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微积分2012-2013


首 都 经 济 贸 易 大 学 2012-2013 学年第二学期期末考试试题
考试科目: 微积分 II 考试时间:120 分钟 二 1 2 3 4 5 6 1 2

A卷

试卷总分: 100 分 考试方式: 闭卷 三 3 4 1 四 2

题号 一 姓名: 得分 线


/>六

一、填空题(共 5 小题,每题 2 分,总计 10 分) 1. ?

x dx = ?1 1 ? x2
1

.

学号:

2.

?? ?x ? 0 xe dx =
3 3

.

3. 函数 f ( x, y ) ? x ? 3 xy ? y 的极值点为____________________.


4. 若
班级:

an cos n = ? a n 收敛,则 nlim ??
n ?1

?

. .

5. 微分方程 xy? ? y ln y ? 0 的通解为 二、计算题(一) (共 6 小题,每题 6 分,总计 36 分)

1.计算极限 lim


?0

x2

ln(1 ? t ) dt x4


x ?0

院系:

第 1 页 共 8 页

2.计算定积分

? x ? 0 e cos x dx



3.求三元函数 u

? xyz ? e x ? y ? z 的全微分 du .

4.计算二重积分 ?? 的平面区域.

sin x dxdy ,其中 D 为由 y ? x , y ? 2 x 和 x ? 1 所围成 x D

第 2 页 共 8 页

5.判断级数 ?

(?1) n 是绝对收敛、条件收敛还是发散. n ? n n ?1
?

6.将函数 y

?

1 展成 x 的幂级数. 4? x

三、计算题(二) (共 4 小题,每题 7 分,总计 28 分) 1.计算二重积分 ??
D

ex

2

? y2

d? ,其中 D 为圆域{( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 1} 在第一象

限的部分。

第 3 页 共 8 页

2. 试求级数 ? ( ?1)
n ?1

?

n ?1

xn 的收敛区间、和函数. n

3.已知

?2z ln z ? z ? f x , y ,其中 f 具有二阶连续偏导数,试求 . ?x?y
2 2

?

?

第 4 页 共 8 页

? x 3 ? y sin y 2 2 , x ? y ?0 ? 2 ? x ? y2 4. 设 f ( x, y ) ? ? , ? 0 , x2 ? y2 ? 0 ? ?

? (0,0) 和 f y ? (0,0) 是否存在,若存在,求其值. 判断 f x

第 5 页 共 8 页

四、应用题(共两题,每题 7 分,总计 14 分) 1.某工厂计划投资 144 万元用于购进 A、B 两种型号的生产线,A 型生产线 每条售价 4 万元,B 型生产线每条售价 3 万元,如果购进 x 条 A 型生产线和 y 条 B 型生产线可使该厂新增产值
2 6 4 4 (万元) , f ( x, y ) ? x y 3
3 1

问该厂分别购买两种型号的生产线各多少条时,该厂新增产值最大.

第 6 页 共 8 页

2.设 D 是由曲线 y ? x, y ? x 所围成的平面区域. (1) 求 D 的面积;(2) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

2

五、概念辨析题(总计 6 分) 给出二元函数 z

? f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续的定义,并判断函数
( x, y ) ? (0, 0 ) ( x, y ) ? (0, 0 )

1 ? 2 2 ( x ? y ) c o s , ? 2 2 x ?y ? f ( x, y ) ? ? ? 1 , ? ?
在点 (0,0) 处的连续性.

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六、综合题(总计 6 分) 设函数 f ( x) 在 [ 0, 1] 上可导,并有 ? 0 实数,且 0 ?
1

f (t x) dt ? a f ( x) ? bx ,其中 a 和 b 为

a ? 1,试求 f ( x) 在 ( 0, 1) 内的表达式.

第 8 页 共 8 页


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