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量词及其否定


§1.3 量词与量词的否定

思考:
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。
常见的全称量词还有 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; “一切” “每一个” 语句

(3)(4)可以判断真假,是命题。
全称量词、全称命题定义:
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并 用符号“ ”表示。 ? 含有全称量词的命题,叫做全称命题。

“任给” “所有的”等 。

全称命题举例:
命题:对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形。

全称命题符号记法:
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x 的取值范围用M表示,那么, 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可用符号简记为:

?x ? M,p( x),
读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。

例1 判断下列全称命题的真假:

(1)所有的素数都是奇数; (2) (3)对每一个无理数x,x2也是无理数。
解:(1)假命题; (2)真命题;(3)假命题。

小结:
判断全称命题"?x ? M,p(x)"是真命题的方法:

——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立
判断全称命题"?x ? M,p(x)"是假命题的方法:

——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立即可 (举反例)

练习:
1 判断下列全称命题的真假:

(1)每个指数函数都是单调函数;
(2)任何实数都有算术平方根;

( 3)

思考:
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x0∈Z,x能被2和3整除。
常见的存在量词还有 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; “有些”“有一个” 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。

“对某个”“有的” 存在量词、特称命题定义: 等。

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量 词, ? 并用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

存在性命题举例:
命题:有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数。

存在性命题符号记法:
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x 的取值范围用M表示,那么, 存在性命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ”可用符号简记为:

?x0 ? M,p( x0 ),
读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”。

例2 判断下列存在性命题的真假:
(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数。
解:(1)假命题; (2)假命题; (3)真命题。

小 结:
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即可 (举例证明) 判断特称命题"?x0 ? M,p(x0 )"是假命题的方法: ——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在。

练 习:
2 判断下列特称命题的真假:

(1) ?x0 ? R, x0 ? 0;
(2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;

( 3)

(4)存在这样的实数它的平方等于它本身。 (5)任一个实数乘以-1都等于它的相反数; (6)存在实数x,x^3>x^2;

同一全称命题、特称命题,由于自然语 言的不同,可能有不同的表述方法:
命题 全称命题 ?x ? M , p( x)
①所有的x∈M,p(x)成立 ②对一切x∈M,p(x)成立 ③对每一个x∈M,p(x)成 立 ④任选一个x∈M,p(x)成 立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立

存在性命题

?x0 ? M , p( x)

表 述 方 法

①存在x 0∈M,使p(x)成立 ②至少有一个x 0∈M,使p(x) 成立 ③对有些x 0∈M,使p(x)成立 ④对某个x 0∈M,使p(x)成立 ⑤有一个x 0∈M,使p(x)成立

思考:指出下列命题的形式,写出下列命
题的否定 .

(1)所有的矩形都是平行四边形;

(2)每一个素数都是奇数;
(3)?x∈R,x2-2x+1≥0;

这些命题和它们的否定在形式上有 什么不同?

探究:写出命题的否定
(1)p: ? x∈R,x2+2x+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形;

(3)p:有些函数没有反函数;
(4)p:存在一个四边形,它的对角线互相 垂直且平分; (5) p:不是每一个人都会开车;

(6)p:在实数范围内,有些一元二次方程无解;

一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论:
全称命题p:

?x ? M , P( x), 它的否定?p: ?x ? M,?p(x).

全称命题的否定是存在性命题.

一般地,对于含有一个量词的存在性命题的 否定,有下面的结论:
存在性命题 它的否定

p : ?x ? M,p(x)

?p : ?x ? M,?p(x)

存在性命题的否定是全称命题.

关键量词的否定
词语 词语的 否定 词语
是 一定是 一定不 是 都是 大于 小于 且

不是

不都是

小于或等 大于或等 于 于



必有一 至少有 n个 个

所有x不 至多有 所有x成立 一个 成立

词语的 否定

一个也 至多有 n-1个 没有

至少有 存在一个x 存在有一 两个 不成立 个成立

例3 写出下列全称命题的否定:
? ? ? ? (1)p:所有人都晨练; (2)p:?x?R,x2+x+1>0; (3)p:平行四边形的对边相等; (4)p:? x∈R,x2-x+1=0;

例4 写出下列命题的否定
? ? ? ? (1) 所有自然数的平方是正数。 (2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 (3) 对任意实数x,存在实数y,使x+y>0. (4) 有些质数是奇数。

例5 写出下列命题的否定
? ? ? ? (1) 若x2>4 则x>2.。 (2) 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。 (3) 可以被5整除的整数,末位是0。 (4) 被8整除的数能被4整除。

例6 写出下列命题的非命题与否命题, 并判断其真假性。
? ? ? ? (1)p:若x>y,则5x>5y; (2)p:若x2+x﹤2,则x2-x﹤2; (3)p:正方形的四条边相等; (4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有 非空实解集,则a2-4b≥0。

练习:写出下列命题的否定:

(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;

(2)p:每一个四边形的四个顶点共圆;

(3)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3;

(4)p:任意素数都是奇数;

(5)p:每个指数函数都是单调函数;

(6)p:线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等;

命题的否定与否命题是完全不同的 概念

? 1.任何命题均有否定,无论是真命题还是假命 题;而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。 ? 2.命题的否定(非)是原命题的矛盾命题,两 者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命 题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假。 ? 3. 原命题“若P则q” 的形式,它的非命题“若 p,则?q”;而它的否命题为 “若┓p,则┓q”, 既否定条件又否定结论。

思考
? 设a、b、c均为非零实数,求证:方程 ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0中至少有一个有实数根。


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