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2015年全国高考文科数学试题及答案-新课标2


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己的 姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂

其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 A ? B ? A. ( ?1,3) 2.若 a 为实数,且 A.-4 B. (?1,0) C. (0, 2) D. (2,3)

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a = 1? i
C.3 D.4

B.-3

3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不 正确的是
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著

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B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.向量 a ? (1, ?1) , b ? (?1, 2) ,则 (2a ? b) ? a ? A.-1 B.0 C.1 D.3

5.设 Sn 等差数列 {an } 的前 n 项和。若 a1 + a3 + a5 = 3,则 S5 = A.5 B.7 C.9 D.11

6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部 分体积与剩余部分体积的比值为 A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

7.已知三点 A(1,0) , B(0, 3) , C(2, 3) ,则 ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为 A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

8. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九 章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入 的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a = A.0 B.2 C.4 D.14

9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 = A.2 B.1

1 ,a3a5 = 4(a4 ? 1) ,则 4

C.

1 2

D.

1 8

10.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB = 90° ,C 为该球面上的动点。若三棱锥 O—ABC 体积 的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π

11.如图,长方形 ABCD 的边 AB = 2,BC = 1,O 是 AB 的中点, 点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠AOB = x。将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图象大致为

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12.设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2

1 A. ( ,1) 3

1 B. (??, ) ? (1, ??) 3

1 1 C. ( ? , ) 3 3

1 1 D. (??, ? ) ? ( , ??) 3 3

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x 的图象过点 (?1, 4) ,则 a = _________。
?x ? y ? 5 ? 0 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为__________。 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?

1 15.已知双曲线过点 (4, 3) ,且渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的标准方程为__________。 2
16.已知曲线 y ? x ? ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1 相切,则 a = __________。 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) ΔABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC。 (1)求

sin ?B ; sin ?C
?

(2)若 ?BAC ? 60 ,求 ? B 。 18. (本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对 产品的满意度评分, 得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数
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分布表。 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图 频率/组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 40 50 60 70 80 90 100 满意度评分

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频 数
[50, 60) [60, 70) [70,80) [80,90) [90,100]

2

8

14

10

6

(1)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) ;

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图 频率/组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 50 60 70 80 90 100 满意度评分

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:

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满意度评分 满意度等级

低于 70 分 不满意

70 分到 89 分 满意

不低于 90 分 非常满意

估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大?说明理由 19. (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E = D1F = 4,过点 E,F 的 平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值。 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
2 x2 y 2 ,点 (2, 2) 在 C 上。 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

D1

F

C1

A1

E D

B1 C

A

B

(1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M。证 明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? x) 。 (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)当 f ( x) 有最大值,且最大值大于 2a - 2 时,求 a 的取值范围。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写 清题号 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与 ΔABC 的底边 BC 交 于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切 于 E,F 两点。 (1)证明:EF∥BC; B E O M D N C G F A

(2)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积。

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23. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? (t 为参数,t ≠ 0) ,其中 0 ≤ α < π,在以 O 为极点, ? y ? t sin ?

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。 (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。 24. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a + b = c + d,证明: (1)若 ab > cd;则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件。

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参考答案
一.选择题 (1)A (7)B 二.填空题 (13)-2 三.解答题 (17)解: (Ⅰ)由正弦定理得 (14)8 (15) (2)D (8)B (3)D (9)C (4)C (10)C (5)A (11)B (6)D (12)A

x2 ? y2 ? 1 4

(16)8

AD BD AD DC ? , ? sin ?B sin ?BAD sin ?C sin ?CAD
因为 AD 平分 ?BAC, BD ? 2DC ,所以

sin ?B DC 1 ? ? sin ?C BD 2
(Ⅱ)因为 ?C ? 180? ? (?BAC ? ?B), ?BAC ? 60? ,所以

sin ?C ? sin(?BAC ? ?B) ?

3 1 cos ?B ? sin ?B 2 2 3 ? ,即 ?B ? 30 3

由(Ⅰ)知 2sin ?B ? sin ?C ,所以 tan ?B ? (18)解: (Ⅰ)

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通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区用户满意度评分比较 分散。 (Ⅱ)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。 记 C A 表示事件: “A 地区用户的满意度等级为不满意” ; 记 CB 表示事件: “B 地区用户的满意 度等级为不满意” 。 由直方图得 P(CA ) 的估计值为 (0.01 ? 0.02 ? 0.03) ?10 ? 0.6

P(CB ) 的估计值为 (0.005 ? 0.02) ?10 ? 0.25
所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。 (19)解: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图:

(Ⅱ)作 EM ? AB ,垂足为 M,则 AM ? A 1E ? 4, EB 1 ? 12, EM ? AA 1 ?8 因为 EHGF 为正方形,所以 EH ? EF ? BC ? 10 于是 MH ?

EH 2 ? EM 2 ? 6, AH ? 10, HB ? 6
9 7 ( 也正确) 7 9

因为长方体被平面 ? 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为 (20)解: (Ⅰ)由题意有
2

a 2 ? b2 2 4 2 ? , ? ?1, a 2 a 2 b2
2

解得 a ? 8, b ? 4

所以 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

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(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM )

x2 y 2 ? ? 1得 将 y ? kx ? b 代入 8 4

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 8 ? 0
故 xM ?

x1 ? x2 ?2kb b ? 2 , yM ? kxM ? b ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 1 yM 1 ? ? ,即 kOM ?k ? ? 2 xM 2k

于是直线 OM 的斜率 kOM ?

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。 (21)解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??), f ?( x) ?

1 ?a x

若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增 若 a ? 0 ,则当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 。所以 f ( x ) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 无最大值;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 值,最大值为 f ( ) ? ln( ) ? a(1 ? ) ? ? ln a ? a ? 1 因此 f ( ) ? 2a ? 2 等价于 ln a ? a ? 1 ? 0 令 g (a) ? ln a ? a ? 1 ,则 g (a ) 在 (0, ??) 单调递增, g (1) ? 0 于是,当 0 ? a ? 1 时, g (a) ? 0 ;当 a ? 1 时, g (a) ? 0 因此, a 的取值范围是 (0,1) (22)解: (Ⅰ)由于 ?ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线 又因为 ? O 分别与 AB, AC 相切于点 E, F, 所以 AE ? AF ,

1 a

1 a

1 a

1 a

1 取得最大 a

1 a

1 a

1 a

1 a

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故 AD ? EF 从而 EF // BC (Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线.又 EF 为 ? O 的弦,所 以 O 在 AD 上 连结 OE , OM ,则 OE ? AE 由 AG 等于 ? O 的半径得 AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 30 ,因此 ?ABC 和 ?AEF 都是等边
?

三角形 因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4, OE ? 2 因为 OM ? OE ? 2, DM ?

1 10 3 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 ,于是 AD ? 5, AB ? 2 3

所以四边形 EBCF 的面积为 (23)解:

1 10 3 2 3 1 3 16 3 ?( ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3

(Ⅰ) 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 , 曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0 .

? x ? y ? 2 y ? 0, ? 联立 ? 2 2 ? ? x ? y ? 2 3x ? 0
2 2

? x ? 0, 解得 ? ? y ? 0,

? x? ? ? 或? ?y ? ? ?

3 , 2 3 . 2

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 3 , ) 2 2

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? 因此 A 的极坐标为 (2sin ? , ? ) , B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) 所以 | AB |?| 2sin ? ? 2 3 cos ? |? 4 | sin(? ? 当? ? (24)解: (Ⅰ)因为 ( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab ,( c ? d )2 ? c ? d ? 2 cd ,

?
3

)|

5? 时, | AB | 取得最大值,最大值为 4 6

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由题设 a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 因此 a ? b ? c ? d (Ⅱ) (ⅰ)若 | a ? b |?| c ? d | ,则 (a ? b)2 ? (c ? d )2 ,即

(a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd
因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd 由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d (ⅱ)若 a ? b ? c ? d ,则 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,即

a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd
因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,于是

(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd ? (c ? d )2
因此 | a ? b |?| c ? d | 综上, a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件

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