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第二届数学趣味知识竞赛试题及答案[1]


湖 南 生 物 机 电 职 业 技 术 学 院 第二届“趣味数学” 第二届“趣味数学”竞赛题

班级____________

姓名____________

本赛题分五大题(选择题、填空题、作图题、简单模型题、附加题) 本赛题分五大题(选择题、填空题、作图题、简单模型题、附加题)

满分: 满分:1

00 分(不含附加题 20 分)

考试时间: 考试时间:120 分钟

一、选择题(每题 3 分,共 21 分。) 选择题(

1. (破译密码)一份密码由 3 个人独立去破译,他们能破译出的概率分别是 1/3,1/4,1/5,求该密码被破译出的概率是________。 A.3/4 B.3/5 C.1/2 D.2/3

2. 由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为 K,如果 K 为 整数,那么 K 的最大值是________。

A.39

B.59

C.79

D.89

3.现有一堆工程废料需要清理出去。第一次运走总量的

1 ,第二次运 1999

2 3 4 , 第三次运走余下的 , 第四次运走余下的 , 1999 ? 1 1999 ? 3 1999 ? 6 5 第五次运走余下的 ,依此规律继续运下去,那么当运走 50 次后,余下 1999 ? 10

走余下废料的

的废料是总量的________。

A.328/1999

B.238/1999

C.436/1999

D.724/1999

4.甲、乙、丙三堆石子共 196 块,先从甲堆分给另外两堆,使后两堆石子 数增加一倍;再把乙堆照样分配一次;最后把丙堆也照样分配一次。结果丙堆石 子数为甲堆的
5 ,那么原来三堆石子中,最少的一堆石子数为________。 22

A.18

B.27

C.49
1

D.67

5.在下面的算式中,不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代表相同的 数字,每个△代表一个数字,当算式成立时,乘积是________。

A.35993

B.58939

C.84838

D.99324

6.五个连续偶数之和为完全平方数,中间三个偶数之和为完全立方数(即 一个整数的三次方)。那么这样一组数中的最大数的最小值是________。

A. 32000

B.43000

C.72000

D.81000

7. 由于帽子以 20 美元一顶的价钱卖不出去, 男士服饰店老板决定把价钱降 到 8 美元一顶;但还是没有人要, 因而他不得不再一次降价, 降到 3.20 美元一顶, 最后又降到 1.28 美元。要是下一次再降价,这位老板就只好按成本价出售了。 成本价是 ________。

A.0.234

B. 0.435

C. 0.512

D. 0.832

二、填空题(每空 3 分,共 24 分。) 填空题

1. a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998,a 的整数部分是________。

2. 1995 的约数共有________。

3. 等式“学学×好好+数学=1994”,表示两个两位数的乘积,再加上一个 两位数,所得的和是 1994。式中的“学、好、数”3 个汉字各代表 3 个不同数字, 其中“数”代表________。
9 化成小数后,小数点后第 100 位的数字是________。 14

4.把

2

5. 小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积,小胡看错了甲数的个位数字, 计算结果为 1274;小涂看错了甲数的十位数字,计算结果为 819。甲数是 ________。

6. 1994 年“世界杯”足球赛中,甲、乙、丙、丁 4 支队分在同一小组。在 小组赛中,这 4 支队中的每支队都要与另 3 支队比赛一场。根据规定:每场比赛 获胜的队可得 3 分;失败的队得 0 分;如果双方踢平,两队各得 1 分。已知:

(1)这 4 支队三场比赛的总得分为 4 个连续奇数;

(2)乙队总得分排在第一;

(3)丁队恰有两场同对方踢平,其中有一场是与丙队踢平的。

根据以上条件可以推断:总得分排在第四的是________队。

7. 一块空地上堆放了 216 块砖(如图 3),这个砖堆有两面靠墙。现在把 这个砖堆的表面涂满石灰,被涂上石灰的砖共有________块。

8. 南方某城市的一家企业有 90%的员工是股民, 80%的员工是 “万元户” , 60%的员工是打工仔。 那么, 这家企业的 “万元户” 中至少有________%是股民; 打工仔中至少有________(填一个分数)是“万元户”。

3

三、作图题(每题 5 分,共 10 分) 作图题

1.右图是一个直角梯形。请你画一条线段,把它分成两个形状相同面积相等 的四边形。(请标明表示线段位置的数据及符号或写出画法)。

2.一张 8×8 的方格纸,每个方格都涂上黑、白两色之一。能否适当涂色, 使得每个 3×4(不论横竖)的 12 个方格中都恰有 4 个黑格和 8 个白格?如果能 行,请在下面的表格中画出来?

四、简单模型题(请写好解题过程,必要的文字说明,共 45 分) 简单模型题

1. 从 0,1,2------9 这十个数中不放回随机取 4 个数能排成 4 位偶数的概 率 P1 与从中不放回随机取 5 个数能排成一个 5 位偶数的概率 P2 哪个大?(6 分)

4

2. 利民商店从日杂公司买进一批蚊香,然后按希望获得的纯利润,每袋加 价 40%定价出售。但是,按这种定价卖出这批蚊香的 90%时,夏季即将过去。 为加快资金周转,商店以定价打七折的优惠价,把剩余蚊香全部卖出。这样,实 际所得纯利润比希望获得的纯利润少了 15%。按规定,不论按什么价钱出售, 卖完这批蚊香必须上缴营业税 300 元(税金与买蚊香用的钱一起作为成本)。问 利民商店买进这批蚊香用了多少元?(8 分)

3. 假定某轮船公司较长时间以来,每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约, 并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间, 来去都是七昼夜。问今天中午从哈佛开出的轮船,在整个航运途中,将会遇到几 只同一公司的轮船从纽约开来的?(8 分)

5

4. 一个学雷锋小组的大学生们每天到餐馆打工半小时,每人可挣 3 元钱。 到 11 月 11 日, 他们一共挣了 1764 元。 这个小组计划到 12 月 9 日这天挣足 3000 元,捐给“希望工程”。因此小组必须在几天后增加一个人。问:增加的这个人 应该从 11 月几日起每天到餐馆打工, 才能到 12 月 9 日恰好挣足 3000 元钱? (10 分)

5.有 12 只球,编号 1—12 ,它们外形相同,其中有 11 只重量相等,另 外 1 只重量略有不同 ( 称作坏球 ) ,但不知这只球是偏轻还是偏重。要求用 一架天平称量 3 次,找出这只坏球, 并判定它是偏轻还是偏重。假定你第一次 选 1,3,5,7 号 放在左盘, 2,4,6,8 号 放在右盘,称量结果是左边比右 边重。第二次你又选择 3 , 6 , 8 号放在左盘, 1 , 2 , 10 号放在右盘, 仍然是左边比右边重。这时能否断定哪个是坏球?或者你可以作出某种结论? (13 分)

6

五.附加题(20 分) 附加题 扩音器插头为圆柱形,截面半径 r 为 0.20cm ,长度 l 为 8cm ,为了提高它的 导电性能,必须在这圆柱的侧面镀上一层厚为 0.001cm 的纯铜,问约需多少克纯 铜?(铜的密度是 8.9 g / cm 3 )

7

详解与说明

一.选择题

1-7. B

C

D

B

D

C

C

二、填空题

1. 解法一:a=(9-0.2)+(9-0.02)+(9-0.002)+(9-0.0002)+

(9-0.00002)

=45-0.22222

=44.77778

解法二:a>8.8×5=44

a<9×5=45

44<a<45

答案:44。

2. 解:1995=3×5×7×19,由乘法原理可知,1995 的约数有

(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)

答案:16 个。

3. 解:“学学”、“好好”一定都是 11 的倍数,从而它们的积一定是 121 (=11×11)的倍数。

1994÷121=16…58

58 即“数学”。

8

答案是 5。

4.解:

由于小数点后第 100 位上的数字,即是“6”后面第 99 位上的数字,所以, 由“99÷6=16……3”可知,小数点后第 100 位上的数字,即是循环节中左起第 3 个数字。

答案是 8。

5.解:由于小胡和小涂都没有看错乙数,所以,乙数是 1274 和 819 的公约 数。

1274=2×7×7×13

819=3×3×7×13

1274 与 819 的公约数有 1,7,13,91 这四个。但是由“乙数是两位数”, 可排除 1 和 7;又由“小涂看错了的甲数也是两位数”,可排除 91(不然的话, 小涂看错了的甲数只能是一位数 9)。因此,乙数必定是 13。

根据乙数是 13,可知小胡看错了的甲数是

1274÷13=98(8 是看错的)

小涂看错了的甲数是

819÷13=63(6 是看错的)

因此,甲数是 93。

答案是 93。

9

6.解:(1)这 4 个连续奇数必为 1,3,5,7,如果不是,只有 3,5,7,9 可能,这样第一名得 9 分(三场全胜),第二名最多得 6 分(胜两场),而不是 7 分。矛盾。所以,乙队得 7 分,而且一定是“2 胜 1 平”。或者由每场双方得 分之和最多 3 分,最少 2 分,所以,4 支队共比 6 场,6 场的总分 A 满足。

12≤A≤18

但是当 4 个奇数为 3、5、7、9 时,A=24,不在上面的范围内,所以,4 个奇 数为 1、3、5、7。

(2)由于丁队有两场踢平(已得 2 分),另一场必胜(得 3 分)。不然的话 就是败,总分 2 分与“奇数”的条件矛盾。所以,丁队“2 平 1 胜”,得 5 分。

(3)由于丁队一场未败,所以,败给乙队的一定是甲队与丙队。

(4)丙队不可能排第三(得 3 分)。这是因为它与乙、丁两队比的两场是“1 平 1 败”,得 1 分,而把甲队打胜打平都不可能得 2 分。

所以,丙队一定排在第四。

答案是“丙”。

7.解:如下图,把这个砖堆分成 9 垛:

容易算出,这 9 垛的第 1 层(最上层)的砖都被涂上了石灰,这些砖共有

4×3×3=36(块)

10

从第二层开始,仅有 A、B、C、D、E 这 5 垛的砖被涂上石灰,而且每层块数 相同,都是

(1+4)×2+4=14(块)

这个砖堆中被涂上石灰的砖共有

36+14×5=106(块)

答案是 106。

8.解: 根据题意, 可假设该企业共有员工 100 人 (也可假设为 1000 人, 10000 人……),那么,这个企业有

90 人 是 股民

80 人 是 “万元户”

60 人 是 打工仔

也就是说,这个企业中

100-90=10(人)不是股民

100-80=20(人)不是“万元户”

因此,是“万元户”的 80 人中,最多有 10 人不是股民,从而他们当中至少 有

80-10=70(人)

是股民,他们占全体“万元户”的

70÷80×100%=87.5%

11

同样道理,是打工仔的 60 人中,最多有 20 人不是“万元户”,从而,他们 当中至少有

60-20=40(人)

是“万元户”。

三、作图题

1.下面是两种标注数字符号的方法,如下图:

(2)取斜腰中点作两个全等的小三角形

2.

12

四、简单模型题

1.P1=P2 .

2.解法一: 设买进这批蚊香共用 x 元, 那么希望获得的纯利润为 “0.4x-300” 元,实际上比希望的少卖的钱数为

x×(1-90%)×(1+40%)×(1-70%)=0.042x(元)

根据题意,得

0.042x=(0.4x-300)×15%

方程两边都乘以 1000,得,

42x=(0.4x-300)×150

42x=60x-45000

18x=45000

x=2500

解法二:设买进这批蚊香共用 x 元,那么希望获纯利润“0.4x-300”元,实 际所得利润为(0.4x-300)×(1-15%)=0.34x-255。10%的蚊香打七折,就相 当于全部蚊香打九七折卖,这样一共卖得“1.4x×0.97”元,根据题意

1.4x×0.97-x-300=0.34x-255

也就是 0.358x-300=0.34x-255

0.018x=45

x=2500

答:买进这批蚊香共用 2500 元。
13

3.解:解一:如不仔细思考,可能认为仅遇到 7 只轮船,这个错误主要是只考虑以后
开出的轮船而忽略了已在海上的轮船,为得出正确的解答,采用图解法(如下图) 。

图中的斜线表示这只轮船的运行情况,相交点为两船相遇的情况。从图上 可知,一条船最多可遇到 15 只从对面开来的船,其中包括从哈佛开船时刚驶入 哈佛港的一只船和到达纽约时刚从纽约开出的一只船。
解二:在平面 tox 上,ot 轴代表时间,ox 轴代表位置,用两条横线分别表示勒阿佛尔 港和纽约港,画出它们的时间——位置曲线(如下图) 。从勒阿佛尔开出的轮船的时间-位置 曲线用实线表示,从纽约开出的轮船的时间-位置曲线用虚线表示。因为实线与虚线相交 15 次,所以这艘轮船将遇到 15 艘轮船。从图中可以看出,有 1 艘是在出发时遇到(从纽约刚 到达勒阿佛尔) 艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出) ,1 ,剩下 13 艘则在海上相遇;另 外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜。

14

4.解:(1)还缺多少钱?

3000-1764=1236(元)

(2)从 11 月 2 日~12 月 9 日还有多少天?

30+9-12+1=28(天)

(3)这 28 天中,(原来小组中)每人可挣多少元钱?

3×28=84(元)

(4)增加的一人应挣多少元?

1236÷84=14(人)……60(元)

(5)要挣 60 元,增加的那一人要打工多少天?

60÷3=20(天)

30+9-20+1=20

答:增加的这个人应该从 11 月 20 日起去打工。

5.解 :用表格分析,以 0 表示不可能,空格表示有可能。 第一次称量可知: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 轻0 0 0 0 0 0 0 0 重 0 0 0 00 0 0 0 只由第二次称量可知:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 轻 0000000 0 0 重00 00 0 0 0 0 0
15

二者合并 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 轻0 0000000 0 0 0 重00 000000 0 0 0 故结论是 2 号偏轻或者 3 号偏重。

16


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