当前位置:首页 >> 数学 >> 福建省南平市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

福建省南平市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)


福建省南平市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设集合 S={x|x>﹣3},T={x|﹣6≤x≤1},则 S∪T=() A. D. (﹣3,1] 2. (5 分)在复平面内,复数 A.第一象限 (i 是虚数单位)所对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

3. (5 分)化简 cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为() A. B. C. ﹣ D.﹣

4. (5 分)过点(5,3)且与直线 2x﹣3y﹣7=0 平行的直线方程是() A.3x+2y﹣21=0 B.2x﹣3y﹣1=0 C.3x﹣2y﹣9=0 D.2x﹣3y+9=0 5. (5 分)在△ ABC 中,角 A<B 是 sinA<sinB 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件

6. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值是()

A.4

B. 3

C. 2

D.1

7. (5 分)若把函数 y=3cos(2x+

)的图象上的所有点向右平移 m(m>0)个单位长度后,

所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是() A. B. C. D.

8. (5 分)已知向量 , 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1,则| A.2 B. C. 2

|=() D.2

9. (5 分)设数列{an}是以 3 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的 等比数列,则 ba1+ba2+ba3+ba4=() A.15 B.60 C.63 D.72

10. (5 分)在三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ ABC,△ ACD,△ ADB 的面积分别为 10,5,4,则该三棱锥外接球的表面积为() A.141π B.45π C. 3 π D.24π 11. (5 分)利用计算机产生 0~3 之间的均匀随机数 a、x,则事件“logax>0 (a>0 且 a≠≠1)” 发生的概率为() A. B. C. D.

12. (5 分)在平面内,曲线 C 上存在点 P,使点 P 到点 A(3,0) ,B(﹣3,0)的距离之 和为 10,则称曲线 C 为“有用曲线”.以下曲线不是“有用曲线”的是() A.x+y=5 B.x +y =9
2 2

C.

+

=1

D.x =16y

2

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13. (4 分)一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为.

14. (4 分)如 图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值输出相应的 y 值,若要使输入 的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数是.

15. (4 分) 已知 P 是抛物线 y =4x 上的一个动点, 则 P 到直线 l1: 4x﹣3y+11=0 和 l2: x+1=0 的距离之和的最小值是.
x

2

16. (4 分)关于函数 f(x)=( ) ﹣sinx﹣1,给出下列四个命题: ①该函数没有大于 0 的零点; ②该函数有无数个零点; ③该函数在(0,+∞)内有且只有一个零点; ④若 x0 是函数的零点,则 x0<2. 其中所有正确命题的序号是.

三、解答题(共 6 小题,满分 74 分) 17. (12 分)学校开展阳光体育活动,对学生的锻练时间进行随机抽样调查,从中随机抽取 男、女生各 25 名进行了问卷调查,得到了如下列联表: 锻练时间 男生 女生 合计 少于 1 小时 5 15 20 不少于 1 小时 20 10 30 合 计 25 25 50 (Ⅰ) 根据上表数据求 x,y,并据此资料分析:有多大的把握可以认为“锻练时间与性别 有关”? (Ⅱ) 从这 50 名学生中用分层抽样的方法抽取 5 人为样本,求从该样本中任取 2 人, 至少有 1 人锻练时间少于 1 小时的概率. K= P(K ≥K0) k0
2 2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

18. (12 分)已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=12,且 a1,a2,a3+2 成等比数 列. (Ⅰ) 求{an}的通项公式; n (Ⅱ) 若 bn=3 an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣cos2x,x∈R. (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ) 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别是 a,b,c,若 f(A)=2.C= C= ,f(A)=2,C= ,c=2,求△ ABC 的面积. ,c=2,

20. (12 分)如图,已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB=2,C 是⊙O 上一 点,且 AC=BC,∠PCA=45°,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点,G 为线段 PA 上(除点 P 外)的一个动点. (Ⅰ) 求证:BC∥平面 GEF; (Ⅱ) 求证:BC⊥GE; (Ⅲ) 求三棱锥 B﹣PAC 的体积.

21. (12 分)已知椭圆 C: (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短半轴长为



(Ⅱ) 已知斜率为 的直线 l 交椭圆 C 于两个不同点 A,B,点 M 的坐标为(2,1) ,设直 线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2. ①若直线 l 过椭圆 C 的左顶点,求此时 k1,k2 的值; ②试探究 k1+k2 是否为定值?并说明理由. 22. (14 分)己知函数 f(x)=xlnx﹣ (a∈R) ,

(Ⅰ) 若函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y+b=0,求实数 a,b 的 值; (Ⅱ) 若函数 f(x)≤0,求实数 a 取值范围; (Ⅲ) 若函数 f(x)有两个不同的极值点分别为 x1,x2 求证:x1x2>1.

福建省南平市 2015 届高考数学模拟试卷 (文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设集合 S={x|x>﹣3},T={x|﹣6≤x ≤1},则 S∪T=() A. D. (﹣3,1]

考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据并集的定义计算即可. 解答: 解:∵集合 S={x|x>﹣3},T={x|﹣6≤x≤1}, ∴S∪T= 分析: 求出直线的斜率,利用点斜式求解直线方程即可. 解答: 解:过点(5,3)且与直线 2x﹣3y﹣7=0 平行的直线的斜率为: , 所求直线方程为:y﹣3= (x﹣5) . 即 2x﹣3y﹣1=0. 故选:B. 点评: 本题考查直线方程的求法,平行线的应用,考查计算能力. 5. (5 分)在△ ABC 中,角 A<B 是 sinA<sinB 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 先看由角 A<B 能否得到 sinA<sinB:讨论 A,B A 两种情况, 并结合 y=sinx 在 (0, 和 ]单调性及 0<A+B

<π 即可得到 sinA<sinB;然后看由 sinA<sinB 能否得到 A<B:根据上一步的讨论方法以 及 y=sinx 的单调性即可得到 sinA<sinB,所以得到角 A<B 是 sinA<sinB 的充要条件. 解答: 解: (1)△ ABC 中,角 A<B: 若 0<A<B≤ 若 0<A ,根据 y=sinx 在(0, , ]上单调递增得到 sinA<sinB; ,所以 sinA<sin(π

,∵0<A+B<π,∴

﹣B)=sinB; ∴角 A<B 能得到 sinA<sinB; 即 A<B 能得到 sinA<sinB; ∴角 A<B 是 sinA<sinB 的充分条件; (2)若 sinA<sinB: A,B∈(0, A ]时,y=sinx 在 ,B 上单调递增,所以由 sinA<sinB,得到 A<B; 时,显然满足 A<B;

即 sinA<sinB 能得到 A<B; ∴A<B 是 sinA<sinB 的必要条件; 综合(1) (2)得角 A<B,是 sinA<sinB 的充要条件. 故选 C.

点评: 考查充分条件、 必要条件、 充要条件的概念, 以及正弦函数 y=sinx 在 的单调性,通过 y=sinx 在(0,π)的图象看函数的取值情况,及条件 0<A+B<π.



6. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值是()

A.4

B. 3

C. 2

D.1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 B 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 B(1,1) ,

代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×1+1=3. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 3. 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.

7. (5 分)若把函数 y=3cos(2x+

)的图象上的所有点向右平移 m(m>0)个单位长度后,

所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是() A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用图象的平移求出平移后的解析式, 由所得到的图象关于 y 轴对称, 根据对称轴 方程求出 m 的最小值. 解答: 解:由题意知,y=3cos(2x+ 到 y=3cos(2x+ ﹣2m) ﹣2m=kπ,k∈Z,∴m= ﹣ ,k∈Z,∵m>0,∴m ) ,图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得

所得到的图象关于 y 轴对称,∴ 的最小值为: .

故选:C. 点评: 本题考查三角函数的图象变换,考查余弦函数图象的特点,属于基础题.

8. (5 分)已知向量 , 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1,则| A.2 B. C. 2

|=() D.2

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知条件及向量数量积的运算即可求出 . 解答: 解:根据已知条件, ∴ 故选:D. 点评: 考查数量积的运算及数量积的计算公式,求向量 方法. 9. (5 分)设数列{an}是以 3 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的 等比数列,则 ba1+ba2+ba3+ba4=() A.15 B.60 C.63 D.72 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 分别运用等差数列和等比数列的通项公式,求出 an,bn,再由通项公式即可得到所 求. 解答: 解:数列{an}是以 3 为首项,1 为公差的等差数列, 则 an=3+(n﹣1)×1=n+2, 的长度先求 的 . =4+4+4=12; ,从而便求出

{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, n﹣1 则 bn=2 , 则 ba1+ba2+ba3+ba4=a3+b4+b5+b6 2 3 4 5 =2 +2 +2 +2 =60. 故选 B. 点评: 本题考查等比数列和等差数列的通项公式,注意选择正确公式,考查运算能力,属 于中档题和易错题. 10. (5 分)在三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ ABC,△ ACD,△ ADB 的面积分别为 10,5,4,则该三棱锥外接球的表面积为() A.141π B.45π C. 3 π D.24π 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接球是 同一个,长方体的对角线就是球的直径,求出长方体的三度,转化为对角线长,即可求解外 接球的表面积. 解答: 解:三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接 球是同一个,长方体的对角线就是球的直径, 设长方体的三度为 a,b,c 由题意得:ab=20,ac=10,bc=8, 解得:a=5,b=4,c=2, 所以球的直径为: =3 , 它的半径为 球的表面积为 , =45π,

故选:B. 点评: 本题是基础题,考查几何体的外接球的体积,三棱锥转化为长方体,两者的外接球 是同一个,以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在. 11. (5 分)利用计算机产生 0~3 之间的均匀随机数 a、x,则事件“logax>0 (a>0 且 a≠≠1)” 发生的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,首先求出满足 logax>0(a>0 且 a≠≠1)”的 a,x 的范围,然后根据几何 概型求概率. 解答: 解:满足“logax>0(a>0 且 a≠1)”的等价条件 a)满足的区域如图 或者 ,所以(x,

由几何概型得事件“logax>0(a>0 且 a≠1)”发生的概率为 故选 D



点评: 本题考查了几何概型的概率求法;解得本题 的关键是求出 a,x 满足的不等式组, 利用区域的面积比求值. 12. (5 分)在平面内,曲线 C 上存在点 P,使点 P 到点 A(3,0) ,B(﹣3,0)的距离之 和为 10,则称曲线 C 为“有用曲线”.以下曲线不是“有用曲线”的是() A.x+y=5 B.x +y =9
2 2

C.

+

=1

D.x =16y

2

考点: 两点间的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 由点 P 到点 A(3,0) ,B(﹣3,0)的距离之和为 10,可得 B,C,D 中的方程联立,判断是否有解即可得出. 解答: 解:由点 P 到点 A(3,0) ,B(﹣3,0)的距离之和为 10,可得 . .分别与 A,

A.联立

,化为 41x ﹣250x+225=0,△ =250 ﹣41000>0,因此曲线 x+y=5 上存

2

2

在点 P 满足条件,∴是“有用曲线”,正确; 同理可判断 C,D 给出的切线是“有用曲线”,而 B 给出的曲线不是“有用曲线”. 故选:B. 点评: 本题考查了椭圆的定义、两点之间的距离公式、曲线的交点,考查了推理能力与技 能数列,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13. (4 分)一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为 4.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为直角梯形,高为 2 的四棱锥,从而求 出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面为直角梯形,一侧棱垂直于底面的四棱锥;

如图所示, 所以,该四棱锥的体积为 V= × ?(4+2)?2×2=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题, 解题时应根据三视图中的数据得出几 何体的结构特征,是基础题目. 14. (4 分)如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值输出相应的 y 值,若要使输入 的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数是 3.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作

用是计算分段函数 y=

的函数值,并输出.

解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:

该程序的作用是计算分段函数 y=

的函数值

依题意得

,或

,或



解得 x=0,或 x=1,x=4. 则这样的 x 值的个数是 3. 故答案为:3. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新 2015 届高考中的一个热点,应高度 重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件 ③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能 准确理解流程图的含义而导致错误. 15. (4 分) 已知 P 是抛物线 y =4x 上的一个动点, 则 P 到直线 l1: 4x﹣3y+11=0 和 l2: x+1=0 的距离之和的最小值是 3. 考点: 直线与圆锥曲线的关系.
2

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示,过点 P 分别作 PM⊥l1,PN⊥l2,垂足分别为 M,N.设抛物线的焦点 为 F,由抛物线的定义可得|PN|=|PF|,求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|,当三点 M,P,F 共 线时,|PM|+|PF|取得最小值.利用点到直线的距离公式求解即可. 解答: 解:如图所示, 2 过点 P 分别作 PM⊥l1,PN⊥l2,垂足分别为 M,N.l2:x+1=0 是抛物线 y =4x 的准线方程. 2 抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0) , 由抛物线的定义可得|PN|=|PF|,过 P 作直线 l1:4x﹣3y+11=0 的垂线,垂足为 M, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,当三点 M,P,F 共线时,|PM|+|PF|取得最小值. 其最小值为点 F 到直线 l1 的距离,∴|FM|= 故答案为:3. =3.

点评: 本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的公式,考查转化思想的 应用,属于中档题.
x

16. (4 分)关于函数 f(x)=( ) ﹣sinx﹣1,给出下列四个命题: ①该函数没有大于 0 的零点; ②该函数有无数个零点; ③该函数在(0,+∞)内有且只有一个零点; ④若 x0 是函数的零点,则 x0<2. 其中所有正确命题的序号是②③④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用;简易逻辑. 分析: 如图所示,利用导数研究函数的单调性、函数零点存在判定定理、图象的性质即可 判断出. 解答: 解:①函数 f(x)=( ) ﹣sinx﹣1,如图所示,∵f(2)= (1)= ﹣sin1<0,
x

>0,f



<0,因此函数 f(x)在(1,2)内存在零点,故①不正确;

②由图象可知:x<0 时,函数有无数个零点,正确; ③当 x>2 时,f′(x)= ﹣cosx>0,函数 f(x)单调递增,因此 x>2,时,

不存在零点. 故该函数在(0,+∞)内有且只有一个零点; ④若 x0 是函数的零点,由③可知:x0<2,正确. 其中所有正确命题的序号是:②③④. 故答案为:②③④.

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数零点存在判定定理、图象的性质、简 易逻辑的判定,考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 74 分) 17. (12 分)学校开展阳光体育活动,对学生的锻练时间进行随机抽样调查,从中随机抽取 男、女生各 25 名进行了问卷调查,得到了如下列联表: 锻练时间 男生 女生 合计 少于 1 小时 5 15 20 不少于 1 小时 20 10 30 合 计 25 25 50 (Ⅰ) 根据上表数据求 x,y,并据此资料分析:有多大的把握可以认为“锻练时间与性别 有关”? (Ⅱ) 从这 50 名学生中用分层抽样的方法抽取 5 人为样本,求从该样本中任取 2 人, 至少有 1 人锻练时间少于 1 小时的概率. K= P(K ≥K0) k0
2 2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

考点: 独立性检验. 专题: 概率与统计. 2 分析: (Ⅰ)利用对立检验的表格法则,填写表格,可得 x,y,利用公式求出得 K ,推 出有 99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关”.

(Ⅱ)用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本,得到抽取了锻练时间少于 1 小时 2 人, 不少于 1 小时 3 人,分别记作 A1、A2;B1、B2、B3.写出基本事件的情况,其至少有 1 人 的锻练时间少于 1 小时的基本事件的情况,然后求解概率. 解答: 本题满分(12 分) . 解: (Ⅰ) 锻练时间 男生 女生 合计 少于 1 小时 5 15 20 不少于 1 小时 20 10 30 合 计 25 25 50 x=15,y=20 …(2 分) 由已知数据得 K =
2

≈8.333>7.879…(4 分)

所以有 99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关”…(6 分) (Ⅱ)用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本,所以抽取了锻练时间少于 1 小时 2 人, 不少于 1 小时 3 人,分别记作 A1、A2;B1、B2、B3. 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A2,B1) , (A2, B2) , (A2,B3) , (A1,A2) , (B1,B2) , (B2,B3) , (B1,B3) .…(8 分) 其中至少有 1 人的锻练时间少于 1 小时的基本事件有 7 个: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A1,A2) .…(10 分) ∴从中任取 2 人,至少有 1 人的锻练时间少于 1 小时的概率为 .…(12 分)

点评: 本题考查对立检验,古典概型的概率的求法,考查计算能力. 18. (12 分)已知正 项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=12,且 a1,a2,a3+2 成等比数 列. (Ⅰ) 求{an}的通项公式; n (Ⅱ) 若 bn=3 an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设正项等差数列{an}的公差为 d,故 d>0.由 a1,a2,a3+2 成等比数列,可 得 =a1(a1+2d+2) .又 S3=12=
n

,联立解出即可.

(Ⅱ)bn=2n?3 ,利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)设正项等差数列{an}的公差为 d,故 d>0. ∵a1,a2,a3+2 成等比数列, 则 即 又 S3=12= =a1(a3+2) , =a1(a1+2d+2) . ,

解得



(舍去) ,

∴an=2+(n﹣1)×2=2n. n (Ⅱ)bn=2n?3 , 2 n ∴Tn=2×3+2×2×3 +…+2n?3 , 2 3 n n+1 ∴3Tn=2×3 +4×3 +…+(2n﹣2)?3 +2n?3 , 2 3 n n+1 ∴﹣2Tn=2×3+2(3 +3 +…+3 )﹣2n×3 = ﹣2n×3
n+1

=(1﹣2n)×3

n+1

﹣3,



+ .

点评: 本题主要考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法” 等基础知识;考查推理论证与运算求解能力,属于中档题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣cos2x,x∈R. (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ) 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别是 a,b,c,若 f(A)=2.C= C= ,f(A)=2,C= ,c=2,求△ ABC 的面积. ,c=2,

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用倍角公式可得:函数 f(x)= ,再利用正弦函数的

单调性即可得出; (II)在△ ABC 中,由 f(A)=2,可得 A,利用正弦定理可得 a,再利用三角形面积计算公 式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=2 sinxcosx﹣ cos2x= 由 ∴函数 f(x)的单调递增区间是 (Ⅱ)∵在△ ABC 中,f(A)=2.C= ∴ =2,化为 ,c=2, =1,又 0<A<π,∴A= . = ,解得 ,k∈Z. , ,k∈Z.

由据正弦定理可得:

=

,解得 a=



∴B=π﹣A﹣C= = ∴S△ ABC=

. = = × = . = .

点评: 本题考查了倍角公式、三角函数的图象与性质、正弦定理、三角形面积计算公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20. (12 分)如图,已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB=2,C 是⊙O 上一 点,且 AC=BC,∠PCA=45°,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点,G 为线段 PA 上(除点 P 外)的一个动点. (Ⅰ) 求证:BC∥平面 GEF; (Ⅱ) 求证:BC⊥GE; (Ⅲ) 求三棱锥 B﹣PAC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)利用三角形中位线定理可得:EF∥CB,利用线面平行的判定定理即可证明: BC∥平面 GEF. (Ⅱ)由 PA⊥⊙O 所在的平面,可得 BC⊥PA,利用圆的直径的性质可得 BC⊥AB,再利 用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明. (III)由(Ⅱ)知 BC⊥平面 PAC,再利用圆的性质、直角三角形的边角关系、三棱锥的体 积计算公式即可得出. 解答: (I)证明:∵E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点, ∴EF∥CB,EF?平面 GEF, 点 G 不于点 P 重合,CB?平面 GEF, ∴BC∥平面 GEF. (Ⅱ)证明:∵PA⊥⊙O 所在的平面, BC?⊙O 所在的平面, ∴BC⊥PA,

又∵AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AB, 又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC, ∴GE?平面 PAC,∴BC⊥GE. (III)解:在 Rt△ ABC 中,AB=2,AB=CB,∴AB=BC= ∵PA⊥平面 ABC,AC?平面 ABC, ∴PA⊥AC. ∵∠PCA=45°, ∴PA= , ∴S△ PAC= =1,



由(Ⅱ)知 BC⊥平面 PAC, ∴VB﹣PAC= = .

点评: 本题主要考查空间线线、线面的位置关系、体积的计算、圆的性质、直角三角形的 边角关系等基础知识;考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力,属于中档题.

21. (12 分)已知椭圆 C: (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短半轴长为



(Ⅱ) 已知斜率为 的直线 l 交椭圆 C 于两个不同点 A,B,点 M 的坐标为(2,1) ,设直 线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2. ①若直线 l 过椭圆 C 的左顶点,求此时 k1,k2 的值; ②试探究 k1+k2 是否为定值?并说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: (Ⅰ)通过椭圆的离心率以及 ,a =b +c ,求出 a,b,即可求出椭圆 C 的方 程. (Ⅱ)①若直线过椭圆的左顶点,写出直线的方程与椭圆联立方程,求出直线的斜率,推 出结果. ②k1+k2 为定值,且 k1+k2=0,证明如下:设直线在 y 轴上的截距为 m,推出直线的方程, 然后两条直线与椭圆联立, 设A (x1, y1) . B (x2, y2) ,利用韦达定理以及判别式求出 k1+k2, 然后化简求解即可. 解答: 本题满分(12 分) . 解: (Ⅰ)由椭圆的离心率为 解得 a =8,b =2, 所以椭圆 C 的方程为 .…(3 分)
2 2

,∴

,又

,a =b +c ,

2

2

2

(Ⅱ)①若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是 l:y=



联立方程组

,解得









.…(6 分)

②k1+k2 为定值,且 k1+k2=0.…(7 分) 证明如下: 设直线在 y 轴上的截距为 m,所以直线的方程为 .


2

,得 x +2mx+2m ﹣4=0.
2

2

2

当△ =4m ﹣8m +16>0,即﹣2<m<2 时,直线与椭圆交于两点…(8 分) 设 A(x1,y1) .B(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣2m. …(9 分)





故 分) 又 ,

=

.…(10



所以(y1﹣1) (x2﹣2)+(y2﹣1) (x1﹣2) = =x1?x2+(m﹣2) (x1+x2)﹣4(m﹣1) 2 =2m ﹣4+(m﹣2) (﹣2m)﹣4(m﹣1)=0, 故 k1+k2=0.…(12 分) 点评: 本题考查椭圆的方程的求法, 直线与椭圆的综合应用, 考查分析问题解决问题的能 力,分类讨论思想的应用. (a∈R) ,

22. (14 分)己知函数 f(x)=xlnx﹣

(Ⅰ) 若函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y+b=0,求实数 a,b 的 值; (Ⅱ) 若函数 f(x)≤0,求实数 a 取值范围; (Ⅲ) 若函数 f(x)有两个不同的极值点分别为 x1,x2 求证:x1x2>1.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分 析: (Ⅰ)求出原函数的导函数,利用函数在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y+b=0 列式求得 a,b 的值; (Ⅱ)把 f(x)≤0 恒成立转化为 其最大值得答案; (Ⅲ)利用函数 f(x)在极值点处的导数等于 0,得到 ln(x1x2)=a(x1+x2)﹣ 2= . 恒成立,构造函数 ,利用导数求

再把证 x1x2>1 转化为证

.令

换元后再由导数证明.

解答: (Ⅰ)解:由 f(x )=xlnx﹣ 得 f′(x)=lnx﹣ax+1, ∵切线方程为 x+y+b=0, ∴f′(1)=1﹣a=﹣1,即 a=2. 又



,可得切点为(1,﹣1) ,代入切线方程得 b=0; 恒成立,即 ,

(Ⅱ) 解:f(x)≤0 恒成立等价于



,则



当 x∈(0,e)时,g′(x)>0; 当 x∈ (e,+∞)时,g′(x)<0. ∴当 x=e 时, ,即 ;

(Ⅲ)证明:若函数 f(x)有两个不同的极值点 x1,x2, 即 f′(x1)=lnx1﹣ax1+1=0,f′(x2)=lnx2﹣ax2+1=0, 即 lnx1+lnx2﹣a(x1+x2)+2=0 且 lnx1﹣lnx2﹣a(x1﹣x2)=0. 也就是 ln(x1x2)=a(x1+x2)﹣2= .

要证 x1x2>1,只要证

>0.

即证



不妨设 x1>x2,只要证

成立,

即证





,即证



令 h(t)=lnt﹣

,则



∴h(t)在(1,+∞)上是增函数, ∴h(t)>h(1)=0,原式得证. 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程, 考查利用导数研究函数的单 调性,训练了利用导数求函数的最值,重点考查了数学转化等数学思想方法,是压轴题.


更多相关文档:

福建省南平市2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

福建省南平市2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)_数学_高中教育_教育专区。福建省南平市 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)一、选择题(共 10 小题,...

福建省龙岩市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

福建省龙岩市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个...

福建省龙岩市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

福建省龙岩市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个...

福建省泉州五中2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

福建省泉州五中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是...

福建省泉州五中2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

福建省泉州五中 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是...

海南省2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(Word版含...

( ). 5 海南省 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四...

海南省2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份) Word版含...

( ). 海南省 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个...

河南省开封市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

河南省开封市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)_数学_高中教育_教育专区。河南省开封市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)一、选择题:本大题共 12 ...

湖北省武汉市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

湖北省武汉市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)_数学_高中教育_教育专区。...福建省南平市2015届高考... 暂无评价 20页 5下载券 湖北省武汉市2015届高考...

河南省开封市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

河南省开封市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)_数学_高中教育_教育专区。...福建省南平市2015届高考... 暂无评价 20页 5下载券 ©2016 Baidu 使用百度...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com