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2015年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题与答案


2015 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)

数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.

2015.1
试卷类型:A

/>3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内; 如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数

3?i 等于( 1? i

) B. 1 ? 2 i C. 2 ? i D. 2 ? i ) D. ?0,1? ) D. 2

A. 1 ? 2 i

2.已知集合 M ? x ? R 0 ? x ? 2 , N ? x ? R x ? 1 ,则 M A. ?1, 2 ? B. ?1, 2 ?

?

?

?

?

??R N ? ? (

C. ? 0,1?

3.已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为 45 ? ,且满足 e1 ? ? ?e2 ? e1 ? ,则实数 ? 的值是( A. 1 B. 2 ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 C.

2 3 3

4. 已知 a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ loga b ? 1 ”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

?x ? y ?1 ? 0 ? 5.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 0 ?
A. ? 2 B. ?1 ) C. 1 6.下列函数中,可以是奇函数的为( A. f ( x) ? ? x ? a ? x , a ? R C. f ( x) ? log2 ? ax ?1? , a ? R 7.已知异面直线 a , b 均与平面 ? 相交,下列命题: ①存在直线 m ? ? ,使得 m ? a 或 m ? b ; ②存在直线 m ? ? ,使得 m ? a 且 m ? b ; ③存在直线 m ? ? ,使得 m 与 a 和 b 所成的角相等. 其中不正确 的命题个数为( ) ... A. 0 B. 1 C. 2
第 1 页 共 9 页

)

D. 2

B. f ( x) ? x ? ax ? 1 , a ? R
2

D. f ( x) ? ax ? cos x , a ? R

D. 3

8. 有 10 个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并 求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( A. 45 B. 55 C. 10! ) D. 10
10

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

? 1, 9.如果 f ( x ) = ? í

ì

x?1 ,那么 f ? ? f ? 2 ?? ?? ? ? ? sin x, x > 1

.

10.不等式 x ?1 ? x ? a ? 3 恒成立,则实数 a 的取值范围为

.

11.已知点 A ? ?2,0? 、 B ? 0,4? 到直线 l : x ? my ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 m 的值为__________. 12.某市有 40% 的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取 4 个家庭,则这 4 个家庭中恰好有 3 个家庭 订阅了《南方都市报》的概率为__________. 13.如图 1 ,为了测量河对岸 A 、 B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C ,从 C 点可以观察到点 A 、 B ; 找到一个点 D ,从 D 点可以观察到点 A 、 C ;找到一个点 E ,从 E 点可以观察到点 B 、 C ;并测量得 到一些数据: CD ? 2 , CE ? 2 3 , ?D ? 45? , ?ACD ? 105? , ?ACB ? 48.19? , ?BCE ? 75? , ?E

2 ? 60 ? ,则 A 、 B 两点之间的距离为_________.(其中 cos 48.19? 取近似值 ) 3
A D C B B O C E 图1 P M A 图2 D

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲)如图 2 , P 是圆 O 外一点, PA 、 PB 是圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B , PA 中点 为 M ,过 M 作圆 O 的一条割线交圆 O 于 C 、 D 两点,若 PB ? 2 3 , MC ? 1 ,则 CD ? 15.(坐标系与参数方程 )在极坐标系中,曲线 C1 : ? 个交点在极轴上,则 a ? ______. .

?

2 cos ? ? sin ? ? 1 与曲线 C2 : ? ? a ( a ? 0 )的一

?

第 2 页 共 9 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? (Ⅰ) 求 f ?

? ?

?? ? ( ? ? 0 , x ? R )的最小正周期为 ? .
4?

?? ? ?; ?6? ? ? ?? 上的图像,并根据图象写 , ? 2 2? ?

(Ⅱ) 在图 3 给定的平面直角坐标系中,画出函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ? 出其在 ? ?

? ? ?? , ? 上的单调递减区间. ? 2 2?

y 1
1 2

?

?
2

O
?1 2
?1

?
2

x

图3

17.(本小题满分 12 分) 某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型 ,空气质量也有所改观 ,现从当地天气网 站上收集该地区近两年 11 月份( 30 天)的空气质量指数( AQI )(单位: ?g / m3 )资料如下:
2013 年 11 月份 AQI 数据频率分布直方图
频率 组距

2014 年 11 月份 AQI 数据 日期 AQI 日期 AQI 日期 AQI 1 89 11 58 21 137 2 55 12 36 22 139 3 52 13 63 23 77 4 87 14 78 24 63 5 124 15 89 25 63 6 72 16 97 26 77 7 65 17 74 27 64 8 26 18 78 28 65 9 46 19 90 29 55 10 48 20 117 30 45

0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 20 40 60 80 100 120 140 AQI

图4

表1

(Ⅰ) 请填好 2014 年 11 月份 AQI 数据的频率分布表 并完成频率分布直方图 ; ..... .......
2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布表
2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布直方图 频率

?20, 40? ?40, 60? ?60, 80? ?80,100? ?100,120? ?120,140?

分组

频数

频率 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

组距

20 40 60 80 100 120 140 AQI

表2

图5

(Ⅱ) 该地区环保部门 2014 年 12 月 1 日发布的 11 月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的 优良率提高了 20 多个百分点”(当 AQI ? 100 时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持 该观点?

第 3 页 共 9 页

18.(本小题满分 14 分) 如 图 6 , 四 棱 锥 P ? ABCD, 侧 面 PAD 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 , 且 与 底 面 垂 直 , 底 面 A B C D是

?ABC ? 60 ? 的菱形, M 为棱 PC 上的动点,且
(Ⅰ) 求证:△ PBC 为直角三角形;

PM ? ? ( ? ??0,1? ). PC

P

(Ⅱ) 试确定 ? 的值,使得二面角 P ? AD ? M 的平面角余弦值为

2 5 . 5
A

M

D B C 图6

19.(本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? (Ⅰ) 求 a2 , a3 ; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项; (Ⅲ)设 bn ?

1 * , Sn ? n2an ? n(n ?1) ( n ? N ). 2

5 1 * ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? ( n ? N ). 2 Sn Sn +1

20.(本小题满分 14 分)

x2 y2 ? ? 1. 已知曲线 E : m m ?1 (Ⅰ) 若曲线 E 为双曲线,求实数 m 的取值范围;
2 (Ⅱ) 已知 m ? 4 , A ? ?1,0? 和曲线 C : ? x ? 1? ? y ? 16 .若 P 是曲线 C 上任意一点,线段 PA 的垂直 2

平分线为 l ,试判断 l 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

ln ? x ? a ? . x

(Ⅰ) 若 a ? ?1 ,证明:函数 f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的减函数; (Ⅱ) 若曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? y ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅲ) 若 x ? 0 ,证明:

?

?

ln ? x ? 1? x ? x (其中 e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数). x e ?1

第 4 页 共 9 页

2015 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案

1
C

2
C

3
B

4
A

5
D

6
A

7
B

8
A

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. [必做题] 9. 1 [选做题] 14. 2 10. ? ??, ?2? 15.

?4, ???

11. ?

1 或1 2

12.

96 (或 0.1536 ) 625

13. 10

2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.【解析】(Ⅰ)依题意得 所以 f ?



?? ? ? π ,解得 ? ? 2 ,所以 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,??????2 分 ? 4? ?

3 2 1 2 6? 2 ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? .???4 分 ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin cos ? cos sin ? 2 2 2 2 4 3 4 3 4 ?6? ?3 4? ? ? 5? ? 3? ? 2x ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? ,所以 ? ,列表如下:????????6 分 2 2 4 4 4 ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? x 2 8 8 8 8 2 ? 5? ? ? 3? 2x ? ? ? 0 ?? 4 4 2 4 2
y
画出函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?

2 2

0

?1

0

1

2 2

???8 分

? ? ?? 上的图像如图所示! , ? 2 2? ? y
1
1 2

?

?
2

?

3? 8

?

?
8

O
?1 2
?1

?
8

3? 8

?
2

x

???10 分

由图象可知函数 y ? f ? x ? 在 ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? 3? ? ? , ? 上的单调递减区间为 ? ? , ? ? , ? , ? .????12 分 ? 2 2? ? 2 8? ? 8 2?

17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3 分);频率分布直方图(6 分) (Ⅱ) 支持,理由如下:

?1 ? 19 2013 年 11 月的优良率为: 20 ? ? ? 0.005 ? 0.005 ? 0.015 ? 0.010 ? ? , ????8 分 ?3 ? 30
2014 年 11 月的优良率为:

26 , ????9 分 30
第 5 页 共 9 页

因此

26 19 7 ? ? ? 23.3% ? 20% ????11 分 30 30 30
2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布表 分组 频数

所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了 20 多个百分点”.???????12 分
频率 1 15 7 30 2 5 1 6 1 30 1 10 2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布直方图
频率 组距

?20, 40?
?40, 60?

2 7 12 5 1 3

0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 20 40 60 80 100 120 140 AQI

?60, 80? ?80,100?

?100,120?

?120,140?

18.【解析】(Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形,

OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , 所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 AD ? PC , 因为 BC // AD ,所以 BC ? PC ,即 ?PCB ? 90? ,从而△ PBC 为直角三角形.??????5 分 说明:利用 PC ? 平面 AMD 证明正确,同样满分! z P (Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD 平面 ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD .??????6 分 M 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,则
所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC

P 0, 0, 3 , A ? 0, ?1,0? , D ? 0,1,0? , C PC ?

?

?

?

3, 0, 0 ,

?

A O C D y

B ? ??????7 分 由 PM ? ? PC ? ? ? 3, 0, ? 3 ? 可得点 M 的坐标为 ? 3? , 0, 3 ? 所以 AM ? ? 3? ,1, 3 ? 3? ? , DM ? ? 3? , ?1, 3 ? 3? ? ,

?

3, 0, ? 3

3? ,??????9 分

?

x

? 3? x ? y ? ? ?n ? AM ? 0 ? 设平面 MAD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ,即 ? ? ? 3? x ? y ? ?n ? DM ? 0 ?

? ?

3 ? 3? z ? 0 3?

? 3? ? z ? 0

? ?1 ? z ?x ? 解得 ? ? ,令 z ? ? ,得 n ? ? ? ?1,0, ? ? ,??????11 分 ? ?y ? 0
显然平面 PAD 的一个法向量为 OC ? 依题意 cos n, OC ?

?

3, 0, 0 ,??????12 分
3 ? ? ? 1? ? 2 5 1 ,解得 ? ? 或 ? ? ?1 (舍去), 5 3

?

n ? OC n OC

?

? 2 ? ? ? ? 1? ? 3
2

所以,当 ? ?

1 2 5 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 .??????14 分 3 5
第 6 页 共 9 页

[传统法]由(Ⅰ)可知 AD ? 平面 POC ,所以 AD ? OM , AD ? OP , 所以 ?POM 为二面角 P ? AD ? M 的平面角,

2 5 P ,??????8 分 5 ? 5 在△ POM 中, sin ?POM ? , PO ? 3 , ?OPM ? , 4 5 M ? ? ? 所以 sin ?PMO ? sin ? ?POM ? ? A 4? O ? D ? ? 3 10 C ,???10 分 B ? sin ?POM cos ? cos ?POM sin ? 4 4 10 PM PO 6 PM 3 ? 由正弦定理可得 ,即 ,解得 PM ? ,??????12 分 ? sin ?POM sin ?PMO 3 5 3 10 5 10 PM 1 ? , 又 PC ? PO2 ? OC2 ? 6 ,所以 ? ? PC 3 1 2 5 所以,当 ? ? 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 .??????14 分 3 5 5 19.【解析】(Ⅰ)当 n ? 2 时, S2 ? 4a2 ? 2 ,解得 a2 ? ; ??????????????1 分 6 11 当 n ? 3 时, S3 ? 9a3 ? 6 , 解得 a3 ? ; ????????????????2 分 12 2 (Ⅱ)方法一:当 n ? 2 时, Sn ? n ? Sn ? Sn?1 ? ? n(n ?1) ,整理得
即 cos ?POM ?

?n

2

? 1? S n ? n 2 S n ?1 ? n(n ? 1) ,即

? n ? 1? Sn ? nSn?1 ? 1
n n ?1

?????????????????5 分

所以数列 ?

? ? n ? 1? S n ? ? 是首项为 1 ,公差为1 的等差数列. ?????????????????6 分 n ? ?

? n ? 1? Sn 所以
n

n2 ? n ,即 Sn ? n ?1

?????????????????7 分

代入 Sn ? n2an ? n(n ?1) 中可得 an ? 1 ? 方法二:由(Ⅰ)知: a1 ? 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, an ?

1 . n ? n ? 1?

?????????????????8 分

1 5 11 1 , a2 ? , a3 ? ,猜想 an ? 1 ? ,?????????????4 分 2 6 12 n ? n ? 1?

1 1 ,猜想成立; ? 1? 2 1? ?1 ? 1?

?????????????????5 分

* ②假设 n ? k k ? N ,猜想也成立,即 ak ? 1 ? 2

?

?

1 ,则 k ? k ? 1?

2 当 n ? k ? 1 时,有 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? ? k ? 1? ak ?1 ? ? k ? 1? k ? k ak ? k ? k ? 1?

第 7 页 共 9 页

整理得 ? k ? 2? ak ?1 ? kak ? 2 ,从而

? k ? 2 ? ak ?1 ? kak ? 2 ? k ? ?1 ?
?
即 n ? k ? 1 时猜想也成立.

?

? 1 1 1 ? 2 ? k ? 2 ? ,于是 ak ?1 ? 1 ? ? k ? k ? 1? ? k ?1 ? k ? 1?? k ? 2? ?

所以对于任意的正整数 n ,均有 an ? 1 ? (Ⅲ) 由(Ⅱ)得 Sn ? 当 k ? 2 时,bk ? 当 n ? 1 时, T1 ?

1 . n ? n ? 1?

?????????????????8 分

n2 n?2 , bn ? 2 , n ?1 n ? n ? 1?

????????????????9 分

k ?2 k ?2 1 k ?k 1 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ???11 分 k ? k ? 1? k k (k ? 1) k k (k ? 1) k (k ? 1) ? k k ?1 ?
2

3 5 ? 成立; 2 2

???????????????????12 分

当 n ? 2 时,所以 Tn ? 综上所述,命题得证.

3 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 2 3 ? ? 3 4 ?

1 ?? 5 2 5 ?1 ?? ? ? ?? ? ? ? n n ? 1 ?? 2 n ?1 2

??????????????????????????????14 分

20.【解析】(Ⅰ) 因为曲线 E 为双曲线,所以 m ? m ?1? ? 0 ,解得 0 ? m ? 1 , 所以实数 m 的取值范围为 ? 0,1? .???????????????????4 分 (Ⅱ)结论: l 与曲线 E 相切.?????????5 分

x2 y 2 ? ? 1 ,即 3x2 ? 4 y 2 ? 12 , 证明:当 m ? 4 时,曲线 E 为 4 3
2 设 P ? x0 , y0 ? ,其中 ? x0 ? 1? ? y0 ? 16 ,??????????????6 分 2

y ? x0 ? 1 y0 ? , ? ,直线 AP 的斜率为 k ? 0 ,????????????7 分 x0 ? 1 2? ? 2 当 y0 ? 0 时,直线 l 与曲线 E 相切成立.
线段 PA 的中点为 Q ? 当 y0 ? 0 时,直线 l 的方程为 y ?
2

2 y0 x ?1 ? x ?1 ? x ?1 x 2 ? y0 ?1 ,?9 分 ? ? 0 ? x ? 0 ? ,即 y ? ? 0 x? 0 2 y0 ? 2 ? y0 2 y0

2 2 2 因为 ? x0 ? 1? ? y0 ? 16 ,所以 x0 ? y0 ?1 ? 2x0 ? 14 ,所以 y ? ?

x0 ? 1 x ?7 ,??????10 分 x? 0 y0 y0

? x ?1 x ?7? x? 0 代入 3x ? 4 y ? 12 得 3 x ? 4 ? 0 ? ? 12 , y0 ? ? y0
2 2
2

2

化简得 ?4 ? x0 ? 1? ? 3 y0 ? x ? 8 ? x0 ? 1?? x0 ? 7 ? x ? 4 ? x0 ? 7 ? ? 12 y0 ? 0 ,????12 分
2

?

2

?

2

2

2

2 即 ? x0 ? 7 ? x ? 8 ? x0 ? 1?? x0 ? 7 ? x ? 16 ? x0 ? 1? ? 0 , 2 2

所以 ? ? 64 ? x0 ? 1?

2

? x0 ? 7 ?

2

? 4 ? x0 ? 7 ? ? 16 ? x0 ? 1? ? 0
2 2

所以直线 l 与曲线 E 相切.????????????????????14 分 说明:利用参数方程求解正确同等给分!

第 8 页 共 9 页

21.【解析】(Ⅰ)当 a ? ?1 时,函数 f ? x ? 的定义域是 ? ?1,0?

?0, ??? ,??????1 分

x ? ln ? x ? 1? 对 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? x ? 1 2 ,??????????????????2 分 x x ? ln ? x ? 1? ,只需证: x ? 0 时, g ? x ? ? 0 . 令 g ? x? ? x ?1 1 1 x 又 g? ? x ? ? ? ?? ? 0 ,????????????3 分 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? x ? 1?
故 g ? x ? 是 ? 0, ??? 上的减函数,所以 g ? x ? ? g ? 0? ? ? ln1 ? 0 ??????????5 分 所以 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的减函数. ???????????????????6 分 (Ⅱ)由题意知, f ? ? x ?

? 1,????????????????7 分 1 a ? ln ?1 ? a ? ? 1 , ? ln ?1 ? a ? ? 0 ?????????????8 分 即 1? a 1? a a 1 1 ? ln ?1 ? a ? , a ? 1 ,则 t ? ? a ? ? 令 t ?a? ? ? ? 0 ,?????????????9 分 2 1? a ?1 ? a ? 1 ? a
x ?1

故 t ? a ? 是 ? ??,1? 上的增函数,又 t ? 0? ? 0 ,因此 0 是 t ? a ? 的唯一零点,

a ? ln ?1 ? a ? ? 0 有唯一实根 0 ,所以 a ? 0 ,?????????????10 分 1? a x [说明]利用两函数 y ? 与 y ? ln ?1 ? x ? 图象求出 a ? 0 (必须画出大致图象),同样给至 10 分. 1? x x x ln ? x ? 1? ln e ? 1 ? 1 x ln e x ln e ?1 ?1 (Ⅲ)因为 x , 故原不等式等价于 ,???11 分 ? x ? ? e ? 1 e ?1 e x ?1 x ex ?1 ln ? x ? 1? 由(Ⅰ)知,当 a ? ?1 时, f ? x ? ? 是 ? 0, ??? 上的减函数,?????????????12 分 x x 故要证原不等式成立,只需证明:当 x ? 0 时, x ? e ? 1, x x 令 h ? x ? ? e ? x ?1,则 h? ? x ? ? e ?1 ? 0 , h ? x ? 是 ? 0, ??? 上的增函数,??????????13 分
即方程

?

?

?

?

x x 所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 x ? e ? 1,故 f ? x ? ? f e ? 1 ,

x ln ? x ? 1? ln ? e ? 1 ? 1? x 即 ??????????????????????14 分 ? ? x x x e ?1 e ?1

?

?

第 9 页 共 9 页


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