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2012届江苏省高考数学理二轮总复习专题导练课件:专题16 圆锥曲线与方程


1 .(2010 ?江 苏 卷 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中 , 已 知 双曲线 x
2

?

y

2

? 1上 一 点 M 的 横 坐 标 为 3, 则 点

4

12

M 到 双 曲 线 的 右 焦

点 的 距 离 为 _____ _____ .

解 析 : 将 x ? 3代 入 双 曲 线
2 2

x

2

?

y

2

? 1 , 得 y ? ? 15,

4

12

又 a ? 4 , b ? 12 , 则 c ? 12 ? 4 ? 4 , 所以MF ? ? 3 ? 4 ? ? ?? 15 ? 0 ? ? 4.
2 2

2.(2010·浙江卷)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点

为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,
则B到该抛物线准线的距离为___.
解析:将点B( p ? 2, 3 2 4 . p 4 , 1) 代 入 抛 物 线 y ? 2 p x ? p ? 0 ? 得
2

则 点 B到 该 抛 物 线 准 线 的 距 离 为

3 .( 2 0 1 1?江 西 卷 ) 若 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的 焦 点 在 x轴 上 ,

1 2 2 过 点 M (1 , ) 作 圆 x ? y ? 1 的 切 线 , 切 点 分 别 为 A, 2 B, 直 线 A B 恰 好 经 过 椭 圆 的 右 焦 点 和 上 顶 点 , 则 椭 圆 方 程 是 ___________.

解 析 : 当 斜 率 不 存 在 时 , 易 知 直 线 方 程 为 x ? 1, 切 点 B ? 1, 0 ? , 且 直 线 A B 与 O M 垂 直 , 因 为 k O M ? 故 k A B ? ? 2 , 所 以 直 线 A B : x ? y ? 2 ? 0, 2 所 以 上 顶 点 坐 标 ? 0, 2 ? ? b ? 2 , 右 焦 点 ? 1, 0 ? ? c ? 1, 根 据 公 式 a ? b ? c ? 5 ? a ?
2 2 2

1 2



5,

x y 所以椭圆方程为: ? ? 1. 5 4

2

2

4 .(2 0 1 1? 东 卷 )已 知 双 曲 线 山

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0,

b ? 0 )的 两 条 渐 近 线 均 和 圆 C : x ? y ? 6x ? 5 ? 0相 切 , 且 双 曲 线 的 右 焦 点
2 2

为 圆 C的 圆 心 , 则 该 双 曲 线 的 方 程 为 ______  .

解 析 : 由 题 意 知 , 圆 心 坐 标 为 ? 3, 0 ? , 半 径 是 2 , 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是 bx ? ay ? 0, 由已知得 3b a ?b
2 2

? 2, 即 5, x
2

3b 3

? 2,

所 以 b ? 2, a ?

故双曲线的方程为

?

y

2

? 1.

5

4

x y 5 .( 2 0 1 1?浙 江 卷 )已 知 椭 圆 C 1: 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? a b 与 双 曲 线 C 2: x ?
2

2

2

y

2

4

? 1 有 公 共 的 焦 点 , C 2的 一 条

渐 近 线 与 以 C 1的 长 轴 为 直 径 的 圆 相 交 于 A, B 两 点 , 若 C 1恰 好 将 线 段 A B 三 等 分 , 则 b ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

解析:由双曲线x ?
2

y

2

? 1 知 渐 近 线 方 程 为 y ? ? 2 x,

4 又因为椭圆与双曲线有公共的焦点, 所 以 椭 圆 方 程 可 化 为 b x ? ?b ? 5? y ? ?b ? 5? b ,
2 2 2 2 2 2

联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 消 去 y得 , x ?
2

? b ? 5 ?b
2

2

5b ? 2 0
2



又 因 为 C 1将 线 段 A B 三 等 分 , 所 以 1 ? 22 ? 2 ? b ? 5 ?b
2 2

5b ? 2 0
2

?

2a 3

,解之得b ?

2 2

.

例 1: 若 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ?上 任 一 点 到 其 上

顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线 的距离,求该椭圆的离心率的取值范围.

分析:一般情况下,此类问题是求离心率的值, 而这里却是求离心率的取值范围.这里千万不能 只从题面上粗看,而是要认真领悟题中 “任”、 “最”字的内涵,建立目标函数,这样问题的求 解就自然而成.

解 析 : 方 法 1 : 设 点 P ( x 0, y 0 ) 为 椭 圆 上任意一点,

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ?

则 点 P ( x 0, y 0 ) 到 其 上 顶 点 ( 0 , b )的 距 离 d 满 足 : d ? x 0 ? ? y 0 ? b ? ? a (1 ?
2 2 2 2

y0 b

2

2

) ? ? y0 ? b ?

2

? ? 记f 则f

c b

2 2

y ? 2b y0 ? a ? b , ? c b
2 2

2

2

? y0 ? ?

y ? 2 b y 0 ? a ? b , 且 y 0 ? [ ? b, b ], a c
4 2

2

2

? y 0 ?的 最 大 值 为
b c
3 2

,对称轴方程为x ? ? 2 2

b c

3 2



①若x ? ?

? b, 即 0 ? e ?

时,f

? y 0 ?的 最 大 值 为 f ? ? b ?,

所 以 f ? ?b ? ? 化简得e ? ②若x ? ? b c b c
2 3

a c 2

4 2

,即 ?

c b

2

? ?b ? 2

2

? 2b ? ? b ? ? a ? b ?
2 2

a c

4 2



2
3 2

,不符题设,故舍去; 2 2 ? e ? 1时 , f c b
2 2 2

? b, 即

? y 0 ?的 最 大 值 为 f ( ?
2

b c

3 2

),

所 以 f (?

)? 2

a c

4 2

4(? ,即

)( a ? b ) ? ( ? 2 b ) 2 4(? c b
2

?

a c

4 2



) 2

化简得c ? a ? b ,而该式显然恒成立. 由①②得 2 2 ? e ? 1.

2

2

方 法 2 : 离 心 率 越 小 椭 圆 越 “圆 ”, b 越 大 , 这 时 椭 圆 上 到 上 顶 点 距 离 最 大 的 是 下 顶 点 , 最 大 距 离 为 2 b, 则 有 2b ? a
2

,即得e ?

2 2

; 离 心 率 越 大 椭 圆 越 “ 扁 ”, b 越 小 ,

c

此时,椭圆上到上顶点距离最大的点靠近左、右顶点, 故 e 无 限 趋 近 于 1 , 所 以 , 离 心 率 e的 范 围 为 2 2 ? e ? 1.

变 式 1.若 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ?上 存 在 唯 一 一

点到其上顶点的距离恰好等于该椭圆的中心到其 准 线 的 距 离 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 e ? __________ .
a
2

解析:由题意得
2 2

? 2 b, 且 c ? a ? b , c a ? 2 2

2

2

2

c 消 去 b得 a ? 2 c , 所 以 e ? .

例 2. 如 图 , 已 知 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 经 过 等 腰 梯 形 A B C D的 四 个 顶 点 , 两 腰 与 x 轴 相 交 ???? ???? 于 点 M 、 N , 且 M B ? ? 2 M A.

?1 ? 若 梯 形 的 高 等 于 3 , 上 底 B C 长 等 于 2 , M N
求椭圆的方程;

? 6,

? 2 ?当 M N 等 于 椭 圆 的 短 轴 长 时 , 求 椭 圆 的 离 心 率
e的 取 值 范 围 .

分析:本题将平面图形、向量与椭圆有机地 交汇在一起,第(1)题可根据图形的对称性及 向量条件得出 A 、 B 两点的坐标,进而利用待 定系数法求椭圆方程;第(2)题的关键在于正 确的消参数及合理地布列关于 a,b,c的不等 关系.

解 析 :1 ? 设 A ( x1, y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). ? ???? 由 题 意 , 点 M 坐 标 为 ? 3, 0 ? . M B ? ( x 2 ? 3 , y 2 ), ???? M A ? ( x1 ? 3 , y 1 ). ???? ???? 因 为 M B ? ? 2 M A, 所 以 x 2 ? 3 ? ? 2 ? x1 ? 3 ? , y 2 ? ? 2 y1 . 由等腰梯形与椭圆的对称性, 得 y 2 ? y1 ? 3 , x 2 ? 1 , 所 以 x1 ? 4 , y 1 ? ? 1 , y 2 ? 2 ,

故 点 A, B 坐 标 分 别 为 ( 4 , 1),1, 2 ? . ? ? 设椭圆方程为 椭圆上, 1 ? 16 ? a2 ? b2 ? 1 ? 所以 ? ,解得 ? 1 ? 4 ?1 ? a2 b2 ? 故椭圆方程为 x
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? , 点 A, B 都 在

?a 2 ? 21 ? ? 2 21, ?b ? 5 ? ? 1.

?

5y

2

21

21

2 ? x12 y1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 2 , ? 2 ? 由 题 意 , x1 ? x 2 ? 3 b, 且 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? a2 b2 ? 2 ? x12 y1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 2 2 2 即? , 消 去 y 1, 得 4 x1 ? x 2 ? 3 a , 2 2 ? x 2 ? 4 y1 ? 1 2 ? a2 b ?

所 以 2 x1 ? x 2 ?

a

2

b

, x 2 ? 3b ? 2

a

2

.

b

又 因 为 0 ? x 2 ? b, 所 以 0 ? 3 b ? a ? 2 b ,
2 2 2

所 以 a ? 3b 3 c ? 2 a , 故 0 ? e ?
2 2, 2 2

6 3

. 6

即 椭 圆 的 离 心 率 e的 取 值 范 围 为 (0,

).

3

x y 变 式 2 . 设 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的 上 顶 点 为 A, a b 椭 圆 C 上 两 点 P, Q 在 x 轴 上 的 射 影 分 别 为 左 焦 点 F1 和 右 焦 点 F 2, 直 线 P Q 的 斜 率 为 3 2 , 过 点 A 且 与 A F1 垂 直

2

2

的 直 线 与 x 轴 交 于 点 B, A F1 B的 外 接 圆 为 圆 M . ?

?1 ? 求 椭 圆 的 离 心 率 ;

? 2 ? 直 线 3x ? 4y ?

1 4

a

2

? 0与 圆 M 相 交 于 E, F 两 点 ,

???? ???? 1 2 且 M E ?M F ? ? a , 求 椭 圆 方 程 ; 2

? 3 ? 设 点 N ? 0 , 3 ? 在 椭 圆 C内 部 , 若 椭 圆 C 上 的 点 到 点
N的 最 远 距 离 不 大 于 6 值范围. 2, 求 椭 圆 C 的 短 轴 长 的 取

b 解 析 :1 ? 由 条 件 可 知 P ( ? c, ? ), Q ( c, ), ? a a 因 为 k PQ ? 即 3 2
2

b

2

2

3 2 ?

, a ?c
2 2

?

b

2



ac

ac
2

即 2 a ? 3 a c ? 2 c ? 0 , 解 得 a ? 2 c, 所以得e ? 1 2 .

? 2 ? 由 ? 1 ? 可 知 , a ? 2 c, b ?

3 c,

所 以 A (0, 3 c ), F1 ? ? c , 0 ? , B ? 3 c , 0 ? , 易 判 断 ? A B F1 是 以 B F1 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 , 从 而 圆 M 的 圆 心 为 ???? ???? 1 2 ? c , 0 ? , 半 径 为 a, 因 为 M E ?M F ? ? a , 2 所 以 ? E M F ? 1 2 0 ?, 可 得 M 到 直 线 距 离 为 | 3c ? 从而
2

a 2

.

1 4

a | ?
2

2

a 2

3 ?4

, 即 c ? 2 c ? 0, 求 得 c ? 2 ,
2 2 2

x y 故 a ? 4 , b ? 2 3, 所 以 椭 圆 方 程 为 : ? ? 1. 16 12

?3?因 为 点 N 在 椭 圆 内 部 , 所 以 b
设 椭 圆 上 任 意 一 点 为 K ( x, y ), 则 KN
2

? 3,

? x ? ? y ? 3 ? ? (6 2 ) ,
2 2 2

2 ? 3x2 y 4 2 ? 2 ? 2 ?1 2 由 a ? 2 c, 得 a ? b , 由 ? 4 b b 3 ? x 2 ? ? y ? 3?2 ? 72 ?

可以整理得: y ? 1 8 y ? 4 b ? 1 8 9 ? 0 对 任 意 y ? [ ? b, b ] ? b ? 3 ? 恒 成 立 ,
2 2

??9 ? ?b 所以有: ? 2 ? ?? b ? ? 1 8 ?? b ? ? 4 b 2 ? 1 8 9 ? 0 ??9 ? ?b 或者 ? , 2 ? ?? 9 ? ? 1 8 ?? 9 ? ? 4 b 2 ? 1 8 9 ? 0 解 之 得 2 b ? (6,1 2 2 ? 6 ].

例 3 . 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y中 , 椭 圆 的 中 心 在 原 点 O , 右 焦 点 F 在 x 轴 上 , 椭 圆 与 y 轴 交 于 A, B 两 点 , 其 右 准 线 l与 x轴 交 于 T 点 , 直 线 B F 交 椭 圆 于 C 点 , P 为 椭 圆 上 弧 AC上 的 一 点 .

? 1 ? 求 证 : A, C , T 三 点 共 线 ;
6 ?2 3

??? ? ??? ? ? 2 ? 如 果 B F ? 3 F C, 四 边 形 A P C B的 面 积 最 大 值 为 , 求 此 时 椭 圆 的 方 程 和 P点 坐 标 .

分析:第(1)小题要证三点共线,可先由直线 AT与直线BF确定出点C的坐标,再验证点C 在椭圆上即可;第(2)小题,由于A,B,C三 点是确定,故四边形APCB的面积最大即可 转化为求点P到直线AC的距离的最大值.

解 析 :1 ? 证 明 : 设 椭 圆 方 程 为 ? 则 A (0, b ), B (0, b ), T ( ? AT: 2 ? ? 1, ② a b c 解得交点C( ? 2a c a ?c 2 a
2 2 2 2 3

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ?, ①

a

2

,). 0 x y BF: ? ? 1, ③ c ?b

c x y

,2 ), 代 入 ① 得 : 2 a ?c a ?c
2 2

2a c
3

b

?

2

? a ? 2c b
2

?

b

2

?

2

?

4a c ? ?a ? c ?
2 2 2 2

2

?a ? c ?
2 2

2

? 1,

满 足 ① 式 , 则 C 点 在 椭 圆 上 , 所 以 A, C , T 三 点 共 线 .

?2?过 C作 CE

? x轴 , 垂 足 为 E, ? O B F ∽ ? E C F .

??? ? ??? ? 1 1 4c b 因 为 B F ? 3 F C, C E ? b, E F ? c, 则 C ( , ), 3 3 3 3 代入①得: ( 4 c)
2

3 2 a

( ) ? 32 b

b

2

? 1, 所 以 a
2 2

2

? 2c , 即 b ? c .
2 2 2 2

设 P ( x 0, y 0 ), 则 x 0 ? 2 y 0 ? 2 c , 4c c 2 此时C( , ), A C ? 3 3 3 S ? ABC 4c 4 2 ? ?2 c ? ? c , 2 3 3 1 5 c.

直 线 A C 的 方 程 为 : x ? 2 y ? 2 c ? 0, P到 直 线 AC的 距 离 为 d ? ? 1 | x0 ? 2 y0 ? 2 c | 5 x0 ? 2 y0 ? 2 c 5 S ? APC 1 x0 ? 2 y0 ? 2 c 2 ? d ?A C ? ? ? 2 2 3 5 ? x0 ? 2 y0 ? 2 c 3 只 需 求 x 0 ? 2 y 0的 最 大 值 , ?c . 5c ,

方 法 1: 因 为 ? x0 ? 2 y0
2 2

?

2

? x 0 ? 4 y 0 ? 2 ?2 x 0 y 0
2 2 2 2 2 2 2

? x 0 ? 4 y 0 ? 2 ( x 0 ? y 0 ) ? 3( x 0 ? 2 y 0 ) ? 6 c , 所 以 x0 ? 2 y0 ? 6 c, 6 3 c时 , x 0 ? 2 y 0 ?

当 且 仅 当 x0 ? y0 ?

? m ax

?

6 c.

方 法 2: 令 x 0 ? 2 y 0 ? t, 代 入 x 0 ? 2 y 0 ? 2 c 得 :
2 2 2

? t ? 2 y0 ?

2

? 2 y ? 2 c ? 0,
2 2 2

即 6 y ? 4 ty 0 ? t ? 2 c ? 0 . ? ? ? ? 4t ? ? 24 ? t ? 2c
2 2 2

? ? 0,
6 3

得:t ? 当t ?

6 c. c.

6 c时 , 代 入 原 方 程 解 得 : x 0 ? y 0 ?

所以四边形的面积最大值为 6 ?2 3
2

c ?
2

4 3

c ?
2 2

6 ?2 3
2

c ?
2

6 ?2 3



所 以 c ? 1, 则 a

? 2, b ? 1, x
2

此时椭圆方程为

? y

2

? 1, P 点 坐 标 (

6 3



6 3

).

2

变 式 3.如 图 , 已 知 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ?的 左 、

右 焦 点 分 别 为 F1, F 2, 其 右 准 线 l 与 x 轴 的 交 点 为 T , 过 椭 圆 的 上 顶 点 A 作 椭 圆 的 右 准 线 l的 垂 线 , 垂 足 为 D , 四 边 形 A F1 F 2 D 为 平 行 四 边 形 .

?1 ? 求 椭 圆 的 离 心 率 ; ? 2 ? 设 线 段 F2 D 与 椭 圆 交 于 点 M , 是 否 存 在 实 数 ? ,
??? ???? 使 T A ? ? T M ? 若 存 在 , 求 出 实 数 l的 值 ; 若 不 存 在,请说明理由;

? 3 ? 若 B 是 直 线 l 上 一 动 点 , 且 ? A F2 B 外 接 圆 面 积 的
最 小 值 是 4? , 求 椭 圆 方 程 .

解 析 :1 ? 依 题 意 : A D ? F1 F 2, 即 ? e? 2 2 .

a

2

? 2 c, 所 以 离 心 率

c

? 2 ? 由 ?1 ? 知 : a

?

2 c, b ? c,

故 A (0, c ), D (2 c, c ), F 2 ? c , 0 ? , T ? 2 c , 0 ? , ??? T A ? ( ? 2 c, c ). 所以椭圆方程是 x
2 2

?

y c

2 2

? 1, 即 x ? 2y ? 2c ,
2 2 2

2c

直 线 F 2 D 的 方 程 是 x ? y ? c ? 0, ? x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 由? ,解得 ?x ? y ? c ? 0 ?x ? 0 (舍 去 ) ? ? y ? ?c

4 ? x? c ? ? 3 或? , ?y ? 1c ? 3 ? ??? ???? 1 2 1 即 M ( c, c ), ( ? c, c ), 所 以 T A ? 3T M , 即 存 ? 3 3 3 3 ??? ???? 在 ? ? 3 使 T A ? 3T M 成 立 . 4

? 3 ? 由 题 可 知 ? A F 2 B的 外 接 圆 的 圆 心 N 在 直 线 y ?
x 上 , 设 圆 心 N 的 坐 标 为 ( n, n ), 因 圆 过 准 线 上 一 点 B, 则 圆 与 准 线 有 公 共 点 , 设 圆 心 N 到 准 线 的 距 离 为 d , 则 N F2 ? d , 即 ? n ? c ? ? n ? n ? 2 c , 解 得 : n ? ? 3 c 或 n ? c,
2 2

又 r ? ? n ? c ? ? n ? 2(n ?
2 2 2 2 2

c 2

) ?
2

c

2

? [ c , ? ), ?
2 2

2

由 题 可 知 , r ) m in ? c ? ? 4 ? , 则 c ? 4 , (? 故椭圆的方程为 x
2

?

y

2

? 1.

8

4

1.基本量方法:紧扣圆锥曲线(椭圆、双曲线、 抛物线)的基本量,利用基本量进行分析是处理 圆锥曲线问题的常用而有效的方法; 2.数形结合方法:圆锥曲线本身是几何图形, 用代数的方法研究几何图形的性质是解析法的本 质,因此,习惯性地借助于直观的几何图形往往 是避免繁琐运算的有效途径之一; 3.函数与方程思想:建立关于某(些)基本量的 方程(组)或是目标函数是圆锥曲线中常用的数学 思想方法,几乎所有的圆锥曲线问题最终都归结 为方程和函数问题.

( 2 0 10 ? 江 苏 卷 ) ( 本 小 题 满 分 1 6 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中 , 如 图 , 已 知 椭 圆 x
2

9

?

y

2

5

?1

的 左 、 右 顶 点 为 A、 B, 右 焦 点 为 F .设 过 点 T ( t, m )的 直 线 T A、 T B 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M ( x1, y 1 )、 N ( x 2, y 2 ), 其 中 m ? 0 , y1 ? 0 , y 2 ? 0 .

?1 ? 设 动 点 P 满 足 P F ? 2 ? 设 x1 ?3?设 t
? 2, x2 ? 1 3

2

? P B ? 4 , 求 点 P的 轨 迹 ;
2

, 求 点 T的 坐 标 ;

? 9 , 求 证 : 直 线 M N 必 过 x轴 上 的 一 定 点 (其 坐 标

与 m 无 关 ).

分析:本题中出现的字母较多,解答时应根据题 中各个小问,准确地弄清变量、参量及常量,注 意各题之间相互独立,不能用上一小问的结论作 为下一小问的解题条件.

解 析 :1 ? 设 点 P ( x, y ), 则 F ? 2 , 0 ? 、 B ? 3 , 0 ? 、 ? A ? ? 3 , 0 ?. 分 ) (1 由 PF
2

? PB
2

2

? 4,
2

得 ? x ? 2?

?? x ? 3 ?2 ? y 2 ? ? 4 , ? y ? ? ? 9 2 .故 所 求 点 P 的 轨 迹 为 直 线 x ? 9 2 .( 4 分 )

化简得x ?

? 2 ? 将 x1

? 2, x2 ?

1 3

分 别 代 入 椭 圆 方 程 , 以 及 y1 ? 0 ,

5 1 20 y 2 ? 0 , 得 M ( 2 , )、 N ( , ? ). 分 ) (6 3 3 9 直 线 T M A的 方 程 为 y?0 5 3 直 线 NBT 方 程 为 ? 20 9 ?0 ? ? x?3 2?3 ,即y ? 1 3 x ? 1, 分 ) (7

y?0 ?0

x?3 1 3 ?3

,即y ?

5 6

x?

5 2

.(8 分 )

? x ?7 10 ? 联立方程组,解得 ? (9 1 0 , 所 以 点 T 的 坐 标 为 ( 7 , ). 分 ) 3 ?y ? 3 ?

? 3 ? 设 点 T 的 坐 标 为 ( 9 , m ).
直 线 T M A的 方 程 为 直 线 TBN的 方 程 为 分别与椭圆 x
2

y?0 m ?0 y?0 m ?0
2

? ?

x?3 9?3 x?3 9?3

,即y ? ,即y ?

m 12 m 6

? x ? 3 ?, ? x ? 3 ?.

9

?

y

5

? 1联 立 方 程 组 , 同 时 考 虑 到 240 ? 3m 80 ? m
2 2

x1 ? 3 , x 2 ? 3 , 解 得 M ( N( 3m ? 60 20 ? m
2 2

, )、 2 80 ? m

40m

, ?

20m 20 ? m
2

). 3 分 ) (1

方 法 1 : 当 x1 ? x 2 时 , 直 线 M N 方 程 为 20 ? m 20 ? m ? . 2 2 40m 20m 3? 8 0 ? m ? 3? m ? 2 0 ? ? ? 2 2 2 2 80 ? m 20 ? m 80 ? m 20 ? m 令 y ? 0 , 解 得 x ? 1 , 此 时 必 过 点 D ? 1, 0 ? ; 5 分 ) (1 当 x1 ? x 2 时 , 直 线 M N 方 程 为 x ? 1 , 与 x 轴 交 点 为 D ? 1, 0 ? . 所 以 直 线 M N 必 过 x 轴 上 的 一 定 定 点 D ? 1, 0 ? . 6 分 ) (1 方 法 2 : 若 x1 ? x 2, 则 由 240 ? 3m 80 ? m
2 2

y?

20m
2

x?

3? m ? 2 0 )
2

2

?

3m ? 60 20 ? m
2

2

及 m ? 0, 得

m ? 2 , 此 时 直 线 M N 的 方 程 为 x ? 1 , 过 点 D ? 1, 0 ? . 4 分 ) (1 若 x1 ? x 2, 则 m ? 2 1 0, 40m 直 线 M D的 斜 率 k M D 80 ? m ? 2 240 ? 3m 80 ? m
2 2

? ?1

10m 40 ? m
2



?20m 直 线 N D的 斜 率 k N D 20 ? m ? 2 3m ? 60 20 ? m
2 2

?

10m 40 ? m
2



?1

得 k M D ? k N D, 所 以 直 线 M N 过 D 点 . 因 此 , 直 线 M N 必 过 x 轴 上 的 点 ? 1, 0 ? . 6 分 ) (1

技巧1——重要过程、式子不要省略,如第(1)问 中,由PF2-PB2=4得“(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4”要写 出完整的式子,防止因化简结果出错而被扣2分, 即使最终化简结果出错,但写出 “(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4”,该问可少扣1分; 技巧2——做不到最终结果也要将演算过程写到答 题纸上,这样在评卷时也是可以得分的,如第(3) 中,不少考生未能正确求出点M、N的坐标,故将 该问空着不答,导致这一小问未能得分.


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