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2015届高考人教A版数学(理)总复习配套题库:第8章 第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图 Word版含解析]


第八章

立体几何

第 1 讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
一、选择题 1. 下列四个几何体中,几何体只有主视图和左视图相同的是( )

A.①② C.①④ 解析 答案

B.①③ D.②④

由几何体分析知②④中主视图和左视图相同. D ( ).

r />2.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是 A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析

画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三

视图总是三个全等的圆. 答案 A 3.将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥,得到图(b)所示的几何体,则该几何 体的侧视图为 ( ).

解析

还原正方体后,将 D1,D,A 三点分别向正方体右侧面作垂线,D1A

的射影为 C1B,且为实线,B1C 被遮挡应为虚线. 答案 B 4.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ).

解析 A,B 的正视图不符合要求,C 的俯视图显然不符合要求,答案选 D. 答案 D 5.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面 四边形的面积等于( A. 2 2 a 4 ). B.2 2a2 C. 2 2 a 2 D. 2 2 2 a 3

解析

根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图形 2 S,本题中直观图的 4

的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= 面积为 a2,所以原平面四边形的面积等于

a2
2 4

=2 2a2.故选 B.

答案

B

6.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视 图的是 ( ).

解析 选项 C 不符合三视图中“宽相等”的要求. 答案 C 二、填空题 7.如图所示, E、 F 分别为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该 正方体的面 DCC1D1 上的投影是________(填序号).

解析 B 在面 DCC1D1 上的投影为 C,F、E 在面 DCC1D1 上的投影应分别在 边 CC1 和 DD1 上,而不在四边形的内部,故①③④错误. 答案 ② 8.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视 图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.

解析

(构造法)由主视图和俯视图可知几何体是

正方体切割后的一部分(四棱锥 C1- ABCD),还原 在正方体中,如图所示.多面体最长的一条棱即 为正方体的体对角线,如图即 AC1.由正方体棱长

AB=2 知最长棱 AC1 的长为 2 3.
答案 2 3

9.利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上正确结论的序号是________. 解析 由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③

错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是 菱形,④也错误. 答案 ① 10.图(a)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由 ________块木 块堆成;图(b)中的三视图表示的实物为________.

图(a) 解析

图(b)

(1)由三视图可知从正面看到三块,从侧面看到三块,结合俯视图可判

断几何体共由 4 块长方体组成. (2)由三视图可知几何体为圆锥. 答案 4 三、解答题 圆锥

11.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它 的主视图和左视图在下面画出(单位:cm). (1)在主视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

解 (1)如图.

(2)所求多面体的体积

V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6- ×? ×2×2?×2
= 284 3 (cm ). 3

1 3

?1 ?2

? ?

12.已知圆锥的底面半径为 r,高为 h,且正方体 ABCD- A1B1C1D1 内接于圆锥,求这个正方体的棱长. 解 如图所示,过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截

面,设圆锥内接正方体的棱长为 x,则在轴截面中,正 方体的对角面 A1ACC1 的一组邻边的长分别为 x 和 2x.∵△VA1C1∽△VMN,

2x h-x 2rh ∴ 2r = h ,∴x= . 2r+ 2h 即圆锥内接正方体的棱长为 2rh . 2r+ 2h

13.正四棱锥的高为 3,侧棱长为 7,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为 多少? 解 如图所示,在正四棱锥 S-ABCD 中, 高 OS= 3,侧棱 SA=SB=SC=SD= 7, 在 Rt△SOA 中, OA= SA2-OS2=2,∴AC=4. ∴AB=BC=CD=DA=2 2. 作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 中点. 连接 SE,则 SE 即为斜高, 1 在 Rt△SOE 中,∵OE=2BC= 2,SO= 3, ∴SE= 5,即侧面上的斜高为 5. 14. (1)如图 1 所示的三棱锥的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,那么该三棱 锥的侧视图是图 2 还是图 3? (2)某几何体的三视图如图 4,问该几何体的面中有几个直角三角形? (3)某几何体的三视图如图 5,问该几何体的面中有几个直角三角形?



(1)该三棱锥在侧(右)投影面上的投影是一直角三角形,该三棱锥的侧视

图应是图 2. (2)该几何体是三棱锥,其直观图如图所示,其中 OA、OB、OC 两两垂直, ∴△OAB、△OAC、△OBC 都是直角三角形,但 △ABC 是锐角三角形. 设 AO=a, OC=c, OB=b, 则 AC= a2+c2,BC= c2+b2,AB= a2+b2, ∴cos∠BAC= a2 >0,∴∠BAC 为锐 a2+b2· c2+a2

角.同理,∠ABC、∠ACB 也是锐角. 综上所述,该几何体的面中共有三个直角三角形. (3)该几何体是三棱锥,其直观图如图所示,其中,AB⊥BC, AB⊥BD,BD⊥CD,∴DC⊥面 ABD,∴DC⊥AD, ∴△ACD 也是直角三角形. ∴该几何体的面中共有四个直角三角形.


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