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高三第一次月考学生版


洛阳一中高三年级第一次月考试题 数学 A 卷(文科)
命题人 班 级 审查人 复核人 姓 名 考 号

1、已知 i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)=( ) A.5-5i B.7-5i C.5+5i

D.7+5i )

2、已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B={2,3

} ,则 ? U ( A ? B) ? ( A. {1,3, 4} 3、函数 y ? B. {3, 4} C. {3} ) D、 (2, 4) ? (4, ??) ) D.
12 13

D. {4}

1 的定义域为( log 2 ( x ? 2)
B、 (2, ??) C

A. (??, 2)

(2,3) ? (3, ??)

4、已知 a 是第二象限角,sin a = A. ?
12 13

5 ,则 con a =( 13 5 5 B. ? C. 13 13

5、已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于( A. ? 2 B. 2 C. ? 2 或 2



D.0 )

6、设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 =( A. ?6 B. ?4 C. ?2 D.2

?x ? y ? 2 ? 7 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值和最小值 ( ?y ? 0 ?
A.4 和 3 B.4 和 2 C.3 和 2 8、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( A.棱柱 B.棱台
1



D.2 和 0 ) D.圆台

C.圆柱

9、已知点 M(a,b)在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关 系是( A.相切 ) B.相交 C.相离 D.不确定 ) D. 1 )

10、抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是( A. 2 3 B. 2 C. 3

11、命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为( A.对任意 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 C.存在 x0 ? R ,都有 x0 ? 0

B.不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 D.存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 0

12、“1<x<2”是“x<2”成立的______( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分 条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 1 13、函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________. x 14、从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是________. a 15、已知函数 f ( x) ? 4 x ? ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3 时取得最小值,则 a ? _____. x 16、双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为________. 16 9

三、 解答题 17、 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b .(Ⅰ)
求角 A 的大小;(Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. x2 y2 3 18、设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 .(1)求 C 的方程; a b 5 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

2

一:选择 C D C

考号---------------姓名---------------------分数--------------------A C A B D B D D A

二:填空
13(0 1】 14 1/5 17 15 36 16 5/4

解 答 : (Ⅰ) 由 已 知 得 到 :

2sin A sin B ? 3 sin B

, 且

? 3 ? ? B ? (0, ) ? sin B ? 0 ? sin A ? ,且 A ? (0, ) ? A ? ; 2 2 2 3
(Ⅱ) 由 (1) 知

cos A ?

1 2

,











:

36 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?
?

1 28 ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? 2 3

所以 S? ABC

1 28 3 7 ? ? ? 3; 2 3 2 3

18 解答: 16 解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得 2 =1,∴b=4. b
2 2 c 3 a -b 9 又 e= = 得 2 = , a 5 a 25

16 9 即 1- 2 = .∴a=5. a 25 x2 y2 ∴C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3),设直线与 C 的交点为 A(x1,y1), 5 5 B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5
2 x2 ?x-3? + =1, 25 25

3

即 x2-3x-8=0,解得 3- 41 3+ 41 x1= ,x2= , 2 2 x1+x2 3 ∴AB 的中点坐标 x = = , 2 2 y1+y2 2 6 y= = (x1+x2-6)=- . 2 5 5 3 6 即中点坐标为( ,- ). 2 5 19 某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间, 将测试结果按如 下方式分成五组:第一组[50,60) ,第二组[60,70) ,…,第五组[90,100].下图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)若成绩大于或等于 60 且小于 80,认为合格,求该 班在这次数学测试中成绩合格的人数; (Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生 中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 m、n,求事 件“|m-n|>10”概率. 19.解答: (I)由直方图知, 成绩在[60,80)内的人数为:50×10×
(0.18+0.040)=29.所以该班在这次数学测试中成绩合格的有 29 人.(3 分) (II)由直方图知,成绩在[50,60)内的人数为:50×10×0.004=2, 设成绩为 x、y(5 分)成绩在[90,100]的人数为 50×10×0.006=3,设成绩为 a、b、c,(6 分) 若 m,n∈[50,60)时,只有 xy 一种情况,(7 分) 若 m,n∈[90,100]时,有 ab,bc,ac 三种情况,(8 分) 若 m,n 分别在[50,60)和[90,100]内时,有

共有 6 种情况,所以基本事件总数为 10 种,(9 分) 事件“|m-n|>10”所包含的基本事件个数有 6 种(10 分)∴P(|m?n|> 10)= 3/5 4

20、如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60? . (Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2 , A1C ?

6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.
C C1 B1 A1

B A

证明: AB 的中点 O,连接 OC O OA1O A1B ,因为 CA=CB,所以 OC ? AB ,由于 AB=A (I)取 、 、
A1,∠BA A1=60 ,故 ?AA, B 为等边三角形,所以 OA 1 ⊥AB.
0

因为 OC? OA 1 =O,所以 AB ? 平面 OA 1 C.又 A 1 CC 平面 OA 1 C,故 AB ? AC. (II)由题设知

?ABC与?AA1B都是边长为2的等边三角形,
AA1 B都是边长为2的等边三角形,所以

OC ? OA1 ? 3, 又A1C ? 6,则A1C 2 ? OA12,故OA1 ? OC.
因为OC ? AB ? O, 所以OA1 ? 平面ABC,OA1为棱柱ABC -A1 B1C1的高, 又?ABC的面积S? ABC ? 3,故三棱柱ABC-A1 B1C1的体积V =S? ABC ? OA1 ? 3.

5

21、 已知函数 f ( x) ? ln x ?
3 上的最小值是 , 求 a 的值. 2

a . ⑴讨论函数 f ( x) 的单调区间; ⑵若函数 f ? x ? 在 ?1 , e ? x

解:(1)易知:x>0,则 fˋ(x)=(x-a)/x 2 当 a≤0???.. 当 a≥0 时,fˋ(x)>0

(a

+∞)

fˋ(x)<0

(0 a)

(2):由(1)知:当 a≤0 时,(0 +∞)是增函数, ?1 , e ? 也是增函数,所以 f(1)=3/2 得到 a=3/2,矛盾。 当 a>0 时,??????????a= e

22、已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的 ? y ? 5 ? 5sin t

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? .(Ⅰ)把 C1 和 C2 的化为普通方程(Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ).
解:(1)将 ?

? x ? 4 ? 5cos t 2 2 ,消去参数 t,化学普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t



C1: x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ,
? x ? p cos ? , 代入x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0得 ? y ? p sin ?
2

将?

[来源:学+科+网]

(2) C2 的普通方程为 x

? y2 ? 2 y ? 0 ,

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, ? x =1, ? x =0, ? 解得 ? 或? ? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ? y=2, ? y=2. ?
所以 C1与C2 交点的极坐标为 (

2, ), (2, ) . 4 2

?

?

6


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