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河南省许昌市2013届高三上学期期末教学质量评估数学(理)试题


河南许昌市 2012~2013 学年第一学期期末教学质量评估试卷

高三数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类 填写征答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑(或填到 答题纸中的选择题答题长上) ,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在 试卷上。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知函数 f(x)=

1 的定义域为 A,g(x)=ln(1+x)的定义域为 B,则 A∩B= 1-x
B.{x|x<1} C.{x|-1<x<1} D. ?

A.{x|x>-1}

2.函数 f(x)=-sin(2x+

3 π )在其定义域上是 2

A.周期为π 的奇函数 B.周期为 2π 的奇函数 C.周期为π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数 3.已知向量 a=(3,4) ,b=(2,-1) ,如果向量 a+xb 与 b 垂直,则 x 的值为 A.

23 3

C.2

3 23 2 D.- 5
B.

4. 如图是将二进制数 111111(2)化为十进制数的程序框图, 判断框内填入条件是 A.i>5 B.i>6 C.i≤5 D.i≤6 5.若点 P(1,1)为圆 x +y -6 x=0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为 A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 6.设 m, n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ①若α ∥β ,m ? α ,n ? β ,则 m∥n; ②若 m⊥α ,m∥β ,则α ⊥β ; ③若 n⊥α ,n⊥β , m⊥α ,则 m⊥β ; ④若α ⊥γ ,β ⊥γ , m⊥α ,则 m⊥β .
2 2

其中错误命题的序号是 A.①③ B.①③ C.②③④ D.②③ 7.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三 角形,则这个几何的体积为 A.

(4+? ) 3 3 (8+? ) 3 3

B. (4+? ) 3

C.

D.

(8+? ) 3 6

8.在数列{ an }中,若对任意的 n 均有 an + an+1 + an+2 为定值(n∈N﹡) ,且 a7=2,a9=3,a98 =4 则数列 an 的前 100 项的和 S100= A.132 9.函数 y= a
x+3

B.299

C.68

D.99

-2(a>0,a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线

x y + =-1 ,且 m,n m n

>0 则 3m+n 的最小值为 A.13 B.16 C.11+6 2 D.28

10.由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为 A.

32 9

B.2-ln3

C.4+ln3

D.4-ln3

11.已知双曲线 C:

x 2 y2 - = 1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 且斜率为 3 的直线交曲线 C a 2 b2
???? ??? ?

于 A、B 两点.若 AF =4 FB ,则曲线 C 的离心率 e 为 A.

1 2

B.

6 5

C.

8 5

D.

9 5

? x 2+3,( x ?[0,1)) ? 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 且 f(x+2)=f(x) ,g(x) 2 1,0)) ? ?3-x ,( x ?[ -


3 x+7 ,则方程 g(x)=f(x)在区间[-8,3]上的所有实数根之和为 x+2
B.-10 C.-11 D.-12

A.0

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分

?0≤ x≤3 ? 13.已知 x、y 满足约束条件 ?0≤ y≤4 ,则 z=x+y 的最大值是__________ ? x+2 y≥8 ?
14. (x+1) (1-2x)5 展开式中, x 的系数为____________(用数字作答) . 15.在数列{ an }中,a1=1,a2=2,当整数 n>1 时, S n+1 + S n -1 =2( Sn +S1)都成立,则 S15= ________________. 16.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体” ,那么从长方体的八个顶点中任取四 个顶点,则这四个顶点构成的四面体是“三节棍体”的概率是______________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,向量 m=(2sinB,2-cos2B) ,n= (2 sin ( + ) ,-1) ,且 m⊥n.
2

3

B 2

?

4

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a= 3 ,b=1,求 c 的值.

18. (本小题满分 12 分) 现有 3 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.约定:每个 人将质地均匀的硬币抛掷两次决定自己去参加哪个游戏.两次抛出的硬币朝上的面均为 正面的人去参加甲游戏,两次抛出的硬币朝上的面为其它情形的去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 3 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (Ⅱ)求这 3 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (Ⅲ)用 X,Y 分别表示这 3 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ =|X-Y|,求随 机变量ξ 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图(a)所示,在边长为 2 的正方形 ABB1A1 中,C,C1 分别是 AB,A1B1 的中点,现 将正方形 ABB1A1 沿 CC1 折叠,使得平面 ACC1A1 平面 CBB1C1,连接 AB,A1B1,AB1, 如图(b)所示,F 是 AB1 的中点,E 是 CC1 上的点. (Ⅰ)当 E 是棱 CC1 中点时,求证:EF⊥平 面 ABB1A1; (Ⅱ)在棱 CC1 上是否存在点 E,使得二 面角 A-EB1-B 的大小为 45°?若 存在,求 CE 的长度;若不存在, 请说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的离心率 e=

3 ,长轴的左、右端点分别为 A1(-2,0) ,A2(2,0) . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 x=my+1 与椭圆 C 交于 P, Q 两点,直线 A1P 与 A2Q 交于点 S,试问:当 m 变化 时,点 S 是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不 是,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lgx+

1? x ,其中 a 为大于零的常数. ax

(Ⅰ)若函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值; (Ⅲ)求证:对于任意的 n∈N﹡,且 n>1 时,都有 lnn>

1 1 1 + +?+ 成立. 2 3 n

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知△ABC 中,AB>AC,∠BAC 的一个外角平分线交△ABC 的外接圆于点 E,过 E 作 EF⊥AB, 垂足为 F, 求证:2AF=AB-AC

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x=t+ ? ? t 过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线 l 和曲线 C: ? (t 为参数)相交于 A, 1 ?y=t- ? t ?
B 两点,球线段 AB 的长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 若不等式

1 1 1 1 a + + +?+ > 对一切正整数 n 都成立,求正整数 a 3n+1 24 n+1 n+2 n+3

的最大值.


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