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高中数学选修1-2


第一章 统计案例

比《数学3》中“回归”增加的内容
数学3——统计
5. 1.

2. 3.

4.

了解最小二乘法的 思想 画散点图 求回归直线方程 y=bx+a 用回归直线方程解 决应用问题

6.

7.

8

. 9.

10.

选修1-2——统计案例 引入线性回归模型 y=bx+a+e 了解模型中随机误差项e产生 的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合 的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非 线性回归问题 正确理解分析方法与结果

我们回忆一下
最小二乘法:
n ? ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? i ?1 ? b ? n 2 ? ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ?x ? ? a ? y ? b ? ?x ? a ? ?b ? y

回归方程: 样本点的中心:

( x, y)

1 n x ? ? xi n i ?1

1 n y ? ? yi n i ?1

1、定义:

自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随
机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 注 1):相关关系是一种不确定性关系; 2):对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。

案例1:女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图: 2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系,因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。 产生随机误差项e 3、从散点图还看到,样本点散布在某一条 的原因是什么? 直线的附近,而不是在一条直线上,所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。

思考P3

我们可以用下面的线性回归模型来表示: y=bx+a+e,其中a和b为模型的未知参数, e称为随机误差。

思考 产生随机误差项e的原因是什么?
随机误差e的来源(可以推广到一般): 1、其它因素的影响:影响体重y 的因素不只 是身高 x,可能还包括遗传基因、饮食习惯、 是否喜欢运动、生长环境、度量误差等因素; 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误 差; 3、身高 x 的观测误差。

例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。

根据最小二乘法估计a 和b 就是未知参数a和b的最好估计,

b?

?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )

2 ( x ? x ) ? i i ?1

a ? y ?b x

?

?

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

2

i

制表

i

1

2

3

4

5

6

7

8

合计

xi ? x
yi ? y
( xi ? x)( yi ? y)

( xi ? x)2

x?

, y?



其中 1 1 x ? ? xi, y ? ? yi n i ?1 n i ?1
n n

例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。

于是得到 b ? 0.849 , a ? ?85.712
^ ^

( x, y)称为 样本点的中心

探究P4: 身高为172cm 的女大学生的体重一定是 所以回归方程是 y ? 0.849x ? 85.712 60.316kg吗? 如果不是,你能解析一下原因吗? 所以,对于身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报 其体重为

y ? 0.849 ? 72 ? 85.712 ? 60.316( kg)

探究P4: 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg 吗?如果不是,你能解析一下原因吗?

答:身高为172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg,但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。

60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重 的预测值,而是所有身高为172cm的女大学生平均 体重的预测值。

探究 身高 172cm的 女大学生的体重一定 是 60.316kg 吗? 如果 不是, 其原因是什么 ? 显然, 身高172cm的女
大学生的体重不一定 是60.316kg但一般可

70 65 60 55 50 45 40 150 155 160 165 170 175 180

图1.1 ? 2

以认为她的体重接近于60.316kg.图1.1 ? 2中的样 本点和回归直线的相互位置说明了这一点. 由于所有的样本点不共线, 而只是散布在某一条直 线的附近, 所以身高和体重的关系可用下面的线性 ?3? 回归模型来表示 : y ? bx ? a ? e,

与函数关系不同 , 在回归模型中 , y 的值由x 和随机因 素e共同确定 ,即x只能解释部分 y的变化,因此我们把 x称为解释变量 , 把y称为预报变量 .

这里a和b为模型的未知参数 , e是y与y ? bx ? a之间 的误差.通常e为随机变量 , 称为随机误差 , 它的均值 E?e ? ? 0, 方差D?e? ? σ 2 ? 0.这样线性回归模型的完 整表达式为:

思考 产生随机误差项 e的原因是什么 ?

实际上 , 一个人的体重值除了受身高的影响外, 还受 许多其他因素的影响 . 例如饮 食习惯、是否喜欢运 动、度量误差等.另外 , 我们选用的线性模 型往往只 是一种近似的模型 .所有这些因素都会导致随 机 误 差项e的产生.

探究 在线性回归模型中, e是用y预报真实值y的 误差, 它是一个不可观测的量, 那么应该怎样研究 随机误差 ? 如何衡量预报的精度 ?

? 是?5?中~ 因此y y的估计值.由于随机误差 e ? y?~ y, ? ? y?y ? 是e的估计量 所以e .

对于样本点?x1, y1 ?, ?x 2 , y 2 ?,? ? ?, ?x n , y n ? 而言, 相应它们的随机误差为 ~ ei ? y i ? yi ? y i ? bxi ? a,i ? 1 ,2,? ? ?, n.

其估计值为 ? xi ? a ? i ? yi ? y ?,i ? 1 ? i ? yi ? b e ,2,? ? ?,n,

? i称为相应于点?x i , y i ?的残差(residual).类比样本方 e 差估计总体方差的思想 , 可以用 n 1 1 2 2 ? ?n ? 2? ? ? ? ? ?,b σ e Qa ? n ? 2 i?1 n?2

? ?

思考 当样本容量为 1或2时残差平方和为多少 ? 用这样的样本建立的线 性回归方程的预报误差 为0 吗? 在研究两个变量间的关 系时, 首先要根据散点图 来粗略判断它们是否相 线性相关, 是否可以用线 性回归模型来拟合数据 .然后, 可以通过残差 ? 1, e ? 2 ,? ? ?, e ?n e 来判断模型拟合的效果 , 判断原始数据中是否存 残差分析. 在可疑数据 .这方面的分析工作称为
表1 ? 2列出女大学生身高和体重的原始数据以及 相应的残差数据.

编号

1

2

3

4 170

5

6

7 155

8 170

身高/ cm 165

165 157

175 165

体重 / kg 48 57 50 54 64 61 43 59 ? ? 6.373 2.627 2.419 ? 4.618 1.137 6.627 ? 2.883 0.382 残差e

我们可以利用图形来 分析残差特性 .作图时

8 6 4 2 0

残差

纵坐标为残差 , 横坐标 可选为样本编号 , 或身 高数据, 或体重估计值 等, 这样作出的图形为 残差图.图 1.1 ? 3是以 样本编号为横坐标的 残差图 .

编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2 0 -4 -6 -8

图1.1 ? 3

从图 1 . 1 ? 3 中可以看 残差 8 出 , 第1个样本点和第 6 6 个样本点的残差比较 4 2 大 , 需要确认在采集这 编号 0 两个样本 点的过程中 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 是否有人为的错误 .如 -4 -6 果数据采集有错误 , 就 -8 予以纠正 , 然后再重新 利用线 性回 归模型拟 图1.1 ? 3 合数据 ; 如果数据采集 没有错误 , 则需要寻找其他的原因 .另外 , 残差点比较 均匀地落在水平的带状 区域的宽度越窄 , 说明模型 拟合精度越高 , 回归方程的预报精确度 越高 .

另外, 我们还可以用相关指数R 2来刻画回归的效果 , 其计算公式是 : R 2 ? 1 ?
2 ? ? ?yi ? yi ? n i?1 n

? ?y
i?1

i

? y?

.

2

在含有一个解释变量的 线性模型中 ,R 2恰好等于相关 系数r的平方 . 显然,R 2 取值越大,意味着残差平方和越小 , 也就是说 模型的拟合效果越好 .在线性回归模型中 , R 2 表示解 释变量对于预报变量变 化的贡献率 . R 2 越 接近于 1 , 表示回归的效果越好 (因为R 2越接近于 1, 表示解释变 量和预报变量的线性相 关性越强) . 如果对某组数据

函数模型与回归模型之间的差别

函数模型: y ? bx ? a 回归模型: y ? bx ? a ? e
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e,因变量y的值 由自变量x和随机误差项e共同确定,即自变量x只能解释部分y 的变化。 在统计中,我们也把自变量x称为解释变量,因变量y称为预 报变量。

求出线性相关方程后, b ? 0.849 说明身高x每 增加一个单位,体重y就增加0.849个单位,这表 明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描 述它们之间线性相关关系的强弱呢?
1.用相关系数 r 来衡量

?

2.公式:

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

?? x ? x? ?? y ? y?
n 2 n i ?1 i i ?1 i

2

3.性质: ①、当 r ? 1 时,x与y为完全线性相关,它们之 间存在确定的函数关系。 ②、当 0 ? r ? 1 时,表示x与y存在着一定的线 性相关,r的绝对值越大,越接近于1,表示x 与y直线相关程度越高,反之越低。
当r ? 0时,表示x与y为正相关;当r ? 0时,表示x与y为负相关

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是
2 ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 n n

R ? 1?
2

残差平方和 ? 1? 。 总偏差平方和

显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是 说模型拟合效果越好。

在线性回归模型中,R2表示解释变量对预报变量变 化的贡献率。
R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2越接近1, 表示解释变量和预报变量的线性相关性越强)。

如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分 析,则可以通过比较R2的值来做出选择,即选取R2较大 的模型作为这组数据的模型。

总的来说: 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中,它代表自变量刻画预报变量的 能力。

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是
2 ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 n n

R ? 1?
2

残差平方和 ? 1? 。 总偏差平方和

表1-3
来源 解释变量(身高) 随机误差(e) 平方和 225.639 128.361 比例 0.64 0.36

总计

354

1

从表3-1中可以看出,解释变量对总效应约贡献了64%,即 R2≈0.64,可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”,而随 机误差贡献了剩余的36%。所以,身高对体重的效应比随机误 差的效应大得多。

残差分析与残差图的定义:
在研究两个变量间的关系时,首先要根据散 点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可以用 回归模型来拟合数据。 然后,我们可以通过残差 e1 , e2 , , en 来 判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在 可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析。

表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及 相应的残差数据。
编号
身高/cm 体重/kg 残差

1
165 48
-6.373

2
165 57
2.627

3
157 50
2.419

4
170 54
-4.618

5
175 64
1.137

6
165 61
6.627

7
155 43
-2.883

8
170 59
0.382

使用公式

ei =yi ? y i 计算残差

我们可以利用图形来分析残差特性,作图时纵 坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数 据,或体重估计值等,这样作出的图形称为残差图。

残差图的制作及作用。 ? 坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 几点说明: 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为 ? 若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以 的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数 据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。 横轴为心的带形区域; 另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这 ? 对于远离横轴的点,要特别注意。 样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。

身 高 与 体 重 残 差 图

异 常 点
? 错误数据 ? 模型问题

用身高预报体重时,需要注意下列问题:
——这些问题也使用于其他问题。
1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性; 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围; 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上,它是预报变量的可能取值的平均值。

一般地,建立回归模型的基本步骤为:
(1)确定研究对象,明确哪个变量是解析变量,哪个变量 是预报变量。 (2)画出确定好的解析变量和预报变量的散点图,观察它 们之间的关系(如是否存在线性关系等)。 (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线 性关系,则选用线性回归方程y=bx+a). (4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)。 (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应 残差过大,或残差呈现不随机的规律性,等等),过存在 异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等。

什么是回归分析?
(内容)
1.

2.

3.

从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关 系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验, 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些 变量的影响显著,哪些不显著 利用所求的关系式,根据一个或几个变量的取 值来预测或控制另一个特定变量的取值,并给 出这种预测或控制的精确程度

回归分析与相关分析的区别
1.

2.

3.

相关分析中,变量 x 变量 y 处于平等的地位;回归 分析中,变量 y 称为因变量,处在被解释的地位, x 称为自变量,用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量;回 归分析中,因变量 y 是随机变量,自变量 x 可以是 随机变量,也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切 程度;回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影 响大小,还可以由回归方程进行预测和控制

练:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表 所示数据:
零件数X 加工时间y(分 钟)

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)求x,y之间的相关系数; (1)r ? 0.9192

? ? 6.5x ? 17.5 (2)求线性回归方程; (2) y


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