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人教版A选修2-1椭圆检测试题卷


人教版 A 选修 2-1 椭圆 检测试题卷
一选择题
1.设 abc ? 0 , “ ac ? 0 ”是“曲线 ax2 ? by2 ? c 为椭圆”的 ( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ) )

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=( 2.若焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 m
A. 3 B.

3 2

C.

8 3

D.

2 3

3.点 P(-3,1)在椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上,过点 P 且方向为 a ? (2,?5) 的 a2 b2
( )

光线,经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为

A.

3 3

B.

1 3

C.

2 2

D.

1 2

4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( ) A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

5 设过点 P( x, y) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点, 点 Q 与点 P 关 于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA 且 OQ?AB ? 1 ,则点 P 的轨迹方程是(
2 A. 3 x ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?



3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

2 B. 3 x ?

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

x2 6.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 3 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12

7.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭 圆的离心率为 (A) 2 (B)

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4
1

8 .椭圆的中心为点 E (? 1 , 0) ,它的一个焦点为 F (?3 , 0) ,相应于焦点 F 的准线方程为

x??

7 ,则这个椭圆的方程是( 2



A.

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5
9 5

B.

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5 x2 y 2 ? ? 1 上三个不同的点,则 25 9

C.

D.

9 设 A( x1 , y1 ), B (4, ), C ( x2 , y2 ) 是右焦点为 F 的椭圆 “ AF , BF , CF 成等差数列”是“ x1 ? x2 ? 8 ”的 (A)充要条件 (C)充分不必要条件 二填空题

(B)必要不充分条件 (D)既非充分也非必要

10 .若椭圆长轴长与短轴长之比为 2 ,它的一个焦点是 2 15,0 ,则椭圆的标准方程是 __________. 11 已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭 圆的标准方程是 . 12.以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 动点 P 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
2

?

?

1 (OA ? OB ), 则 2

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

其中真命题的序号为

13.已知 A( ?

1 1 ,0), B 是圆 F : ( x ? ) 2 ? y 2 ? 4( F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平 2 2
.

分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为

2

14.如图,把椭圆 分 点 作

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个 25 16

x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于
P 3, P 4,
FP 是椭圆的一个焦 P P 5 , 七个点, 6, 7
;

P 1,

P 2,

点,则 PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ? 三、解答题 15. 椭圆

4 x2 y 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的两个焦点 F1、 F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且 P F1⊥PF2,,| P F1|= ,,| 2 3 a b

P F2|=

14 . 3

(I)求椭圆 C 的方程; (II) 若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、 B 两点, 且 A、 B 关于点 M 对称, 求直线 L 的方程。

16.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 2

(Ⅰ)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

3

17.设 A, B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 a 2 b2

x ? 4 为它的右准线。
(Ⅰ) 、求椭圆的方程; (Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于 异于 A, B 的点 M 、N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。

x2 y2 18.如图,椭圆 2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共 a b
点 T,且椭圆的离心率 e=

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF 2 的中点,求证:∠ATM=∠AF 1 T.

4

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端 36 20

点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,

PA ? PF .
(1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距 离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭 圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3,?1) 共线. (1)求椭圆的离心率; (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM = l OA + mOB(l , m ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值.

uuur

uur

uu u r

5

选修 1 椭圆检测题答案
一选择题
1B 2B 3A 4D 5D 6C 7B 8D 9A 5 解:设 P(x,y) ,则 Q(-x,y) ,又设 A(a,0) ,B ( 0, b) ,则 a?0,b?0,于是

? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 3 , 由B P=2 P A 可得 a= x,b=3y,所以 x?0,y?0 BP =(x,y-b), PA =(a-x,-y) 2 ??? ? ???? ??? ? 3 3 2 2 又 AB =(-a,b)=(- x,3y) ,由 OQ ? AB =1 可得 x ? 3 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2 2 6 解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ?ABC
的周长为 4a= 4 3 ,所以选 C

7 解:不妨设椭圆方程为

x2 y 2 2b2 a2 ? 2 且 ? c ? 1 ,据此求出 e ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则有 a c a 2 b2



2 ,选 B 2

8 解析:椭圆的中心为点 E (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0), ∴ 半焦距 c ? 2 ,相应于焦点 F 的准线方程为 x ? ? . ∴ D.

7 2

a2 5 ( x ? 1)2 2 ? , a2 ? 5, b2 ? 1 ,则这个椭圆的方程是 ? y ? 1 ,选 c 2 5

4 4 ,F(4,0) ,由焦半径公式可得|AF|=5- x1, 5 5 4 9 4 |BF|=5- ×4= ,|CF|=5- x2,故 AF , BF , CF 成等差数列 5 5 5 4 4 9 ?(5- x1)+(5- x2)=2× ? x1 ? x2 ? 8 故选 A 5 5 5
9 解:a=5,b=3,c=4,e= 二填空题

x2 y2 ? ?1 10、 80 20
?b 2 ? 4 ? ? 2 y2 ?a ? 2b, c ? 2 3 ? ? ?a 2 ?16 ? x ? ?1 为所求; 11、解:已知 ? ? 16 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? ?F (?2 3,0) 4 2 2 12、③④ 13、 x ? y ? 1 3
14、解析:如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线 25 16

6

F 是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对 交椭圆的上半部分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,

2a ,又 | P4 F1 |? a , 称性知, | PF 1 1 |?| P 7F 1 |?| PF 1 1 | ? | PF 1 2 |? 2a ,同理其余两对的和也是
7 a =35 ∴ PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?
三解答题 15 解法一:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ? 从而 b2=a -c2=4,
2

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? =1. 9 4

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2). 由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以直线 l 的方程为 y ?

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 所以 2 4 ? 9k 2
即 8x-9y+25=0.

解得 k ?

8 , 9

8 ( x ? 2) ? 1, 9

(经检验,符合题意)

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, 9 4 x2 y ? 2 ? 1, 9 4
由①-②得
2 2

2

2





( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4



因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 , 9 9 x1 ? x2
8 (x+2) ,即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.) 9

所以直线 l 的方程为 y-1=

7

16 本小题主要考查直线、 圆、 椭圆和不等式等基本知识, 考查平面解析几何的基本方法, 考查运算能力和综合解题能力。 解: (I)? a2 ? 2, b2 ? 1,?c ? 1, F (?1,0), l : x ? ?2.
y

? 圆过点 O、F,
1 ? 圆心 M 在直线 x ? ? 上。 2 1 设 M ( ? , t ), 则圆半径 2
B

l

F A

G

O

x

1 3 r ? (? ) ? (?2) ? . 2 2
由 OM ? r, 得 (? ) ? t ?
2 2

1 2

3 , 2

解得 t ? ? 2.

1 9 ? 所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 2 4
(II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0),

x2 ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0. 代入 2

? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F,? 方程有两个不等实根。
记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ), 则 x1 ? x2 ? ?

4k 2 , 2k 2 ? 1
令 y ? 0, 得

1 ? AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ). k

2k 2 k2 k2 1 1 xG ? x0 ? ky0 ? ? 2 ? 2 ?? 2 ?? ? 2 . 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 4k ? 2 1 ? k ? 0,?? ? xG ? 0, 2
1 ? 点 G 横坐标的取值范围为 (? , 0). 2

17 点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用 数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

8

解: (Ⅰ)依题意得 a=2c,

a2 =4,解 c

2

M

得 a=2,c=1,从而 b= 3 .
-4

1

A -2

2

B

4

故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

-1

N
-2

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) , B(2,0).设 M(x0,y0). ∵M 点在椭圆上,∴y0=

-3

3 (4-x02). 4

1 ○

又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得 P(4,

6 y0 ). x0 ? 2

从而 BM =(x0-2,y0) , BP =(2,

6 y0 ). x0 ? 2

6 y0 2 ∴ BM · BP =2x0-4+ = (x02-4+3y02). x0 ? 2 x 0 ? 2
将○ 1 代入○ 2 ,化简得 BM · BP =

2

2 ○

5 (2-x0). 2

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为(

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) , 2 2

依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差
2

BQ -

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 MN =( 1 -2)2+( 1 ) - [(x1-x2)2+(y1-y2)2] 4 4 2 2
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 ○
9

又直线 AP 的方程为 y=

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上,



6 y1 6 y2 ( 3 x2 ? 2) y1 ,即 y2= ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2
2 2

4 ○

x y 3 2 2 又点 M 在椭圆上,则 1 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 4 3
于是将○ 4 、○ 5 代入○ 3 ,化简后可得 BQ - 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内。
2

5 ○

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 . 4 4

18 本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质,同时考察解析几何的基本 思想方法和综合解题能力。 解: (I)过点 A 、 B 的直线方程为

x ? y ? 1. 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2
因为由题意得 有惟一解,

1 y ? ? x ?1 2
2 即 (b ?

1 2 2 a ) x ? a 2 x 2 ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 有惟一解, 4
2 2 2 2

所以 ? ? a b (a ? 4b ? 4) ? 0 故

( ab ? 0 ) ,

a 2 ? 4b2 ? 4 ? 0.

又因为 e ?

3 ,即 2

a 2 ? b2 3 ? , 所以 a2 4

a 2 ? 4b 2 .

从而得

a 2 ? 2, b 2 ?

1 , 故所求的椭圆方程为 2

x2 ? 2 y 2 ? 1. 2

(II)由(I)得

c?

6 6 6 6 , 0), F2 ( , 0), 从而 M (1 ? , 0). , 故 F1 (? 2 2 4 2

x2 ? 2 y 2 ? 1, 2

10



解得 x1 ? x2 ? 1, 所以 T (1, ).

1 2

1 y ? ? x ?1 2
因为 tan ?AFT 1 ?

2 1 6 ,得 ? 1, 又 tan ?TAM ? , tan ?TMF2 ? 2 2 6

2 1 ? 6 2 6 tan ?ATM ? ? ? 1, 因此 ?ATM ? ?AFT 1 . 1 2 1? 6
19[解](1)由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
由于 y ? 0, 只能 x ?

3 5 3 5 , 于是 y ? 3,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 2 2 2 2

(2)直线 AP 的方程是 x ? 3 y ? 6 ? 0. 设点 M 的坐标是(m,0) ,则 M 到直线 AP 的距离是 于是

|m?6| ?| m ? 6 |,又 ? 6 ? m ? 6, 解得 m ? 2, 2

|m?6| , 2

椭圆上的点 ( x, y ) 到点 M 的距离 d 有

d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
由于 ? 6 ? x ? 6,?当x ?

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15, 9 9 2

9 时, d取得最小值 15 . 2

20 本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训,考查综合运用数学 知识解决问题及推理的能力,满分 14 分. (I)解:设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0), a2 b2

x2 y2 则直线 AB 的方程为 y ? x ? c, 代入 2 ? 2 ? 1 a b
化简得 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 .
2 2 2 2 2 2 2 2

11

令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 ? x 2 ?

2a 2 c a 2 c 2 ? a 2b 2 , x x ? . 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2

由OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3,?1),OA ? OB与a 共线,得
3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0.

又 ? ?

y1 ? x1 ? c, y 2 ? x 2 ? c, 3( x1 ? x 2 ? 2c) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0, x1 ? x 2 ?

3c . 2 2a 2 c 3c 即 ? , 所以a 2 ? 3b 2 . 2 2 2 a ?b 6a ? c ? a2 ? b2 ? , 3 c 6 故离心率e ? ? . a 3
(II)证明:由(I)知 a ? 3b ,所以椭圆
2 2

x2 y2 ? 2 ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . 2 a b

设OM ? ( x, y),由已知得 ( x, y) ? ?( x1 , y1 ) ? ?( x2 , y2 ),
? ? x ? ?x1 ? ?x 2 , ? ? y ? ?y1 ? ?y 2 .

? M ( x, y) 在椭圆上,

? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 .

2 2 ?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 . ①

由(I)知 x1 ? x 2 ?

3 3 1 c, a 2 ? c 2 , b 2 ? c 2 . 2 2 2

? ?

a 2 c 2 ? a 2b 2 3 2 ? c . 8 a2 ? b2 x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? 3( x1 ? c)(x2 ? c) x1 x2 ?

12

? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 )c ? 3c 2 3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 2 2 ? 0. ?
2 2 2 又 x1 ? 3 y12 ? 3b 2 , x2 ? 3 y2 ? 3b 2 又,代入①得

?2 ? ? 2 ? 1.

故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1.

13


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