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辽宁省大连四十八中2015届高三上学期第一次摸底数学试卷(文科)


辽宁省大连四十八中 2015 届高三上学期第一次摸底数学试卷 (文 科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每题只有一个选项符合题意) 1. (5 分)设 U=R,M={x|x ﹣x≤0},函数 f(x)= A.[0,1) B.(0,1)
﹣2

2

的定义域为 D,则 M∩(?UD)=() D.{1}

C.[0,1]

2. (5 分)设 a=log0.34,b=log43,c=0.3 ,则 a、b、c 的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<a<c 3. (5 分)已知 A. B. , C. ,则 sin(α+π)等于() D.

4. (5 分)与﹣525°的终边相同的角可表示为() A.525°﹣k?360°(k∈Z) B. 165°+k?360°(k∈Z) C. 195°+k?360°(k∈Z) D.﹣195°+k?360°(k∈Z) 5. (5 分)在△ ABC 中,若 tanAtanB=tanA+tanB+1,则 cosC=() A. B. C. D.

6. (5 分)下列命题错误的是() 2 2 A.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0,则¬p 为:?x∈R,均有 x +x+1≥0 2 2 B. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” C. 若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2 D.“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 7. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2+f( )log2x,则 f(﹣ 2)=() A.1

B. 3

C . ﹣1

D.﹣3

8. (5 分)若

,则 cosα+sinα 的值为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)将函数 y=sinx 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把所 得各点向右平行移动 A.y=sin(2x﹣ 个单位长度,所得图象的函数解析式是() ) C.y=sin(2x﹣ ) D.y=sin( x﹣ )

) B.y=sin( x﹣

10. (5 分)已知直线 x=0 和 x= <

是函数 f(x)=sin(ωx+φ)﹣

cos(ωx+φ) (ω>0,|φ|

)图象的两条相邻的对称轴,则() )上为单调递增函数 )上为单调递减函数

A.f(x)的最小正周期为 π,且在(0, B. f(x)的最小正周期为 π,且在(0, C. φ= D.φ= ,在 f(x)在(0, ,在 f(x)在(0,

)上为单调递减函数 )上为单调递增函数

11. (5 分) A.﹣ B.

=() C. D.1

12. (5 分)定义行列式运算

,将函数

的图象向左

平移 t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 t 的最小值为() A. B. C. D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知函数 f(x)= ,则 f=.

14. (5 分)已知 sin(α﹣

)= ,则 cos(α+

)的值等于.

15. (5 分)y=log

(2x+

)的定义域是.

16. (5 分)给出下列命题: ①函数 y=sin( π+x)是偶函数; ②函数 y=cos(2x+ )图象的一条对称轴方程为 x= ;

③对于任意实数 x,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) ,且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x) >0,则 x<0 时,f′(x)>g′(x) ; ④若对?x∈R 函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,则 4 是该函数的一个周期. 其中真命题的个数为.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知角 α 的终边经过点 P( ,﹣ ) . (1)求 sinα 的值. (2)求式 ? 的值.

18. (12 分)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性.

) (ω>0)的最小正周期为 π.

19. (12 分)已知 sin(π﹣α)= ,α∈(0, (1)求 sin2α﹣cos
2

) .

的值;

(2)求函数 f(x)= cosαsin2x﹣ cos2x 的单调递减区间.

20. (12 分)函数 分图象如图所示. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)设 定此时 x 的值. ,求函数 g(x)在

的部

上的最大值,并确

21. (12 分)已知 α,β∈(0,π) ,且 tanα=2,cosβ=﹣ (1)求 cos2α 的值; (2)求 2α﹣β 的值.



22. (12 分)已知 f(x)=x +ax ﹣a x+2. (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)若 a≠0,求函数 f(x)的单调区间; 2 (Ⅲ)若不等式 2xlnx≤f′(x)+a +1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

3

2

2

辽宁省大连四十八中 2015 届高三上学期第一次摸底数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每题只有一个选项符合题意) 1. (5 分)设 U=R,M={x|x ﹣x≤0},函数 f(x)= A.[0,1) B.(0,1) C.[0,1]
2

的定义域为 D,则 M∩(?UD)=() D.{1}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式的解集确定出 M,求出 f(x)的定义域确定出 D,根据全集 U=R, 求出 D 的补集,找出 M 与 D 补集的交集即可. 解答: 解:由 M 中的不等式变形得:x(x﹣1)≤0, 解得:0≤x≤1,即 M=[0,1], 由 f(x)= ∴D=(1,+∞) , ∵全集 U=R, ,得到 x﹣1>0,即 x>1,

∴?UD=(﹣∞,1], 则 M∩(?UD)=[0,1]. 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)设 a=log0.34,b=log43,c=0.3 ,则 a、b、c 的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<a<c 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由指数函数和对数函数的图象可以判断 a、b、c 和 0、1 的大小,从而可以判断 a、b、 c 的大小 解答: 解:由指数函数和对数函数的图象可以得到:a<0,0<b<1,c>1,所以 a<b<c 故选 A 点评: 本题考查利用插值法比较大小,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和取值的分布 是解决本题的关键.
﹣2

3. (5 分)已知 A. B.

, C.

,则 sin(α+π)等于() D.

考点: 诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据 α 的范围,由 tanα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值,进而 求出 sinα 的值,原式利用诱导公式化简后,将 sinα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵α∈( ∴cosα=﹣ ,π) ,tanα=﹣ , =﹣ ,

sinα=

= ,

则 sin(α+π)=﹣sinα=﹣ . 故选:D. 点评: 此题考查了诱导公式的作用,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握诱导公式 是解本题的关键. 4. (5 分)与﹣525°的终边相同的角可表示为() A.525°﹣k?360°(k∈Z) B. 165°+k?360°(k∈Z) C. 195°+k?360°(k∈Z) D.﹣195°+k?360°(k∈Z) 考点: 终边相同的角.

专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用终边相同的角的表示方法,写出结果即可. 解答: 解:∵﹣525°=﹣2×360°+195°,∴195°与﹣525°终边相同, 由此可得与角﹣525°终边相同的角一定可以写成 195°+k?360°(k∈Z)的形式, 故选:C. 点评: 本题考查终边相同的角的表示方法,是基础题. 5. (5 分)在△ ABC 中,若 tanAtanB=tanA+tanB+1,则 cosC=() A. B. C. D.

考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与差的正切函数公式化简 tan(A+B) ,将已知等式变形后代入求出 tan (A+B)的值,进而确定出 tanC 的值,利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数,即可确定出 cosC 的值. 解答: 解:∵tanAtanB=tanA+tanB+1,即 tanA+tanB=tanAtanB﹣1, ∴tan(A+B)= ∴tanC=1,即 C= 则 cosC=cos = , . =﹣1,即 tan(A+B)=﹣tanC=﹣1,

故选 B 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公 式是解本题的关键. 6. (5 分)下列命题错误的是() 2 2 A.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0,则¬p 为:?x∈R,均有 x +x+1≥0 2 2 B. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” C. 若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2 D.“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 考点: 复合命题的真假. 专题: 阅读型. 分析: 根据命题:?x∈R,使得 x +x+1<0 是特称命题,其否定为全称命题,即:?x∈R,均 2 有 x +x+1≥0,从而得到答案.故 A 对; 根据逆否命题的写法进行判断 B 即可; P∧q 为假命题?P、q 不均为真命题.故 C 错误; 利用充分不必要条件的判定方法即可进行 D 的判定. 2 解答: 解:∵命题:?x∈R,使得 x +x+1<0 是特称命题 2 ∴否定命题为:?x∈R,均有 x +x+1≥0,从而得到答案.故 A 对 2 2 B 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”故②正确; C:若 P∧q 为假命题,则 P、q 不均为真命题.故③错误;
2

D“x>2”?“x ﹣3x+2>0”,反之不成立,“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件, 故选 C. 点评: 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<” 了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题 的否定是全称命题, “存在”对应“任意”. 本题考查命题的真假判断与应用, 解题时要认真审题, 仔细解答.

2

2

7. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2+f( )log2x,则 f(﹣ 2)=() A.1

B. 3

C . ﹣1

D.﹣3

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 首先令 x= ,求出 f( ) ,写出 x>0 的函数 f(x)的解析式,由函数奇偶性的定义, 得 f(﹣2)=﹣f(2) ,利用 x>0 的解析式求出 f(2)即可. 解答: 解:当 x>0 时,f(x)=2+f( )log2x, 令 x= ,则 f( )=2+f( )log2 =2﹣f( ) , 则 f( )=1, ∴x>0 时,f(x)=2+log2x, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣2)=﹣f(2) , 又 f(2)=2+log22=3, ∴f(﹣2)=﹣3. 故选 D. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性及应用求值,注意赋值化简,正确理解函数奇偶性的定 义和灵活运用,是解决问题的关键.

8. (5 分)若

,则 cosα+sinα 的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 分析: 题目的条件和结论都是三角函数式,第一感觉是先整理条件,用二倍角公式和两角 差的正弦公式,约分后恰好是要求的结论.

解答: 解: ∵ ,





故选 C 点评: 本题解法巧妙,能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系,熟练地掌握这些公 式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用. 9. (5 分)将函数 y=sinx 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把所 得各点向右平行移动 A.y=sin(2x﹣ 个单位长度,所得图象的函数解析式是() ) C.y=sin(2x﹣ ) D.y=sin( x﹣ )

) B.y=sin( x﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 利用三角函数的图象变化规律首先由 y=sinx 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin x,再将 y=sin x 的图象上各点向右平行移动 即得答案. 解答: 解:函数 y=sinx y=sin x 个单位长度,

y=sin (x﹣

)=sin( x﹣

) ,

故选 B. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,掌握三角函数的图象变化规律是解决问 题之关键,考查分析与解决问题的能力,属于基础题.

10. (5 分)已知直线 x=0 和 x= <

是函数 f(x)=sin(ωx+φ)﹣

cos(ωx+φ) (ω>0,|φ|

)图象的两条相邻的对称轴,则() )上为单调递增函数 )上为单调递减函数

A.f(x)的最小正周期为 π,且在(0, B. f(x)的最小正周期为 π,且在(0, C. φ= ,在 f(x)在(0,

)上为单调递减函数

D.φ=

,在 f(x)在(0,

)上为单调递增函数

考点: 专题: 分析: 解答:

两角和与差的正弦函数. 三角函数的求值. 由对称性易得函数的周期,由对称性可得 φ 值,再由单调性可得. 解:化简可得 f(x)=sin(ωx+φ)﹣ cos(ωx+φ) ) , 是函数 f(x)图象的两条相邻的对称轴, ﹣0)=π,解得 ω=2, ) , =kπ+ , ,

=2sin(ωx+φ﹣ ∵直线 x=0 和 x= ∴T= =2(

∴f(x)=2sin(2x+φ﹣

由对称性可知 f(0)=±2,即 φ﹣ 解得 φ=kπ+ ,由|φ|< ﹣

可知当 k=﹣1 时,φ=﹣ )=2sin(2x﹣ ,k∈Z

∴f(x)=2sin(2x﹣

)=﹣2cos2x,

令 2kπ≤2x≤2kπ+π 可得 kπ≤x≤kπ+

当 k=0 时,可得函数的一个单调递增区间为(0,



故选:A 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,涉及三角函数的单调性和对称性,属基础题.

11. (5 分) A.﹣ B.

=() C. D.1

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 把 cos85°化为 cos(60°+25°) ,由两角和的余弦公式化简即可. 解答: 解: =

= 故选:C

=

点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题.

12. (5 分)定义行列式运算

,将函数

的图象向左

平移 t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 t 的最小值为() A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 根据已知中行列式运算 ,我们易写出函数

的解析式,利用辅助角公式,可将函数的解析式化为正弦型函数的形式, 结合函数 f(x)的图象向左平移 t(t>0)个单位后图象对应的函数为偶函数,易得平移后, 初相角的终边落在 y 轴上,写出满足条件的 t 的取值,即可得到答案. 解答: 解:∵ ,



=

cos2x﹣sin2x=2sin(2x+



将函数 f(x)=2sin(2x+

)的图象向左平移 t(t>0)个单位后 +2t)的图象

可以得到函数 f(x)=2sin(2x+

则所得图象对应的函数为偶函数,则 +2t= +kπ,k∈N*

当 k=1 时,t 取最小值为 故选 C 点评: 本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中根据已知中行列式运算 法则及辅助角公式,求出函数的解析式是解答本题的关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)已知函数 f(x)= ,则 f=2016.

考点: 函数的值;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解.

解答: 解:∵f(x)=
﹣(﹣1)



∴f=f=f(﹣1)=2 +2014=2016. 故答案为:2016. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意函数的性质的合理运用.

14. (5 分)已知 sin(α﹣

)= ,则 cos(α+

)的值等于



考点: 两角和与差的正弦函数. 分析: 利用两角和与差的三角函数化简已知条件,然后求解所求表达式的值. 解答: 解:sin(α﹣ cos(α+ )= )= ,即: sinα﹣ cosα= . cosα)=﹣ .

cosα﹣ sinα=﹣( sinα﹣

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,诱导公式的应用,基本知识的考查.

15. (5 分)y=log

(2x+

)的定义域是(﹣

,+∞) .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的性质求解. 解答: 解:y=log (2x+ )的定义域满足 2x+ >0,

解得 x>﹣ ∴y=log

. )的定义域是(﹣ ,+∞) .

(2x+

故答案为: (﹣

,+∞) .

点评: 本题考查函数的定义域的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的合理运 用. 16. (5 分)给出下列命题: ①函数 y=sin( π+x)是偶函数;

②函数 y=cos(2x+

)图象的一条对称轴方程为 x=



③对于任意实数 x,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) ,且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x) >0,则 x<0 时,f′(x)>g′(x) ; ④若对?x∈R 函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,则 4 是该函数的一个周期. 其中真命题的个数为①③④. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据诱导公式和余弦函数的奇偶性, 可判断①; 根据正弦函数的对称性, 可判断②; 根据奇函数在对称区间上单调相同, 偶函数在对称区间上单调相反, 及导数符号与函数单调性 的关系,可判断③;根据函数周期性的定义可判断④ 解答: 解:函数 y=sin( π+x)=﹣cosx,满足 f(﹣x)=f(x)为偶函数,故①正确; 由 2x+ 为 ﹣ =kπ,k∈Z 得:x= ﹣ ,k∈Z,故函数 y=cos(2x+ )图象的一条对称轴方程

,k∈Z,故②错误;

由已知可得函数 f(x)为奇函数,函数 g(x)为偶函数,当 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)> 0,函数 f(x) ,g(x)均为均函数, 故 x<0 时,函数 f(x)为增函数,g(x)为减函数,故 f′(x)>0,g′(x)<0,即 f′(x) >g′(x) ,故③正确; 若 f(x+2)=﹣f(x) ,则 f(x+4)=﹣f[(x+2)]=f(x) ,即 4 是该函数的一个周期, 故答案为:①③④ 点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性,对称性,单调性,周期性,是函数图象和性质 的综合应用,难度中档. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知角 α 的终边经过点 P( ,﹣ ) . (1)求 sinα 的值. (2)求式 ? 的值.

考点: 任意角的三角函数的定义;运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)求出|OP|,利用三角函数的定义,直接求出 sinα 的值. (2)利用诱导公式化简表达式,根据角的终边所在象限,求出 cosα= ,可得结果.

解答: 解: (1)∵|OP|= ∴点 P 在单位圆上. (2 分)



由正弦函数的定义得 sinα=﹣ (5 分) (2)原式= = ..(10 分) (9 分)

由余弦的定义可知,cosα= (11 分) 即所求式的值为 (12 分) 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,运用诱导公式化简求值,考查计算能力,推理 能力,是基础题.

18. (12 分)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性.

) (ω>0)的最小正周期为 π.

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先利用和角公式再通过二倍角公式,将次升角,化为一个角的一个三角函数的 形式,通过函数的周期,求实数 ω 的值; (2) 由于 x 是[0, 在区间[0, ]范围内的角, 得到 2x+ 的范围, 然后通过正弦函数的单调性求出 f (x)

]上的单调性. )=2 )+ sinωx?cosωx+2 , cos ωx
2

解答: 解: (1)f(x)=4cosωxsin(ωx+ = (sin2ωx+cos2ωx)+ =π,∴ω=1. )+ =2sin(2ωx+

所以 T=

(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ 因为 0≤x≤ 当 当 ≤2x+ ≤2x+ ,所以 ≤ ≤ ≤2x+ ≤ ,



时,即 0≤x≤ 时,即 ≤x≤

时,f(x)是增函数, 时,f(x)是减函数, , ]上单调减.

所以 f(x)在区间[0,

]上单调增,在区间[

点评: 本题考查三角函数的化简求值,恒等关系的应用,注意三角函数值的变换,考查计 算能力,常考题型. 19. (12 分)已知 sin(π﹣α)= ,α∈(0, (1)求 sin2α﹣cos
2

) .

的值;

(2)求函数 f(x)= cosαsin2x﹣ cos2x 的单调递减区间.

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由 sin(π﹣α)= ,可得 sinα= ,由于 α∈(0, 倍角公式即可得出. (2)利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出. 解答: 解: (1)∵sin(π﹣α)= ,∴sinα= , ∵α∈(0, ) ,∴cos . ) ,可得 cos .再利用

∴sin2α﹣cos

2

=2sinαcosα﹣

=

=

. . (k∈Z) .

(2)函数 f(x)= cosαsin2x﹣ cos2x= sin2x﹣ cos2x= 由 ∴函数 f(x)单调递减区间为 ,解得 (k∈Z) .

点评: 本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、同角三角函数的 基本关系式,考查了计算能力,属于中档题.

20. (12 分)函数 分图象如图所示. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)设 定此时 x 的值. ,求函数 g(x)在

的部

上的最大值,并确

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的最值. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (Ⅰ) 由图读出 A, 最高点到时左边第一个零点的横坐标的差的绝对值为四分之一周 期,求出周期 T,进而求出 ω,代入点的坐标求出 φ,得 f(x)的解析式; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)的解析式,把 x﹣ 代入求 f(x﹣ ) ,进而求出 g(x) ,利用降幂

公式得一个角一个三角函数值,由 x 的范围,求出 3x+ 出 cos(3x+ )的范围,进一步求出最大值. ,则 +φ)=2, ,

的范围,借助余弦函数的图象,求

解答: 解: (Ⅰ)由图知 A=2, ∴f(x)=2sin( x+φ) ,∴2sin( × ∴sin( +φ)=1,∴ +φ=



,∴φ=

∴f(x)的解析式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:

∴ ∵ ∴当 即 ∴ 时,g(x)max=4

点评: 给出条件求 y=Asin(ωx+φ)的解析式,条件不管以何种方式给出,一般先求 A,再 求 ω, 最后求 φ; 求三角函数最值时, 一般要把式子化为 y=Asin (ωx+φ) +B 或 y=Acos (ωx+φ) +B 的形式,从 x 的范围由里向外扩,一直扩到 Asin(ωx+φ)+B 或 Acos(ωx+φ)+B 的范围, 即函数 f(x)的值域,数形结合,看 ωx+φ 为多少时,取得最值.用到转化化归的思想.

21. (12 分)已知 α,β∈(0,π) ,且 tanα=2,cosβ=﹣ (1)求 cos2α 的值; (2)求 2α﹣β 的值.



考点: 二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)利用二倍角的余弦函数,通过分母“1=sin α+cos α”的代换,然后化简分式 2tanα 的形式,代入数值全家健康. (2)通过 α,β 的范围求出 sin2α,sinβ,通过二倍角的正弦函数,求出 sin(2α﹣β)的值, 结合角的范围求出角的大小即可. 解答: 解: (1)cos2α=cos α﹣sin α=
2 2 2 2

=



因为 tanα=2,所以 所以 cos2α= .



(2)因为 α∈(0,π) ,且 tanα=2,所以 又 cos2α= ,∴ . , , ,

因为 β∈(0,π) ,cosβ=﹣ 所以 ,

所以 sin(2α﹣β)=sin2αcosβ﹣cos2αsinβ = =﹣ 又 ∴2α﹣β=﹣ . , ,

点评: 本题考查同角三角函数的基本关系式,二倍角的余弦函数与两角和与差的三角函数 的应用,考查计算能力,注意角的范围是解题的关键. 22. (12 分)已知 f(x)=x +ax ﹣a x+2. (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)若 a≠0,求函数 f(x)的单调区间; 2 (Ⅲ)若不等式 2xlnx≤f′(x)+a +1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
3 2 2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出切点坐标,斜率 k,k=f′(1) ,用点斜式即可求出方程; (Ⅱ)解含参的不等式:f′(x)>0,f′(x)<0 即可; (Ⅲ)分离出参数 a 后,转化为函数的最值问题解决,注意函数定义域. 3 2 解答: 解: (Ⅰ)∵a=1,∴f(x)=x +x ﹣x+2, 2 ∴f′(x)=3x +2x﹣1,∴k=f′(1)=4,又 f(1)=3,所有切点坐标为(1,3) . ∴所求切线方程为 y﹣3=4(x﹣1) ,即 4x﹣y﹣1=0. (Ⅱ)f′(x)=3x +2ax﹣a =(x+a) (3x﹣a)由 f′(x)=0,得 x=﹣a 或 x= . (1)当 a>0 时,由 f′(x)<0,得﹣a<x< ;由 f′(x)>0,得 x<﹣a 或 x> , 此时 f(x)的单调递减区间为(﹣a, ) ,单调递增区间为(﹣∞,﹣a)和( ,+∞) . (2)当 a<0 时,由 f′(x)<0,得 ;由 f′(x)>0,得 x< 或 x>﹣a.
2 2

此时 f(x)的单调递减区间为( ,﹣a) ,单调递增区间为(﹣∞, )和(﹣a,+∞) . 综上:当 a>0 时,f(x)的单调递减区间为(﹣a, ) ,单调递增区间为(﹣∞,﹣a)和( , +∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调递减区间为( ,﹣a) ,单调递增区间为(﹣∞, )和(﹣a,+∞) . (Ⅲ)依题意 x∈(0,+∞) ,不等式 2xlnx≤f′(x)+a +1 恒成立, 等价于 2xlnx≤3x +2ax+1 在(0,+∞)上恒成立,可得 a≥lnx﹣ x﹣
2 2

在(0,+∞)上恒成立,

设 h(x)=lnx﹣



,则 h′(x)= ﹣ +

=﹣



令 h′(x)=0,得 x=1,x=﹣ (舍) ,当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0, 当 x 变化时,h′(x) ,h(x)变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) h′(x) + 0 ﹣ h(x) 单调递增 ﹣2 单调递减 ∴当 x=1 时,h(x)取得最大值,h(x)max=﹣2,∴a≥﹣2. ∴a 的取值范围是[﹣2,+∞) . 点评: 本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题,不等 式恒成立常转化为函数最值问题解决.


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