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陕西省西安市第一中学2013届高三下学期期中考试数学(理)试题


西安市第一中学 2012-2013 学年度第二学期期中 高三年级数学(理科)试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设全集为 U ? R, A ? x ? N 1 ? x ? 10 , B ? x ? R x ? x ? 6 ? 0 ,则右图中阴影表示
2

?

?

?

?

的集合为(



A. ?2?

B. ?3?

C. ?? 3,2?

D. ?? 2,3?

2.复数满足 z (1 ? i) ? 2i ,则复数 Z 的实部与虚部之差为( ) A. ?2
x

B. 2

C. 1

D. 0

3 .函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( ) A. ? ?2, ?1?
2

B. ? ?1, 0 ?
2

C. ? 0,1?

D. ?1, 2 ?

4. 已知圆 O: x ? y ? 4 ,直线 l 过点 P(1,1) ,且与直线 OP 垂直,则直线 l 的方程为( ) A. x ? 3 y ? 4 ? 0 B. y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

5.为了得到函数 y ? sin(2 x ?

) 的图像,只需将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像( ) 3 6 ? ? A.向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位 4 4 ? ? C.向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位 2 2 6.若 a, b, c 是空间三条不同的直线, ? , ? 是空间两个不同的平面,则下列命题中,逆命题
不 正确的是( ) A.当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? B.当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c 7.已知 a, b ? R ,下列四个条件中,使“ a ? b ”成立的必要而不充分的条件是( ) A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. | a | ? | b | D. 2 ? 2
a b

?

?

1

? x ? y ? 0, ? 8.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为( ) ? x ? 4, ?
A.6
2

B.8

C.12

D.15

9. 已知 f ( x) ? x ? 2 x , g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) ,若对任意 x1 ? [?1, 2] , 都存在 x0 ? [?1, 2] ,使 g ( x1 ) ? f ( x0 ) ,则 a 的取值范围是( ) A. (0, ]

1 2

B. [ ,3)

1 2

C. [3, ??)

D. (0,3]

10.已知函数 f ( x) ? ? A. ?

? 1 ? x ? 1, (?1 ? x ? 0) , 则 ? f ( x)dx ? ( ?1 ? 1 ? x 2 , (0 ? x ? 1) ?
B.

)

1 ? ? 2 4

1 ? ? 2 4

C. 1 ?

?
4

D. ?

1 ? ? 2 2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计, 得到不合格的成绩的频率为 0.4,则合格的人数是 . 12. 阅读如图程序框图,如果输出的函数值在区间 [ ,

1 1 ] 4 2

内,则输入的实数 x 的取值范围是___________. 13. 一个几何体的三视图如图所示(长度单位:cm) ,则 3 此几何体的体积是__________㎝ . 14.下列四种说法中, ①命题“存在 x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“对于任意 x ? R, x ? x ? 0 ”;
2

2

②命题“ p 且 q 为真” 是“ p 或 q 为真”的必要不充分条件;

1 2 ) ,则 f (4) 的值等于 2 2 ④某路公共汽车每 7 分钟发车一次,某位乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间超
③已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (2, 过 3 分钟的概率是

4 . 说法正确的序号是 7

.

15.选做题: A.对任意 x ? R , 2 ? x ? 3 ? x ? a 2 ? 4a 恒成立,则 a 满足________.

B.在极坐标系中,点 P(2, ? 的距离是_______.

?

) 到直线 l : ? sin(? ? ) ? 1 6 6

?

C.如图,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上,且 PB=OB=2,

2

PC 切圆 O 于点 C,CD⊥AB 于点 D,则 CD=________.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,点 (a, b) 在直线

x(sin A ? sin B) ? y sin B ? c sin C 上.
(1)求角 C 的值; (2)若 ab ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 17. (本题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?的首项为 a 1 ? 1 ,其前 n 项和为 S n ,且对任意正整数 n 有: n 、 a n 、 S n 成 等差数列. (1)求证:数列 ? S n ? n ? 2

?成等比数列;

(2)求数列 ?a n ?的通项公式. 18. (本题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,AD = 3, 点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动.

(1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (2)求证:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE ? AF ; (3)当 BE 为何值时, PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45° .

19. (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 8 x ? 16 x ? k (k ? R), g ( x) ? 2 x ? 5x ? 4 x .
2 3 2

(1)求 g ( x)的 极值; (2) 若对任意x1、x2 ? ? ?3,3? , 都有f ( x1 ) ? g ( x2 )成立,求k的取值范围.

20. (本题满分 13 分) 一次考试中共有 8 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且只有一个是正确的.
3

评分标准规定:“每题只选一个选项,答对得 5 分,不答或着打错得 0 分”. 某考生已确定 有 5 道题的答案是正确的,其余题中,有一道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可 以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜. (1)求出该考生得 40 分的概率; (2)写出该考生所得分数 X 的分布列,并求出 X 数学期望. 21. (本题满分 14 分) 如图, 已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F , 过焦点 F 且不平行于 x 轴的
2

动 直线 l 交抛物线于 A , B 两点,抛物线在 A 、 B 两点处的切线交于点 M . (Ⅰ)求证: A , M , B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)设直线 MF 交该抛物线于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值.

4

高三第二学期期中考试数学(理)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 B 9 A 10 B

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.600 12. [?2, ?1] 13.
224 3

14.③④

15A. [?1,5]

B. 3 ? 1

C. 2 3

三、解答题(共 75 分) 16.(本题满分 12 分) 解:⑴因点 (a, b) 在直线 x(sin A ? sin B) ? y sin B ? c sin C 上, 所以 a(sin A ? sin B) ? b sin B ? c sin C ,……………..2 分 由正弦定理,得 a(a ? b) ? b 2 ? c 2 ,即 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ,……..4 分 由余弦定理,得 cos C ?
a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ,……………6 分 2ab 2

又 C ? (0, ? ) ,所以 C ? 600 ………………8 分 ⑵S ?
1 ab sin 600 ? 3. ………………12 分 2

17. (本题满分 12 分) 解:⑴因对任意 n ? N? 有 n, an , S n 成等差数列,所以 2an ? n ? Sn ……2 分 又当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ,所以 2( Sn ? Sn ?1 ) ? n ? Sn ,………4 分 即 Sn ? n ? 2 ? 2( Sn?1 ? n ? 1 ? 2) ,又 S1 ? 1 ? 2 ? 4 , 所以 ? S n ? n ? 2 ? 成以 4 为首项、2 为公比的等比数列……………6 分 ⑵由⑴得 Sn ? n ? 2 ? 4 ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,所以 Sn ? 2n?1 ? n ? 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2n?1 ? n ? 2) ? (2n ? n ? 1 ? 2) ? 2n ? 1 又 a1 ? 1 满足此式,所以 an ? 2n ? 1……………………12 分 (或把 Sn ? 2n?1 ? n ? 2 代入 2an ? n ? Sn 得通项 an 也可)
5

18.(本题满分 12 分) 解:⑴当 E 是 BC 中点时,因 F 是 PB 的中点,所以 EF 为 ?PCB 的中位线, 故 EF//PC,又因 PC ? 面 PAC, EF ? 面 PAC,所以 EF//面 PAC……4 分 ⑵证明:因 PA⊥底面 ABCD,所以 DA⊥PA,又 DA⊥AB,所以 DA⊥面 PAB, 又 DA//CB,所以 CB⊥面 PAB,而 AF ? 面 PAB,所以 AF ? CB , 又在等腰三角形 PAB 中,中线 AF⊥PB,PB ? CB=B,所以 AF⊥面 PBC. 而 PE ? 面 PBC,所以无论点 E 在 BC 上何处,都有 PE ? AF ………8 分 ⑶以 A 为原点,分别以 AD、AB、AP 为 x\y\z 轴建立坐标系,设 BE ? m , ? 则 P(0, 0,1) , D( 3, 0, 0) , E (m,1,0) ,设面 PDE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ? ? ??? ? ? PE ? n ? 0 ? mx ? y ? z ? 0 ? ? , , 由 ? ??? ? ,得 ? ,取 n ? (1 3 ? m 3) ,又 AP ? (0,0,1) , ? ? 3x ? z ? 0 ? ? PD ? n ? 0 ?
??? ? ? 则由 cos PA, n ? sin 450 ,得

3 4 ? ( 3 ? m)
2

?

1 2

,解得 m ? 3 ? 2 .

故当 BE ? 3 ? 2 时,PA 与面 PDE 成 450 角……………12 分 (前 2 问也可以用空间向量解答) 19.(本题满分 12 分)
2 解: (1) g ( x) ? 2 x3 ? 5x 2 ? 4 x, g ' ( x) ? 6 x 2 ? 10 x ? 4 ? 0, x ? ?1或 ? ,……2 分 3

由单调性即得 g ( x) 极大值为 g (?1) ? ?1,
2 28 g ( x) 极小值为 g (? ) ? ? . ……………………6 分 3 27

(2) ?x1、x2 ? ? ?3,3? , 都有f ( x1 ) ? g ( x2 )成立 ,即 ? ?3,3? 上f ( x) max ? g ( x) min ,
g (3) ? 111, g (?3) ? ?21,
? g ( x)min ? ?21, f ( x)max ? f (3) ? 120 ? k ,

?120 ? k ? ?21, k ? 141,即k ? [141, ??) …………………12 分

20.(本题满分 13 分) 解:⑴其余 3 道题中,各题答对的概率分别为 故得 40 分的概率为 P ?
1 1 1 , , . 2 3 4

1 1 1 1 ………6 分 ? ? ? 2 3 4 24 ⑵X 的取值为 25、30、35、40…………………8 分 1 1 1 1 P( X ? 2 5 ? ? ? 1 ? ) ? ( 1 ? , ) ( ) 2 3 4 4
6

1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 P( X ? 35) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 . 分布列(略) P( X ? 40) ? 24 1 11 1 1 365 EX ? 25 ? ? 30 ? ? 35 ? ? 40 ? ? ? 30.4 ………13 分 4 24 4 24 12 P( X ? 30) ?

21.(本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知,得 F (0,1) ,显然直线 AB 的斜 率存在且不为 0,则可设直线 AB 的方程为 , y ? kx ? 1 ( k ? 0 ) A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
? x 2 ? 4 y, 由? 消去 y ,得 x2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ? y ? kx ? 1 ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 . x1 ? x2 ? 4k ,x1 x2 ? ?4 …2 分 1 1 1 由 x 2 ? 4 y ,得 y ? x 2 ,所以 y ' ? x ,直线 AM 的斜率为 k AM ? x1 , 4 2 2 1 所以,直线 AM 的方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ,又 x12 ? 4 y1 , 2 所以,直线 AM 的方程为 x1 x ? 2( y ? y1 ) ①………………4 分
x2 x ? 2( y ? y2 ) ②………………5 分 x ?x ②-①并据 x1 ? x2 得点 M 的横坐标 x ? 1 2 , 2 即 A , M , B 三点的横坐标成等差数列.………………………………7 分 (Ⅱ)由①②易得 y=-1,所以点 M 的坐标为(2k,-1)( k ? 0 ). 2 1 1 所以 kMF ? ? ? ,则直线 MF 的方程为 y ? ? x ? 1 ………………8 分 ?2k k k 2 ? x ? 4 y, 4 ? 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 由 ? 消去 y ,得 x 2 ? x ? 4 ? 0 , 1 k ? y ? ? x ?1 k ? 16 4 …………………………9 分 ? ? 2 ? 16 ? 0 x3 ? x4 ? ? , x3 x4 ? ?4 . k k

同理,直线 BM 的方程为

又 | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2
? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 4(k 2 ? 1) .…………………………….10 分

| CD |? ( x3 ? x4 ) 2 ? ( y3 ? y4 ) 2 ? (1 ?
? (1 ?

1 )( x3 ? x4 ) 2 2 k

因为 kMF ? k AB

1 1 )[( x3 ? x4 )2 ? 4 x3 x4 ] ? 4( 2 ? 1) . …………………12 分 2 k k ? ?1 ,所以 AB ? CD ,

7

1 1 1 | AB | ? | CD |? 8( 2 ? 1)(k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 2 ? 2) ? 32 , 2 k k 当且仅当 k ? ?1 时,四边形 ACBD 面积的取到最小值 32 .…………14 分

所以, S ACBD ?

8


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