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【大高考】(五年高考)2016届高考数学复习 第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 文


第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

考点一 四种命题及其关系 1.(2015·山东,5)若 m∈R, 命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆否命题是 ( )
2 2

A.若方程 x +x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x +x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m>0 D.若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m≤0 解析 原命题为“若 p,则 q”,则其逆否命题为“若綈 q,则綈 p”.∴所求命题为“若方 程 x +x-m=0 没有实根,则 m≤0”. 答案 D 2.(2015·四川,15)已知函数 f(x)=2 ,g(x)=x +ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1,
x
2 2 2 2 2

f(x1)-f(x2) g(x1)-g(x2) x2,设 m= ,n= , x1-x2 x1-x2
现有如下命题: ①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中真命题有________(写出所有真命题的序号). 解析 设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)), 对于①:从 y=2 的图象可看出,m=kAB>0 恒成立,故正确; 对于②:直线 CD 的斜率可为负,即 n<0,故不正确; 对于③:由 m=n 得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2), 即 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2), 令 h(x)=f(x)-g(x)=2 -x -ax, 则 h′(x)=2 ·ln 2-2x-a,由 h′(x)=0,∴2 ·ln 2=2x+a,(*)结合图象知,当 a 很小时,方程(*)无解,∴函数 h(x)不一定有极值点,就不一定存在 x1,x2 使 f(x1)-g(x1) =f(x2)-g(x2),不一定存在 x1,x2 使得 m=n; 对于④:由 m=-n,得 f(x1)-f(x2)=g(x2)-g(x1), 即 f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),
x x x
2

x

1

令 F(x)=f(x)+g(x)=2 +x +ax,则 F′(x)=2 ln 2+2x+a, 由 F′(x)=0,得 2 ln 2=-2x-a,结合如图所示图象可知,该方程有解, 即 F(x)必有极值点,∴存在 x1,x2 使 F(x1)=F(x2),得 m=-n. 故①④正确. 答案 ①④ 3.(2014·陕西,8)原命题为“若
x

x

2

x

an+an+1
2

<an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命 )

题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,真,真 C.真,真,假 解析 B.假,假,真 D.假,假,假

从原命题的真假入手,由于

an+an+1
2

<an?an+1<an?{an}为递减数列,即原命题和逆

命题均为真命题,又原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,则逆命题、否 命题和逆否命题均为真命题,选 A. 答案 A 4.(2013·陕西,6)设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 z ≥0,则 z 是实数 C.若 z 是虚数,则 z ≥0
2 2 2

)

B.若 z <0,则 z 是纯虚数 D.若 z 是纯虚数,则 z <0
2 2

2

解析 由复数的运算可知若 z ≥0,则 z 一定是实数,A 是真命题;若 z <0,则 z 一定是纯 虚数,B 是真命题;若 z 是虚数,则 z 可能还是虚数,则不能与 0 比较大小,C 是假命题; 若 z 是纯虚数,则 z <0,所以 D 是真命题. 答案 C π 5.(2012·湖南,3)命题“若 α = ,则 tan α =1”的逆否命题是( 4 π A.若 α ≠ ,则 tan α ≠1 4 π C.若 tan α ≠1,则 α ≠ 4 π B.若 α = ,则 tan α ≠1 4 π D.若 tan α ≠1,则 α = 4 )
2 2

解析 根据逆否命题的定义可知 C 正确. 答案 C 6.(2011·陕西,1)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( A.若 a≠-b,则|a|≠|b|
2

)

B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b 解析 根据逆命题的定义将原命题的条件和结论互换即可. 答案 D 考点二 充分条件与必要条件 1.(2015·天津,4)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由|x-2|<1 得 1<x<3,所以 1<x<2? 1<x<3;但 1<x<3? / 1<x<2,故选 A. 答案 A 2.(2015·重庆,2)“x=1”是“x -2x+1=0”的( A.充要条件 C.必要而不充分条件
2 2

)

)

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

解析 解 x -2x+1=0 得 x=1,所以“x=1”是“x -2x+1=0”的充要条件. 答案 A

? π? 3.(2015·福建,12)“对任意 x∈?0, ?,ksin xcos x<x”是“k<1”的( 2? ?
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

2x ? π? ? π? 解析 ? x∈?0, ?,ksin xcos x<x?? x∈?0, ?,k< ,令 f(x)=2x-sin 2x. 2? 2? sin 2x ? ?

? π? ∴f′(x)=2-2cos 2x>0,∴f(x)在?0, ?为增函数,∴f(x)>f(0)=0. 2? ?
2x ∴2x>sin 2x,∴ >1,∴k≤1,故选 B. sin 2x 答案 B 4.(2015·安徽,3)设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 成立的( A.充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析 ∵x<3? / -1<x<3,但-1<x<3? x<3,∴p 是 q 的必要不充分条件,故选 C. 答案 C
3

5.(2015·陕西,6)“sin α =cos α ”是“cos 2α =0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

)

解析 ∵sin α =cos α ? cos 2α =cos α -sin α =0;cos 2α =0?cos α =±sin α ? / sin α =cos α ,故选 A. 答案 A 6.(2015·湖南,3)设 x∈R,则“x>1”是“x >1”的( A.充分不必要条件 C.充要条件
3 3 3

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 由 x>1 知,x >1;由 x >1 可推出 x>1.故选 C. 答案 C 7.(2015·浙江,3)设 a,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析 当 a=3,b=-1 时,a+b>0,但 ab<0,故充分性不成立;当 a=-1,b=-2 时,

ab>0,而 a+b<0.故必要性不成立.故选 D.
答案 D 8.(2014·新课标全国Ⅱ,3)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则( A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析 设 f(x)=x ,f′(0)=0,但是 f(x)是单调增函数,在 x=0 处不存在极值,故若 p 则 q 是一个假命题,由极值的定义可得若 q 则 p 是一个真命题.故选 C. 答案 C 9.(2014·北京,5)设 a,b 是实数,则“a>b”是“a >b ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 可采用特殊值法进行判断,令 a=1,b=-1,满足 a>b,但不满足 a >b ,即条件 “a>b”不能推出结论“a >b ” ;再令 a=-1,b=0,满足 a >b ,但不满足 a>b,即结 论“a >b ”不能推出条件“a>b”.故选 D.
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

)

)

答案 D 10. (2014·广东, 7)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, 则“a≤b”是“sin

A≤sin B”的(
A.充分必要条件

) B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

C.必要非充分条件

解析 由正弦定理,得 = ,故 a≤b?sin A≤sin B,选 A. sin A sin B 答案 A 11.(2013·安徽,4)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

a

b

1 解析 由(2x-1)x=0,得 x= 或 x=0. 2 故(2x-1)x=0 是 x=0 的必要不充分条件. 答案 B 12.(2013·福建,2)设点 P(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析 当 x=2 且 y=-1 时,点 P 在直线 l:x+y-1=0 上成立;反之则不成立. 答案 A 13.(2012·湖北,9)设 a,b,c∈R,则“abc=1”是“ A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件 解析 由 abc=1,得 a+b+c≥ ab+ bc+ ca= 答案 A 1 1

a



1

b



1

c

≤a+b+c”的(

)

a



1

b



1

c

,反之不成立,故选 A.

5


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