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第4课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


第 4 课时 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的简单应用 【课前热身】 1 1. 把 y=sin2x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到 y=sinω x 的图象, 则 ω 的值为( B.4 1 C.4 D.2

) A. 1

π? ?π ?? 2.已知简谐运动 f(x)=2sin? x+φ ??|φ |<

; ?的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 2? ?3 ?? 和初相 φ 分别为( π A.T=6,φ = 6 ) π B.T=6,φ = 3 π C.T=6π ,φ = 6 π D.T=6π ,φ = 3

? π? 3.将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π )个单位后,得到函数 y=sin?x- ?的图象,则 φ 等 6? ? 于( π ) A. 6 11π B. 6 7π C. 6 5π D. 6

? π? 4.要得到函数 y=sin?x+ ?的图象,只需将函数 y=sin x 的图象向____平移_____个单位. 3? ? π 5. 图中的曲线是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(A>0, ω >0, |φ|< 2 ), 则 ω=________, φ =________. π 6.(2011· 大纲全国卷)设函数 f(x)=cosω x(ω>0), 将 y=f(x)的图象向右平移 3 个单 位长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( 1 A.3 B.3 C.6 D.9 )

π 7.将函数 y=sin ω x(ω>0)的图象向左平移 6 个单位长度, 平移后的图象如图 所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ? π? A.y=sin?x+ ? 6? ? π? ? C.y=sin?2x+ ? 3? ? ? π? B.y=sin?x- ? 6? ? π? ? D.y=sin?2x- ? 3? ? )

【知识要点】 1.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个特殊点,它们的横坐标分别是: 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象的步骤如下:
1

方法一:

方法二: 以上两种 方法的区别: 方法一先平移 再伸缩;方法 二先伸缩再平 移.特别注意 方法二中的平 移量. 考向一:作函 数 y=Asin(ω

x+φ )的图像 π? ? 【例 1】已知函数 y=2sin?2x+ ?, 3? ? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;

π? ? (3)说明 y=2sin?2x+ ?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 3? ?

π ? ? 【变式练习 1】设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,- <φ <0?的最小正 2 ? ? 3 ?π ? 周期为π ,且 f? ?= 2 . ?4? (1)求 ω 和 φ 的值;

(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象.

考向二:求函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式 【例 2】(2011· 江苏卷)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)的部分图象如图所 示,则 f(0)的值是________.

2

π 【变式练习 2】函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,|φ |< 2 )的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin 3x 的图象,则只要将 f(x)的图象( π A.向右平移 4 个单位长度 π C.向左平移 4 个单位长度 ) π B.向右平移12个单位长度 π D.向左平移12个单位长度

考向三:函数 y=Asin(ω x+φ )的图像和性质的综合应用 π 【例 3】已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω >0,0<φ < 2 )的图象与 x 轴的交点中,相邻 π ?2π ? 两个交点之间的距离为 2 ,且图象上一个最低点为 M? ,-2?. 3 ? ? (1)求 f(x)的解析式; ?π π ? (2)当 x∈? , ?时,求 f(x)的值域. ?12 2 ?

1 1 ?π 1? 【变式 3】已知函数 f(x)=2sin2xsinφ +2cos 2xcosφ (0<φ<π )的图象过点? , ?. ? 6 2? 1 (1)求 φ 的值;(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2,纵坐标不变,得到函数 y= π? ? g(x)的图象,求函数 g(x)在?0, ?上的最大值和最小值. 4? ?
3

【方法感悟】 π 1.用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图象,关键是点的选取,通常令 ωx+φ 分别等于 0, 2 , 3 π ,2π ,2π ,求出对应的 x,y,即可得到所画图象上关键点的坐标. 2.确定 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的步骤: (1)根据图象的最高点、最低点或与 y 轴的交点确定振幅 A; 2π (2)根据图象确定函数的周期 T,再由 T= ,求得 ω 的值; ω ? φ ? (3)确定 φ 值时,往往寻找“五点法”作图象时的第一零点?- ,0?作为突破口. ? ω ? 【综合提升】 1.关于函数 f(x)=sin x+cos x 的下列命题中正确的是( A.函数 f(x)的最大值为 2 )

π B.函数 f(x)的一条对称轴为 x= 4

π C.函数 f(x)的图象向左平移 4 个单位后对应的函数是奇函数 D.函数 y=|f(x)|的周期为 2π 2.(2010· 重庆卷)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ |< π A.ω=1,φ = 6 π C.ω=2,φ = 6 π B.ω=1,φ =-6 π D.ω=2,φ =-6 π )的部分图象如图所示,则 2

π? ? 4.(2011· 辽宁卷)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω >0,|φ |< ?,y=f(x)的部分图 2? ?

4

?π ? 象如图所示,则 f? ?=( ?24? A.2+ 3 B. 3

) 3 C. 3 D.2- 3

π ?x π ? 5. 将函数 f(x)=2cos? + ?的图象向左平移 4 个单位, 再向下平移 1 个单位, 得到函数 g(x)的图象, 3 6 ? ? 则 g(x)的解析式为( ) ?x π ? B.g(x)=2cos? + ?-1 ?3 4 ? ?x π ? D.g(x)=2cos? - ?-1 ?3 12?

?x π ? A.g(x)=2cos? - ?+1 ?3 4 ? ?x π ? C.g(x)=2cos? - ?+1 ?3 12?

π 6.(2011· 石家庄二模)将函数 y=sin(x+φ)的图象 F 向左平移 6 个单位长度后得到图象 F′,若 F′的 ?π ? 一个对称中心为? ,0?,则 φ 的一个可能取值是( ?4 ? π A.12 π B. 6 5π C. 6 7π D. 12 )

π? ? 7.函数 y=sin?2x+ ?的图象离 y 轴最近的一条对称轴方程为________. 3? ? π? ? 8.已知 f(x)=cos?ω x+ ?(ω>0)的图象与 y=1 的图象的两相邻交点间的距离为π ,要得到 y=f(x) 3? ? 的图象,只需把 y=sinω x 的图象向______平移_____个单位. π π 9.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+n 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 2 ,直线 x= 3 是其图 π 象的一条对称轴,若 A>0,ω >0,0<φ < 2 ,则函数的解析式为________. π? ? 10.交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的关系可用 E=220 3sin?100π t+ ?表示,求: 6? ? (1)开始时的电压;(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间.

5

π? ? ?π ? 11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+1?ω >0,A>0,0<φ < ?的周期为π ,f? ?= 3+1,且 f(x)的最 2? ? ?4? 大值为 3. (1)写出 f(x)的表达式; (2)写出函数 f(x)的对称中心,对称轴方程.

π? ? ? π ? 12.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω >0,0<φ < ?的图象关于点 B?- ,0?对称, 点 B 到函数 2 4 ? ? ? ? π ?π ? y=f(x)图象的对称轴的最短距离为 2 ,且 f? ?=1. ?2? (1)求 A,ω ,φ 的值; 1 (2)若 0<θ<π ,且 f(θ)=3,求 cos 2θ 的值.

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