 得 cos ? ?

3 1 或 cos ? ? ? (舍去) , 故 ? ? 30? , ?ACE ? 60? . 2 2 3

由已知

sin ?EAC ? 30 BC , 有 sin(?EAC ? 30? ) ? ( 3 ? 1)sin ?EAC , 即 ? 3 ?1 = sin ?EAC EC 3 1 2? 3 1 sin ?EAC ? cos ?EAC , sin ?EAC ? cos ?EAC ? ( 3 ? 1)sin ?EAC ,整理得 2 2 2 2 1 ? ? 故 tan ?EAC ? ? 2 ? 3 , 可 得 ?EAC ? 75 , 从 而 ?E ? 45 , 2? 3 ?DAC ? ?DCA ? ?E ? 45? , ?ADC 为等腰直角三角形.因 AC ? 2 ,则 CD ? 1 .又 ?ABC 也 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 故 BC ? 2 , BD2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos135? ? 5 , BD ? 5 . 故
0

?

?

f ( P)min ? BD ? AC ? 5 ? 2 ? 10 .
方法二: (1 ) 如图 2, 连接 BD 交 ?ABC 的外接圆 O 于 P0 点(因为 D 在 ? O 外,故 P0 在 BD 上) . 过 A, C , D 分 别 作 P0 A, P0C , P0 D 的 垂 线 , 两 两 相 交 得

(第 1 题图 2)

?A1 B1C1 ,易知 P0 在 ?ACD 内,从而在 ?A1 B1C1 内,记 ?ABC 之三内角分别为 x,y,z ,则 ?AP0C ? 180? ? y ? z ? x ,又因 B1C1 ? P0 A , B1 A1 ? P0C ,得 ?B1 ? y ,同理有 ?A1 ? x , ?C1 ? z ,
所以 ?A1 B1C1 ∽ ?ABC .设 B1C1 ? ? BC , C1 A1 ? ?CA , A1B1 ? ? AB ,则对平面上任意点 M , 有

? f ( P0 ) ? ? ( P0 A ? BC ? P0 D ? CA ? P0C ? AB)
? P0 A ? B1C1 ? P0 D ? C1 A1 ? P0C ? A1B1
? 2S?A1B1C1

? MA ? B1C1 ? MD ? C1 A1 ? MC ? A1B1
? ? (MA ? BC ? MD ? CA ? MC ? AB)

? ? f (M ) ,
从而 由 M 点的任意性, 知 P0 点是使 f ( P) 达最小值的点. 由点 P0 在 ? O 上, f ( P0 ) ? f ( M ) .

故 P0、A、B、C 四点共圆.

方法三: (1)引进复平面,仍用 A, B, C 等代表 A, B, C 所对应的复数.由三角形不等式,对 于复数 z1 , z2 ,有 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,当且仅当 z1 与 z 2 (复向量)同向时取等号.



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? BC ? PC ? AB ? PA ? BC ? PC ? AB ,

二、 【解析】 (1)若 T 是有理数,则存在正整数 m, n 使得 T ?

n 且 (m, n) ? 1 ,从而存在整数 m

a, b , 使 得 ma ? nb ? 1 . 于 是

1 ma ? nb ? ? a ? bT ? a ?1 ? b ? T 是 f ( x) 的 周 期 . 又 因 m m
p m

1 1 从而 m ? 2 . 设 p 是 m 的素因子, 则 m ? pm? ,m? ? N? , 从而 0 ? T ? 1, ? m? ? 是 f ( x )
的周期. (2)若 T 是无理数,令

?1? a1 ? 1 ? ? ? T , 则 0 ? a1 ? 1 , 且 a1 是 无 理 数 , 令 ?T ?

?1? ?1? a2 ? 1 ? ? ? a1 , an ?1 ? 1 ? ? ? an , 由数学归纳法易知 an 均为无理数且 0 ? an ? 1 .又 ? a1 ? ? an ?

?1? 1 ?1? ? ? ? ? 1 ,故 1 ? an ? ? ? an , an ? an ? ? an ?
减数列.

即 an ?1 ? 1 ? ?

?1? ? an ? an .因此 {an } 是递 ? an ?

1 最后证:每个 an 是 f ( x) 的周期.事实上,因 1 和 T 是 f ( x) 的周期,故 a1 ? 1 ? ? ? T 亦 ? T ? ? ?
? ? 是 f ( x) 的周期.假设 ak 是 f ( x) 的周期,则 ak ?1 ? 1 ? ? 1 ? ak 也是 f ( x) 的周期.由数学归 ? ak ?
纳法,已证得 an 均是 f ( x) 的周期.

k 下取数列 { xn } 为 xn ? ? s0 , n ? 1, 2,? ,则明显地 { xn } 满足题设条件(ⅰ) ,且 k ?1
n ?1 s0 ? s0 s ? s n ?1 s n ?1 . 因 0 ? s0 ? 1 , 故 lim s0 因此 lim xn ? lim 0 0 ? 0 , 即 { xn } ?0, n ?? n ?? n ?? 1 ? s 1 ? s0 1 ? s0 0

n

k xn ? ? s0 ? k ?1

n

k 的极限存在,满足(2) . 最后验证 { xn } 满足(3) ,因 f ( s0 ) ? 0 ,即 ? ak s0 ? 1 ,从而 k ?1

2008

n k n n?k xn ? xn ?1 ? s0 ? ( ? ak s0 ) s0 ? ? ak s0 ? ? ak ( xn ? k ? xn ?k ?1 ) . k ?1 k ?1 k ?1

2008

2008

2008

综上,存在数列 { xn } 满足(1).
[来源:学科网 ZXXK]


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