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四川省绵阳中学2014届高三上学期第三次月考试题 数学(理) Word版含解析


绵阳中学 2011 级高三第二次月考(2013.12) 理科数学试题(命题人:罗福
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列不等式一定成立的是( ) B. sin x ? D. 王逍)

1 A. lg( x 2 ? ) ? lg x ( x ? 0 ) 4
C. x 2 ? 1 ? 2 | x | ( x?R )

1 ? 2 ( x ? k? , k ?Z ) sin x

1 ? 1 ( x?R ) x ?1
2

2.已知命题 p : ?x1 , x2 ?R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0 ,则 ?p 是( A. ?x1 , x2 ?R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0 C. ?x1 , x2 ?R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0



B. ?x1 , x2 ?R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0 D. ?x1 , x2 ?R , ( f ( x2 ) ? f ( x1 ))( x2 ? x1 ) ? 0

3.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m ,则“ ? ? ? ” 是“ a ? b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知集合 A ? {1,2,3,4,5} , B ? {( x, y) | x ? A, y ? A, x ? y ? A} ,则 B 所含元素的个数为( A.3 B.6
2



C.8

D.10 ) D. 3

5.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到双曲线 x 2 ? A.

y ? 1 的渐近线的距离是( 3
C. 1 )
y

3 1 B. 2 2 6.函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为(
y y

y

7.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产 品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元.每桶乙产品的利润是 400 元.公 司在生产这两种产品的计划中.要求每天消耗 A.B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每 天生产的甲、乙两种产品中。公司共可获得的最大利润是( ) A.1800 元 B.2 400 元 C.2 800 元 D.3100 元 8.过点(3,1)作圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 )

D. 4 x ? y ? 3 ? 0

9.如图, F1 、 F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点,A、B 分别是 C1 、 C2 在第二、四象限的 4


公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A. 2 C.

B. 3 D.

6 2 ???? ???? ? ???? ???? ? ? ??? ???? ???? ? ? ??? ? ??? 1 ? 10. 在平面上,AB1 ? AB2 ,| OB1 |?| OB2 |? 1 ,AP ? AB1 ? AB2 , | OP |? , | OA | 的取值范围是 若 则 ( 2
A. (0,

3 2



5 ] 2

B. (

5 7 , ] 2 2

C. (

5 , 2] 2

D. (

7 , 2] 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积是 。 12.向量 a 、 b 、 c 在正方形网格中的 如图所示,若 c ? ?a ? ?b ( ? , ? ? R ) ,

位置 则 11 题 12 题

? ? ?



13.甲、乙、丙、丁和戊 5 名学生进行 劳动技术比赛, 决出第 1 名到第 5 名的 名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你和乙都没有得到冠军” ;对乙说“你当 然不会是最差的”从上述回答分析,5 人的名次排列可能有 种不同情况?(填数字) 。 14.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos? ?

15.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 l,3,6,10,?,第 n 个三角形

n(n ? 1) 1 2 1 (k≥3) , ? n ? n .记第 n 个 k 边形数为 N (n, k ) , 2 2 2 以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N (n,3) ? n2 ? n , 2 2
数为 正方形数 五边形数 六边形数

N ( n, 4 ? n ) 2

3 1 N (n,5) ? n2 ? n 2 2
N ( n, 6? )
2 n? n 2

?? 可以推测 N (n, k ) 的表达式,由此计算 N (10, 24) ? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,其前 n 项和 Sn ? pn2 ? 2n(n ? N ? ) 。 (1)求 p 的值及 an ; (2)若 bn ?



2 9 ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使 Tn ? 成立的最小正整数 n 的值。 (2n ? 1)an 10

17.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。 (1)求 A; (2)若△ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。

18.如图 1,在 Rt△ABC 中 , ?C ? 90? ,BC=3,AC=6,D、E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2。 (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?请说明理由。 ..

a , ? 1 (其中 a 是不为 0 的实数) g ( x) ? ln x ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) x (1)判断函数 F ( x) 在 (0,3] 上的单调性;
19.已知函数 f ( x) ?

2a ) ? 2m 的图象与函数 y ? g ( x 2 ? 1) 的图象恰好有四个不同的交 x ?1 点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由。
(2) 是否存在实数 m , 使得函数 y ? f (
2

20.已知曲线 C : (5 ? m) x 2 ? (m ? 2) y 2 ? 8(m ? R) 。 (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y ? kx ? 4 与曲线 C 交于不同的 两点 M,N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G,求证:A,G,N 三点共线。

21.已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828??是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 ex

的切线与 x 轴平行。 (1)求 k 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? ( x2 ? x) f ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,证明:对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 。

绵阳中学 2011 级高三第二次月考(2013.12) 理科数学答案
一、选择题(本大题共 10 分,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 B

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6 D 7 C 8 A 9 D 10 D

10. 【解题思路】根据条件知 A, B1 , P, P2 构成一个矩形 AB1 PB2 , 以 AB1 , AB2 所在直线为坐标轴建立平面直

???? ? ???? ? 角 坐 标 系 , 设 AB1 ? a, AB2 ? b , 点 O 的 坐 标 为 ( x, y ) 则 点 P 坐 标 为 (a ,b ). 由 OB1 ? OB2 ? 1 得

??? 1 ? ?( x ? a) 2 ? y 2 ? 1, ?( x ? a ) 2 ? 1 ? y 2 ? ? 则 ? 又 由 OP ? , 得 ? 2 2 2 2 2 ? x ? ( y ? b) ? 1, ?( y ? b ) ? 1 ? x ? ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 1 1 7 则 1 ? x2 ? 1 ? y 2 ? ,即 x 2 ? y 2 ? 4 4 4
①. 又

( x ? a) 2 ? y 2 ? 1 ,
得 x 2 ? y 2 ? a 2 ? 1 ? 2ax ? 1 ? a 2 ? x 2 ,则 y 2 ? 1 ; 同理由 x 2 ? ( y ? b)2 ? 1 ,得 x 2 ? 1 ,

7 ? x2 ? y 2 ? 2 , 4 ??? ? ? 7 7 ??? 所以 ? x 2 ? y 2 ? 2 . OA ? 2 ,故选 ? OA ? 2 ,故选 D. 2 2
即有 x2 ? y 2 ? 2 ②由①②知 二、解答题(本大题 6 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 16? ? 16 12. 4 13. 54 14 .

?

2 5 5

15. 1000

15. 【命题立意】本题考查观察、推理、归纳等能力,难度较大。 【解题思路】将已知的列表式做如下转化,三角形数: N (n,3) ?

n2 ? n (3 ? 2)n2 ? (4 ? 3)n ;正方形数 ? 2 2 n 2n2 ? on (4 ? 2)n2 ? (4 ? 4)n 3n2 ? n (5 ? 2)n2 ? (4? 5) ;五边形数: N (n , 5) ? ;六边形数: N (n, 4) ? ? 2 2 2 2 (k ? 2)n2 ? (4 ? k )n 4n2 ? 2n (6 ? 2)n2 ? (4 ? 6)n ; 可 以 推 测 : N (n, k ) ? . 所 以 N (n,6) ? ? 2 2 2 ( 2? 4 ?22 ) ?1 0 ? ( ? 4 2 4 ) 1 0 N ( 1 0 ?2 4 ) , ? 1 0 0 0 2

16. 解析(1)由已知 a1 ? S1 ? p ? 2, S2 ? 4P ? 4, 即 a1 ? a2 ? 4 p ? 4,? a2 ? 3 p ? 2. (2 分) 又此等差数列的公差 2,? a2 ? a1 =2, 2 p ? 2,? p ? 1,? a1 ? p ? 2 ? 3 ?

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1
(2)由(1)知 bn ?

(4 ? p ?1 , a ? 2n ? 1 . 分) n

2 1 1 ? ? , (6 分) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? b1 ? b2 ? b3 +?+bn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) (8 分) 1 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ?1? Tn ? 1 2n 9 2n 9 9 ? . (9 分)?Tn ? ,? ? ,? 20n ? 18n ? 9, (10 分)即 n ? ,又 n ? N ? ,?使 2n ? 1 2n ? 1 10 2n ? 1 10 2

9 成立的最小整数 n 的值为 5.(12 分) 10

17. 解: (Ⅰ)由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 及正弦定理得

sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ? 0. 因为 B ? ? ? A ? C,
所以 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C =0 由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ?

?
6

1 )? . 2

?
3

. (5 分)

1 1 3 3 (Ⅱ)由 S ? bc sin A= bc? ? bc ? 5 3 ,得 bc ? 20. 2 2 2 4
又 b ? 5, 知 c ? 4 由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故 a ? 21 . 又由正弦定理得 sin B sin C ?

b c bc 20 3 5 sin A? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? . (12 分) a a 21 4 7 a
所以 DE ? AC. 所以 DE ? A1D, DE ? CD.

18. 解:(Ⅰ)证明:因为 AC ? BC, DC // BC,

所以 DE ? 平面 A1 DC ,所以 DE ? AC 又因为 A1C ? CD ,所以 A1C ? 平面 BCDE(3 分) 1 (Ⅱ)如图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C ? xyz , 则 A1 (0, 3), D(0,2,0), M (0,1, 3 ), B(3,0), E (2, 0). 0,2 0, 2, 设平面 A1 BE 的法向量为 n ? ( x, y, z ),

???? ??? ? ???? ??? ? 0,-2 3) , BE ? (?1,2,0) , 则 n?A1 B ? 0, n?BE ? 0. 又 A1 B ? (3,
?3 x ? 2 3 z ? 0, ? 所以 ? ? ? x ? 2 y ? 0. ?

, . 令 y ? 1, x ? 2 z ? 3 则

所以 n ? (2,1, 3). 设 CM 与平面 A1 BE 所成的角为 ? 因为

???? ? ???? ? ???? ? n? CM 4 2 CM ? (0, 3), 所以 sin ? ? cos(n, CM ) ? 1, ? . 所以 CM 与平面 A1 BE 所成的角大 ???? ? ? 2 8? 4 n CM
小为

? .(7 分) 4

(Ⅲ)线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直,理由如下: 假设这样的点 P 存在,设其坐标为 ( p,0,0) ,其中 p ? ? 0,3?. 设平面 A1 DP 的法向量 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ?2 y ? 2 3 z1 ? 0, ? 2,-2 3), DP ? ( p, ?2,0) 所 以 ? 1 则 m?A1 D ? 0, m?DP ? 0. 又 A1 D ? (0, ? px1 ? 2 y1 ? 0, ?

令 x1 ? 2 , 则

y1 ? p, z1 ?

p p ,所以 m ? (2, p , ) .平面 A1 DP ? 平面 A1 BE ,当且仅当 m? ? 0 ,即 4 ? p ? p ? 0 ,解得 n 3 3

p ? ?2 ,与 p ? ? 0,3? 矛盾.所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直.(12 分)
19. 解: (Ⅰ) F ( x) ?

a x?a ? 1 ? ln x ,于是 F ?( x) ? 2 . x x

①当 a ? 0 时,F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 (0,3) 上是增函数; ②当 0 ? a ? 3 时,x ? (0, a) 时,F ?( x) ? 0 , F ( x) ? ? 在 (0, a ) 上是减函数;x ? (a,3) 时,F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 a , 上是增函数; ③当 a ? 3 时,F ?( x) ? 0 , ( 3) ?

? F ( x) 在(0,3)上是减函数?????5 分
(Ⅱ)由已知得 f (

1 x2 1 2a ) ? 2m ? g ( x 2 ? 1) ,代入整理得 m ? ln( x 2 ? 1) ? ? .于是题意即为直线 y ? m 2 4 4 x2 ? 1

1 x2 1 与 y ? ln( x 2 ? 1) ? 的 图 象 有 ? 2 4 4 x(1 ? x)(1 ? x) h?( x) ? . 2( x 2 ? 1)

4

1 x2 1 个 不 同 的 点 。 令 h( x) ? ln( x 2 ? 1) ? ? , 2 4 4



1 1 可绘出 h( x) 的大致图象如右.由图象可知当 m? ( , ln 2) 时满足有四个 4 2 1 1 同的交点.?存在实数 m? ( , ln 2) 时满足条件???????12 分 4 2
20. (Ⅰ)曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,当且仅当 ?
? ?5 ? m ? 0, ?m ? 2 ? 0, ? 8 8 ? ? , ?5 ? m m ? 2



解得

7 7 ? m ? 5, 所以 m 的取值范围是 ( ,5). (5 分) 2 2
(Ⅱ)证明:当 m ? 4 时,曲线 C 的方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 8, 点 A, B 的坐标分别为(0,2)(0,-2). ,

? y ? kx ? 4, 由 ? 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 16kx ? 24 ? 0. 因 为 直 线 与 曲 线 C 交 于 不 同 的 两 点 , 所 以 2 ?x ? 2 y ? 8

3 ? ? (16k )2 ? 4(1 ? 2k 2 ) ? 24 ? 0 , 即 k 2 ? . 设 点 2
1 ? 2k 1 ? 2k

M,N

的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 则

y1 ? kx1 ? 4, y2 ? kx2 ? 4, x1 ? x2 ? ?16k , x1 , x2 ? 24 . 直 线 BM 的 方 程 为 y ? 2 ? 2 2

y1 ? 2 x, 点 G 的 坐 标 为 x1

(

3x1 y ?2 y ?2 ,1).k AN ? 2 , k AG = ? 1 , y1 ? 2 x2 3x1
?16k x2 3 x1 x2 3 x1 3 x1x 2 3 24 1 ? 2k 2

2? 所以 k ? k ? y2 ? 2 ? y1 ? 2 ? kx2 ? 2 ? kx1 ? 6 ? 4 k ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 k ? 1 ? 2k 2 ? 0. 即 k AN ? k AG . 故 A,G,N 三点共线. AN AG

(13 分) 21. (Ⅰ)由 f ( x) ?

1nx ? k 1 ? kx ? x ln x , 得 f ?( x) ? , x ? (0, ??), 由于曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴 ex xe x

平行,所以 f ?(1) ? 0 ,因此 k ? 1 (3 分) ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 得 f ?( x) ?

1 ?? ) (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) , 令 h( x) ? 1? x ? x ln x , x? (0, 当 x ? (0,1) 时 , xe x

h( x ) ? 0;当 x? (, ? ) 时,h( x) ? 0. 又 e x ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;x? (1 ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 因 1 ?
此 f ( x) 的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为 (1, ??). (8 分) ( Ⅲ ) 证 明 因 为 g ( x) ? ( x2 ? x) f ?( x) , 所 以 g ( x) ?

x ?1 (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??). 因 此 对 任 意 ex

x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 等价于 1 ? x ? x ln x ?

ex (1 ? e?2 ). x ?1

由(Ⅱ)知 h( x) ? l? x ? x ln x, x ? (0, ??),

所以 h?( x) ? ? ln x ? 2 ? ?(ln x ? ln e?2 ), x ? (0, ??),

因此当 x ? (0, e?2 ) 时, h?( x) ? 0, h( x) 单调递增;当 x ? (e?2 , ??) 时 h?( x) ? 0, h( x) 单调递增. 所以 h( x) 的最大值为 h(e?2 ) ? 1 ? e?2 故 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 . 设 ? ( x) ? e x ? ( x ? 1).

因为 ? ?( x) ? e x ? 1 ? e x ? e0 ,所以 x? (0, ??) 时, ? ?( x) ? 0,? ( x) 单调递增, ? ( x) ? ? (0) ? 0, 故 x? (0, ??) 时, ? ( x) ? e x ? ( x ? 1), 即

ex ex ? 1. 所以 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 ? (1 ? e?2 ). x ?1 x ?1

因此对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 . (14 分)


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